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复数2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(专题七)


2015 年高考数学试题分类汇编及答案解析
专题七: 复数
1.(2015 年北京理科)复数 i (2 ? i) ? (A) 1 ? 2i 【答案】A 【解析】直接运算得 i(2 ? i) ? 2i ? i ? 1 ? 2i .
2

(B) 1 ? 2i

(C) ?1 ? 2i

(D) ?1 ? 2i

【考点】复数运算. 2.(2015 年北京文科)复数 i(1 ? i) 的实部为 【答案】 ?1 【解析】直接运算得 i(1 ? i) ? i ? i 【考点】复数的乘法运算、实部. 3.(2015 年广东理科)若复数 z ? i (3 ? 2i ) ( i 是虚数单位 ),则 z ? (A) 3 ? 2i 【答案】D
2 【解析】因为 z ? i (3 ? 2i) ? 3i ? 2i ? 2 ? 3i ,所以 z ? 2 ? 3i .



2

? ?1 ? i ,可知实部为 ?1.

(B) 3 ? 2i

(C) 2 ? 3i

(D) 2 ? 3i

【考点】复数的基本运算.
2 4.(2015 年广东文科)已知 i 是虚数单位,则复数 (1 ? i) ?

(A) ?2 【答案】D

(B) 2

(C) ? 2i

(D) 2i

2 2 【解析】直接计算 (1 ? i) ? 1 ? 2i ? i ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i .

【考点】复数的乘法运算. 5.(2015 年安徽文科) 设 i 是虚数单位,则复数 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? (A) 3 ? 3i 【答案】C
2 【解析】直接计算 (1 ? i)(1 ? 2i) ? 1 ? 2i ? i ? 2i ? 3 ? i .

(B) ?1 ? 3i

(C) 3 ? i

(D) ? 1 ? i

1

【考点】复数的运算. 6.(2015 年福建理科) 若集合 A ? i, i 2 , i 3 , i 4 (A) ??1? 【答案】C 【解析】 由已知得 A ? i, i 2 , i 3 , i 4 ? ?i, ?1, ?i,1? ,B ? ?1, ?1? , 故 A ? B ? ?1, ?1 ?. 【考点】1.复数的概念;2.集合的运算. 7.(2015 年福建文科) 若 (1 ? i) ? (2 ? 3i) ? a ? bi(a, b ? R, i 是虚数单位 ) ,则 a , b 的 值分别等于 (A) 3, ?2 【答案】A 【解析】直接计算得 (1 ? i) ? (2 ? 3i) ? 3 ? 2i ? a ? bi ,所以 a ? 3, b ? ?2 . 【考点】复数的概念. 8.(2015 年新课标 1 理科) 设复数 z 满足 (A) 1 【答案】A 【解析】由 (B) (B) 3, 2 (C) 3, ?3 (D) ?1, 4 (B) ?1?

?

,B ? ?1, ?1? ? ( i 是虚数单位) (D) ?

, 则 A? B ?

(C) ?1, ?1?

?

?

1? z ? i ,则 z ? 1? z
(C)

2

3

(D) 2

?1 ? i ( ?1 ? i )(1 ? i ) 1? z ? ? i ,故 z ? 1 . ? i 解得 z ? 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 1? z

【考点】复数的概念及运算. 9.(2015 年新课标 1 文科) 已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? i ? 1 ,则 z ? (A) ? 2 ? i 【答案】C (B) ? 2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

【解析】由 ( z ? 1)i ? i ? 1 可得 z ? 1 ? 【考点】复数的概念及运算.

i ?1 ? 2?i . i

10.(2015 年新课标 2 理科)若 a 为实数且 (2 ? ai )(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? (A) ?1 【答案】B
2 2 2 【解析】由 (2 ? ai)(a ? 2i) ? 2a ? 4i ? a i ? 2ai ? 4a ? (a ? 4)i ? ?4i ,

(B) 0

(C) 1

(D) 2

2

2 所以 4a ? 0, a ? 4 ? ?4 ,解得 a ? 0 .

【考点】复数的概念及运算. 11.(2015 年新课标 2 文科)若为 a 实数,且 (A) ?4 【答案】D 【解析】由 (B) ?3 (C) 3

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i
(D) 4

2 ? ai ? 3 ? i 得 2 ? ai ? (3 ? i)(1 ? i) ? 3 ? i ? 3i ? i 2 ? 2 ? 4i ? a ? 4 . 1? i

【考点】复数的概念及运算. 12.(2015 年陕西文(理)科)设复数 z ? ( x ? 1) ? yi( x, y ? R), 若 z ? 1 ,则 y ? x 的概率为 (A)

3 1 ? 4 2?

(B)

1 1 ? 4 2?

(C)

1 1 ? 2 ?

(D)

1 1 ? 2 ?

【答案】B 【解析】由 z ? ( x ? 1) ? yi( x, y ? R), ? z ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,

如图可求得 A(1,1), B(1, 0) ,阴影面积等于为:

1 1 ? 1 ? ?12 ? ?1?1 ? ? ,若 z ? 1 ,则 y ? x 4 2 4 2 ? 1 ? 1 1 ? ? 的概率是阴影面积与圆的面积比,即 4 2 . 2 ? ?1 4 2?
【考点】1.复数的模;2.几何概型. 13. (2015 年天津理科) 若复数 (1 ? 2i )(a ? i ) 是纯虚数, 则实数 a 的值为 i 是虚数单位, 【答案】 ?2 .

1 0 , 2 ?0 a ? 【解析】 计算 (1 ? 2i )(a ? i ) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i , 为纯虚数, 则a ? 2 ?
所以 a ? ?2 . 【考点】复数概念及运算. 14.(2015 年天津文科) i 是虚数单位,计算 【答案】 ?i 【解析】直接计算



1 ? 2i 的结果为 2?i



1 ? 2i (1 ? 2i )(2 ? i) 2 ? 4i ? i ? 2i 2 ?5i ? ? ? ? ?i . 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5 5
1 ? 2i ?i 2 ? 2i ?i (i ? 2) ? ? ? ?i . 2?i 2?i 2?i
3

或者凑形

【考点】复数的运算. 15.(2015 年湖南理科) 已知 (A) 1 ? i 【答案】D 【解析】由

(1 ? i) 2 ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? z
(C) ? 1 ? i (D) ? 1 ? i

(B) 1 ? i

(1 ? i ) 2 (1 ? i ) 2 1 ? 2i ? i 2 ?2i ?2i (1 ? i ) ?1? i 得 z ? ? ? ? ? ?1 ? i . z 1? i 1? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i )

【考点】复数的运算. 16.(2015 年山东理科)若复数 z 满足 (A) 1 ? i 【答案】A 【解析】由 (B) 1 ? i

z ? i ,其中 i 是虚数单位,则 z ? 1? i
(C) ? 1 ? i (D) ? 1 ? i

z ? i 得: z ? i(1 ? i) ? i ? i 2 ? 1 ? i, ? z ? 1 ? i . 1? i

【考点】复数的运算.
2 17.(2015 年江苏)设复数 z 满足 z ? 3 ? 4i(i 是虚数单位 ) ,则 z 的模为_______.

【答案】

5
2

【解析】由 z

? z 2 得 z 2 ? 3 ? 4i ?

3 2 ? 4 2 ? 5 ,所以 z ?

5.

【考点】复数的模的计算.

4


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