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2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷


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浙江省瓯海中学 徐进光

2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
一、选择题 1、下列三数 A、
3 2
3 2 , lo g 1 6 8 2 , lo g 2 7 1 2 4 的大小关系正确的是




/>? lo g 1 6 8 2 ? lo g 2 7 1 2 4
3 2 ? lo g 1 6 8 2

B、

3 2

? lo g 2 7 1 2 4 ? lo g 1 6 8 2
3 2

C、 lo g 2 7 1 2 4 ?

D、 lo g 2 7 1 2 4 ? lo g 1 6 8 2 ?

2、已知两点 A(1,2) ,B(3,1)到直线 L 距离分别是 2 , 5 ? ( ) A、1 条

2 ,则满足条件的直线 L 共有

B、2 条

C、 3 条

D、 4 条

3、设 f ( n ) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如
f ? 1 2 3 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 4 。 f 1 ( ) ?f ( ) n 记 n
2 2 2

,f k ? 1 ( n ) ? f ( f k ( n )) ,k ? 1, 2, 3 ... , f 2 0 0 6 ( 2 0 0 6 ) ? 则



) A、20

B、4
2

C、42
1 3

D、145 ,则集合 )

4、设在 x O y 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为
2

M ? ? ( x , y ) || y | ? | x |? 1? , N ? ? ( x , y ) || y |? x ? 1? 的交集 M ? N 所表示的图形面积为(

A、

1 3

B、

2 3

C、 1

D、 ) 。

4 3

5、在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( A、2006 6、 函数 f ( x ) ? 为( ) 。 A、2 二、填空题 B、 1 0 0 3
s in x ? c o s x s in x ? ta n x ?
2

C、 1 0 0 3 ? 1 0 0 3
2

D、1 0 0 3 ? 1 0 0 2
2

ta n x ? c o t x c o s x ? ta n x

?

s in x ? c o s x cos x ? cot x

?

ta n x ? c o t x s in x ? c o t x

在 x ? (o,

?
2

) 时的最小值

B、4

C、6

D、8

7、手表的表面在一平面上。整点 1, 2, ? ,1 2 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 整点 i 到整点 ? i ? 1 ? 的向量记作 t i t i ? 1 ,则 t1 t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3 t 4 ? ? ? t1 2 t1 ? t1t 2 = 8、设 a i ? R ( i ? 1, 2, ? n ), ? , ? , ? ? R , 且 ? ? ? ? ? ? 0 ,则对任意 x ? R ,
?

2 2

的圆周上。从

???? ?

??? ??? ?

??? ??? ? ?

???? ???



? ?1? a ?
i ?1

n

? ?

1
x

i

? ai

(? ? ? ) x

?

1 1 ? ai
?x

? ai

(? ?? ) x

?

1 1 ? ai
?x

? ai

(? ? ? ) x

? ?? ?



9、在 1, 2, ? , 2 0 0 6 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是



10、设 a , b 是非零实数, x ? R ,若
2 2

s in x a
2

4

?

cos x b
2

4

?

1 a ?b
2 2

,则

sin a

2008 2006

x

?

cos b

2008 2006

x

?



11、已知 A ? ? ? x , y ? x ? y ? 2 x co s ? ? 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? y ? ? 0 , ? ? R ? ,
B ?

??

x, y ?

y?

k ?3 , x

? k

R ? 。若 A ? B 为单元素集,则



12、 m a x m in ?
a ,b , c? R
?

?1

?a b

,

1
2

,

2 3 ? ,a ? b ? c ? ? c ?

1

3



三、解答题 13 、 在 x 轴 同 侧 的 两 个 圆 : 动 圆 C 1 和 圆 4 a x ? 4 a
2 2 2

y ? 4 a b x2 ?
2

? y a

2

?b0 切 外

? a,b ?

N , a ? 0 ? ,且动圆 C 1 与 x 轴相切,求

(1)动圆 C 1 的圆心轨迹方程 L ; (2)若直线 4 ? 7 ? 1 ? a b x ? 4 a y ? b ? a ? 6 9 5 8 a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求 a , b 之
2 2

值。

14、已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? 2 n
1 2
n

?n

? 1, 2, 3 ? ? , ? b n ? 满足 b1 ? 1 , b n ? 1 ? b n ?

bn n

2

?n

? 1, 2, 3 ? ? ,证明:

?

?
k ?1

1 a k ? 1b k ? k a k ? 1 ? b k ? k

?1。

15、六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1)共有多少种不同的骰子; 2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V 。在 所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值。

-2-

2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准
一. 选择题 1. C 二. 填空题 7. 10.
(a

2. C

3.

D 8. n 11.
? 3

4.

B

5. C 9. 12.
3 4010

6. B

6 3 ?9
1
2

?b )
2

1003

3

详细解答如下: 一. 选择题 1.下列三数 (A)
3 2 3 2 ? log
16

, log

16

82 , log

27

124

的大小关系正确的是( (B)
3 2 ? log
27

C


16

82 ? log 3 2

27

124 82

124 ? log

82 3 2

(C) log

27

124 ?

? log

16

(D) log
2
4

27

124 ? log

16

82 ?

解: 因为
log
27

log

16

82 ? log

16

81 ? log 5
3

3 5

4

? log

2

3,

124 ? log

27

125 ? log

3

3

? log

3


8 ? 3? 2

3

令x

? log

2

3 ,则 2

x

? 3

。又因为 2 2
3

?

x

,所以

x ?

3 2 3 2



再令 y

? log

3

5 ,则 3

y

? 5

,而 3 2
3 2

?

27 ? 5 ? 3

y

,所以

y ?



综上所述,有

log

27

124 ?

? log

16

82

。 因此 选 (C) 。
2, 5 ? 2

2. 已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 共有( C )条。 (A)1 (B)2 解: 由
AB ? 5 , 分别以

,则满足条件的直线 L

(C)3 A,B 为圆心,

(D)4
2



5

为半径作两个圆,则两圆外切,有三

条共切线。正确答案为 C。 3. 设
f (n)

为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如
2 2 2

f (123 ) ? 1 ? 2 ? 3 f 2006 ( 2006 )

? 14

。 记

f1 (n ) ? f (n )



f k ? 1 ( n ) ? f ( f k ( n ))



k ? 1, 2 , 3 , ? , 则

=(

D

) (C) 42 (D) 145.
-3-

(A) 20

(B) 4

解: 将

f ( 2006 ) ? 40

记做 2006

? 40

,于是有

2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ?

从 16 开始,

f n 是周期为

8 的周期数列。故 正确答案为 D。
1 3

f 2006 ( 2006 ) ? f 2004 (16 ) ? f 4 ? 250 ? 8 (16 ) ? f 4 (16 ) ? 145 .

4. 设在 xOy 平面上, 0
M ? {( x , y )

? y ? x

2

,0

? x ? 1 所围成图形的面积为

,则集合

y ? x ? 1}, N ? {( x , y )

y ? x ? 1}
2

的交集

M ? N

所表示的图形面积为

( B (A) 解:

) 。
1 3

(B)

2 3

(C)

1

(B)

4 3

.
? N

M ? N

在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M
1 2 1 3 1 6

的图形面积只

要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以 了。由题意可得, M 形面积为 。
3 2

? N

的图形在第一象限的面积为 A=

?

?

。因此 M

? N

的图

所以选(B) 。 ) 。 . 条。

5. 在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( C (A) 2006 (B)
1003
2

(C)

1003

2

? 1003

(D)

1003

2

? 1002

解: 正 2n 边形 A1 A 2 ?

A2n

,对角线共有

1 2

? 2 n ? ( 2 n ? 3) ? n ( 2 n ? 3)

计算与一边 A1 A 2 平行的对角线条数,因 A1 A 2

// A n ? 1 A n ? 2

,与 A1 A 2 平行的对角线的端点只

能取自 2n-4 个点,平行线共 n-2 条。故与某一边平行的对角线共 n(n-2)条。由此可得与 任何边都不平行的对角线共有 n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。 6. 函数
f (x) ? sin x ? cos x sin x ? t an x ? t an x ? cot x cos x ? t an x ? sin x ? cos x cos x ? cot x ? t an x ? cot x sin x ? cot x

在 x ? (0,

?
2

)

时的最

小值为( B ) 。 (A) 2 (B) 4

(C) 6

(D) 8

解:

1 1 ? ? f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? ? ? cos x ? cot x ? ? sin x ? tan x 1 1 ? ? ? (tan x ? cot x ) ? ? ? sin x ? cot x ? ? cos x ? tan x

(由调和平均值不等式)

-4-

4 ? ? ? (sin x ? cos x ) ? ? ? sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? 4 ? ? ? (tan x ? cot x ) ? ? ? sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? ? 4

要使上式等号成立,当且仅当
? sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? ? tan x ? cos x ? cot x ? sin x (1) (2)

(1)-(2)得到 sin 所以当 x
?

x ? cos x ? cos x ? sin x ,即得 sin x ? cos x

。因为 x ? ( 0 ,

?
2

)



?
4

时,

f (x) ? f (

?
4

) ? 4

。所以 min

f ( x) ? 4.

因此应选(B) 。

二. 填空题 7. 手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 的圆周上。 从整点 i 到整点 (i+1) 的向量记作 t i t i ? 1 , t 1 t 2 则 =
6 3 ?9
2 2

? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3 t 4 ? ? ? t 12 t 1 ? t 1 t 2


2 2 2 2

解:连接相邻刻度的线段构成半径为

的圆内接正 12 边形。相邻两个边向量的夹角
?
12

即为正 12 边形外角,为 30 度。各边向量的长为 2 ?
? ? ? ? ? 3 ? ? cos ? ? 2 2 ? 3 ? 4 6 4 ?
2

? sin

?

2

2? 4

3

。 则

t1t 2 ? t 2 t 3

2

2?

3 2

。共有 12 个相等项。所以求得数量积之和



6 3 ?9


?

8. 设 a i ?

R ( i ? 1, 2 , ? n ), ? , ? , ? ? R , 且 ? ? ? ? ? ? 0, 则对任意 x ? R

, 。

?? ?
i ?1

n

? ? 1 ? ai
?x

1 ? ai
1 1 ? ai
?x
(? ? ? ) x

?

1 1 ? ai
?x

? ai
1

(? ?? ) x

?

1 1 ? ai
? x

? ai
1

(? ? ? ) x

? ? ? ? ?

n

解:

? ai
ai
?x

(? ? ? ) x

?

1 ? ai

?x

? ai

(? ?? ) x

?

1 ? ai

? x

? ai
1

(? ? ? ) x

?

ai ? ai

?x

(? ? ? ) x

?1

?

ai ai

(? ?? ) x

(? ?? ) x

? 1 ? ai

?x

?

1 ? ai
-5-

? x

? ai

(? ? ? ) x

? 1,

所以, ?
i ?1

n

? 1 1 ? ? ? (? ? ? ) x ?x (? ?? ) x ? ?x ?1? a 1 ? ai ? ai 1 ? ai ? ai i ?

1
x

? ai

(? ? ? ) x

? ? ? n. ? ?
3 4010

9 在 1, 2 , ? , 2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 解: 三个数成递增等差数列,设为
d ? 1002


? 2 d ? 2006 ,

a, a ? d , a ? 2d

,按题意必须满足 a

。 对于给定的 d,a 可以取 1,2,……,2006-2d。
1002

故三数成递增等差数列的个数为 ? 三数成递增等差数列的概率为

( 2006 ? 2 d ) ? 1003 * 1002 .

d ?1

1003 ? 1002 C 2006
3

?

3 4010
4 2



10. 设 a , b 是非零实数, x ? R ,若
1 (a
2

sin a

4 2

x

?

cos b

x

?

1 a ?b
2 2

, 则

sin a

2008 2006

x

?

cos b

2008 2006

x

?

?b )
2

1003



解: 已知

sin x a
2

4

?

cos x b
2

4

?

1 a ?b
2 2



……………… (1)
2 2 2 2

将(1)改写成 而
1 ? (sin
2

1? sin x ? cos x ?
4 4

b a

sin x ?
4

a b

cos x

4



x ? cos

2

x)

2

? sin

4

x ? cos

4

x ? 2 sin

2

x cos

2

x



所以有
?b ?a

b a

2 2

s in x ? 2s in xcos x ?
4 2 2

a b

2 2

cos x ? 0
4



即?

sin

2

x?

a b

cos

2

? x? ?

2

? 0

, 也即

sin a
?

4 4

x

?

cos b

4 4

x

, 将该值记为

C。则由(1)知,

a C ?b C ?
2 2

1 a
2

?b
2008 2006

2

。于是有, C

1 (a
2

?b )
2

2

.



sin a

2008 2006

x

?

cos b

x

? a C
2

502

?b C
2

502

? (a

2

?b )
2

1 (a
2

?b )
2

1004

? (a

1
2

?b )
2

1003



11. 已知

A ? ( x, y ) x

?

2

? y

2

? 2 x cos ? ? 2 (1 ? sin ? )( 1 ? y ) ? 0 , ? ? R

?,

B ? ?( x , y ) y ? kx ? 3 , k ? R ? 。若 A ? B

为单元素集,则 k

? ?

3



-6-

解 由
x
2

? y

2

? 2 x cos ? ? 2 (1 ? sin ? )( 1 ? y ) ? 0 ? ( x ? cos ? ) ? ( y ? 1 ? sin ? )
2 2

2

? 0

? x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ? x

? ( y ? 1)
2

2

?1
2

A? B

为单元素集,即直线 y

? kx ? 3 与 x ? ( y ? 1) ? 1 相切,则 k ? ?

3

.

12.

max
a , b , c? R

?

1 ?1 1 2 3 ? min ? , 2 , 3 , a ? b ? c ? c ?a b ?

=

3



解:设 t
a ? 1 t
a ? b
2

1 ?1 1 2 3 ? ? min ? , 2 , 3 , a ? b ? c ? c ?a b ?

,则

0 ? t ?

1 a

,0
? 3 t

? t ?

1 b
2

,0

? t ?

1 c
3

,即有 ,且当



b

2

?

1 t


3

c

3

?

1 t

。所以有 . 因此

t ? a ?b

2

?c

3

. 于是可得

t ?

3

? c

3

?

时, t

?

3

max
a , b , c? R

3

?

1 ?1 1 2 3 ? min ? , 2 , 3 , a ? b ? c ? ? c ?a b ?

3

.

解答题 13. 在 ( a,b ?
x

轴同侧的两个圆:动圆

C1

和圆

4a x

2

2

? 4a y
2

2

? 4 abx ? 2 ay ? b

2

? 0

外切

N,a ? 0

) ,且动圆 C 1 与 x 轴相切,求

(1)动圆 C 1 的圆心轨迹方程 L; (2)若直线 4 (
a, b

7 ? 1) abx ? 4 ay ? b

2

? a

2

? 6958 a ? 0

与曲线 L 有且仅有一个公共点,求

之值。
? 4a y
2 2

解: (1)由 4 a 2 x 2

? 4 abx ? 2 ay ? b

2

? 0 可得 ( x ?

b 2a

) ? (y ?
2

1 4a

)

2

? (

1 4a

) ,

2

由 a , b ? N, 以及两圆在 x 轴同侧, 可知动圆圆心在 x 轴上方, 设动圆圆心坐标为 ( x , y ) , 则 有
(x ? b 2a ) ? (y ?
2

1 4a

)

2

? y ?

1 4a

,

整理得到动圆圆心轨迹方程
y ? ax
2

? bx ?

b

2

(x ?

b 2a

)



……………………(5 分)

4a

-7-

另解 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (
( b 2a
(x ? b 2a )
2

b

,

1

)

为焦点, y

? ?

1 4a

为准线,且顶点在

2a 4a ,0 )

点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程
? 1 a

y

,即 y

? ax

2

? bx ?

b

2

(x ?

b 2a

)

…………………(5 分)

4a

(2)联立方程组

y ? ax

2

? bx ?

b

2

(x ?

b 2a
2

)


2

4a

4 ( 7 ? 1) abx ? 4 ay ? b

? a

?6958 ? 0 a



消去 y 得 由?
? 16 ? 7 a b
2

4a x
2

2

2

? 4 7 a b x? ( a
2 2

2

? 6958) ? 0, a

? 16 a ( a

? 6958 a ) ? 0 ,

整理得
? 6958 a

7b

2

?a

2



从③可知

7a

2

? 7a

。 故令 a

? 7 a 1 ,代入③可得
b
2

? 7 a1

2

? 6958 a 1

? 7b

2

? 7b .

再令 b

? 7 b 1 ,代入上式得
7 b1 ? a 1
2 2

? 994 1 a

…………………(10 分)

同理可得, 7 a 1 , 7 b 1 。可令 a

? 49 n , b ? 49 m , 代入③可得
2

7m

? n

2

? 142 n
? 71 ,
2



对④进行配方,得

( n ? 71 ) ? 7 m
2

2

对此式进行奇偶分析,可知 m , n 均为偶数,所以 7 m 2
4m

? 71

2

? ( n ? 71 )

2

为 8 的倍数,所以

。令 m

? 4r

,则 112

r

2

? 71

2

? r

2

? 45



所以 仅当 r
? 0,4

r ? 0 ,1,,,,, 23456

…………………………………(15 分)

时, 71 2

? 112 r

2

为完全平方数。于是解得
a ? 6272 a ? 686 b ? 784

a ? 6958 , b ? 0 ( 不合,舍去 )

b ? 784

。 …………………(20 分)

-8-

14. 已 知 数 列
b n ?1 ? b n ? bn n
n

{a n }

满 足

a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? 2 n
1 2

( n ? 1, 2 , 3 ? )



{b n }

满 足

b 1 ? 1,

2

( n ? 1, 2 , 3 ? )

,证明:

?

?
k ?1

n

1 a k ? 1 b k ? ka k ? 1 ? b k ? k
I1 ? 1 2 ? I2 ? ? ? In

?1。

证明:记

In ?

?
k ?1

1 a k ? 1 b k ? ka k ? 1 ? b k ? k
1

,则



而In

?

?
k ?1

n

( a k ? 1 ? 1)( b k ? k )

?

?
k ?1

n

1 a k ?1 ? 1

??
k ?1

n

1 bk ? k



………………… (5 分) ………………… (10 分) (1)

因为 a 1 从而有

? 1, a n ? 1 ? a n ? 2 n

,所以 a k ? 1
1 k ( k ? 1)

? 1 ? k ( k ? 1)



?
k ?1

n

1 a k ?1 ? 1
bk k
1 b k ?1
2

?

?
k ?1

n

?1?

1 n ?1

?1。

又因为 b k ? 1 ? b k ?
1 bk ? k 1 bk

?

b k (b k ? k ) k

,所以
n

1 b k ?1

?

k b k (b k ? k )

?

1 bk

?

1 bk ? k





?

?

。从而有

?
k ?1

1 bk ? k

?

1 b1

?

1 b n ?1

?

1 b1

? 1。

(2) … (15 分)

由(1)和(2)即得

In ? 1。

综合得到

1 2

? In ? 1 。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1 时成立。

……… (20 分)

15. 六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1) 共有多少种不同的骰子; 2) 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和 叫做全变差 V。在所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值。 解:1)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上 的放法共 6×4 种。所以不同的骰子共有
6! 6*4 ? 30

种。

………………… (5 分)

2) 由 1-6 的六个数字所能产生的变差共有 15 个,其总和为 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 (10 分) 与之相比,每个骰子的全变差中,所缺的是三个相对面上数字之间的变差,记其总和 为 v,则 vmax=(6+5+4)- (1+2+3) =9 vmin= 1+1+1 = 3 ………………… (15 分) 因此 Vmax=35-vmin=32 Vmin=35-vmax=26. ………………… (20 分)
-9-


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