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4.5反函数的概念(2)


反函数的概念(2) 反函数的概念
上海市嘉定二中高一数学备课组

复习 1.反函数的定义: 一般地,对于函数 y = f (x) ,设它的 定义域为D,值域为A。如果对A中任意一个 值 y ,在D中总有唯一确定的值 x 与它对 应,且满足 y = f (x) ,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f (x) 的反函数,记作 , 1 x = f ( y ) 。在习惯上,常用 x 表示自变量, y 表示函数,所以改写为: y = f 1 ( x) ( x ∈ A)

注: (1)反函数的定义域是原函数的值域,反 函数的值域是原函数的定义域; (2)原函数与其反函数互为反函数; (3)函数具有反函数的条件.

2.求反函数的步骤 步骤: 步骤
(1)用 (3)

y

表示

x



(2)求原函数的值域(即为反函数的定义域);

x与 y

互换,写出结论.

例1、求函数 、

的反函数, y = x 3 的反函数,并且在同一坐标内画出原函数和
y

其反函数的图象。 其反函数的图象。
3 解: 由 y = x 得: y ∈ R , x = 3 y

y=x

3

y=x

x 与 y 互换 互换,

y=3 x

y = 3 x, x ∈ R 。 所求反函数为

y= x
3
x

若点( , ) 例2. 若点(1,2)既在函数 y =

ax + b

图象上,又在它反函数的图象上, 图象上,又在它反函数的图象上,求实数

a ,b

的值。 的值。
2

例3. 已知 f ( x) = x + 3 x 1 , x > 0 ,求 求

f

1

(3)

例4. 若两条直线 y = 2 x + m 和 y = nx + 3 对称, 的值. 关于直线 y = x 对称 求 m + n 的值

举出一些函数,使它的反函数是其本 例5. 举出一些函数 使它的反函数是其本 说明他们的图象有什么特征? 身,说明他们的图象有什么特征 说明他们的图象有什么特征

ax + 2 例6. 若函数 f ( x) = 的图象关于直线 x 1 y = x 对称 求实数 a 的值 对称, 的值.

课堂练习: 课堂练习

课本 P :4, 5 16

课堂小结: 课堂小结
1.两个函数互为反函数 直线 y = x 对称. 2.函数 y = f (x ) 的反函数是其本身 函数 两个函数图象关于

y = f (x) 图象关于直线 y = x 对称 .
3.点 (a, b) 在原函数图象上 图象上. 点 (b, a ) 在反函数

布置作业: 布置作业
习题册 P3 ~ P4 :习题4.5 A组 3, 4, 5 ; B组 3, 4 一课一练 P ~ P 12 13


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