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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测12 函数模型及其应用]


课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用

第Ⅰ组:全员必做题 1.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟, 在乙地休息 10 分钟后, 他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟, 则小王从出发到返回原 地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( )

2.某电视新产品投放市场后第一个

月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销 售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x ) B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100

3.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某 天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点 到 6 点不进水不出水,则一定正确的是( A.① B.①② C.①③ ) D.①②③

4.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克, 如图所示 为函数 y=f(x)的图像,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时, 治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,则第二 次服药最迟的时间应为( A.上午 10:00 C.下午 4:00 ) B.中午 12:00 D.下午 6:00

5.某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层,每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所 去的楼层.假设乘客每向下步行 1 层的“不满意度”增量为 1,每向上步行 1 层的“不满意 度”增量为 2,10 人的“不满意度”之和记为 S.则 S 最小时,电梯所停的楼层是( A.7 层 B.8 层 C.9 层 D.10 层 )

6.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满 缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像 可能是图中的________.

7.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、 左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分 别为________. 8.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与 七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 9.(2013· 昆明质检)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价” 计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的, 超出 4 吨的部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过 12 元 的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 月用水量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例.

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 威海高三期末)对于函数 f(x),如果存在锐角 θ,使得 f(x)的图像绕坐标原点逆 π 时针旋转角 θ,所得曲线仍是一函数,则称函数 f(x)具备角 θ 的旋转性,下列函数具备角 的 4 旋转性的是( A.y= x ) 1?x B.y=ln x C.y=? ?2? D.y=x2

2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要 增加投资 1 万元, 年产量为 x(x∈N*)件. 当 x≤20 时, 年销售总收入为(33x-x2)万元; 当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最 大.(年利润=年销售总收入-年总投资). 答 第Ⅰ组:全员必做题 1.选 D 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性分 析法不难得到答案为 D. 2.选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 1 3.选 A 由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的 ,所以 0 点到 3 点不出水,3 点到 2 4 点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个进 水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①. 4.选 C 当 x∈[0,4]时,设 y=k1x, 把(4,320)代入,得 k1=80, ∴y=80x.当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b.
? ?4k2+b=320, 把(4,320),(20,0)代入得? ? ?20k2+b=0. ? ?k2=-20, 解得? ∴y=400-20x. ?b=400. ? ?80x,0≤x≤4, ? ∴y=f(x)=? ?400-20x,4<x≤20. ?



由 y≥240,
? ? ?0≤x≤4, ?4<x≤20, 得? 或? ? ? ?80x≥240, ?400-20x≥240.

解得 3≤x≤4 或 4<x≤8,∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C. 5.选 C 设所停的楼层为 n 层,则 2≤n≤12,由题意得:S=2+4+?+2(12-n)+1 +2+3+?+(n-2)= ?12-n??26-2n? ?n-2?[1+?n-2?] 3 2 53 + = n - n+157,其对称轴为 n 2 2 2 2

53 = ∈(8,9),又 n∈N*且 n 离 9 的距离较近,故选 C. 6 H 6.解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时, 2 H H 体积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2 答案:② 7.解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S=(a-2 -1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b, 即 a=30, b=20 时, S 最大=486 cm2. 答案:30 cm,20 cm 8.解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份 到十月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去),故 1+x%≥ ,解得 x≥20. 5 5 5 答案:20 9.解:(1)y 关于 x 的函数关系式为 2x,0≤x≤4, ? ? y=?4x-8,4<x≤6, ? ?6x-20,x>6. (2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 (6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). 12 (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5, 77 所以“节约用水家庭”的频率为 =77%,据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 100 77%.

第Ⅱ组:重点选做题 π 1.选 C 函数 f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角 ,相当于 x 轴、y 轴绕坐标原点顺 4 π 时针旋转角 ,问题转化为直线 y=x+k 与函数 f(x)的图像不能有两个交点,结合图像可知 y 4 1?x =? ?2? 与直线 y=x+k 没有两个交点,故选 C. 2.解析:当 x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,y=260 -100-x=160-x.
?-x2+32x-100,0<x≤20, ? 故 y=? (x∈N*). ?160-x,x>20. ?

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156.而当 x>20 时,160-x<140,故 x=16 时取得最大年利润.
2 ? ?-x +32x-100,0<x≤20, ? 答案:y= (x∈N*) ?160-x,x>20. ?

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