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2章基本初等函数10课时


第10课时 函数模型及其应用

基础知识梳理
1.几类函数模型
函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常 二次函数模型 数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a 指数函数模型 >0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数, 对

数函数模型 a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

基础知识梳理
2.三种增长型函数之间增长速度的

比较
(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y =xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,无论n比a大多 少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn, 但由于ax的增长 快于 xn的增长,因而总 x>xn a 存在一个x0,当x>x0时有 .

基础知识梳理
(2)对数函数y=logax(a>1)与 幂函数y=xn(n>0) 对数函数y=logax(a>1)的增 长速度,不论a与n值的大小如何总 会 慢于 y=xn的增长速度,因而在 定义域内总存在一个实数x0,使x >x0时有 logax<xn .

基础知识梳理
由(1)(2)可以看出三种增长型的函 数尽管均为增函数,但它们的增长速 度不同,且不在同一个档次上,因此 在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使x x>xn>log x a >x0时有 a .

三基能力强化
1.下列函数中,随 x 的增大 而增大速度最快的是( ) 1 x A.y= e B.y=100lnx 100 C. y=x100 D. y=100· 2x

答案:A

三基能力强化
2.一等腰三角形的周长是20,底 边y是关于腰长x的函数,它的解析式为 ( ) A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 答案:D

三基能力强化
3.某公司为了适应市场需求对产品 结构做了重大调整,调整后初期利润增 长迅速,后来增长越来越慢,若要建立 恰当的函数模型来反映该公司调整后利 润y与时间x的关系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案:D

三基能力强化
4.一根弹簧原长15 cm,已知在 20 kg内弹簧长度与所挂物体的重量成 一次函数,现测得当挂重量为4 kg的 物体时,弹簧长度为17 cm,问当弹 簧长度为22 cm时,所挂物体的重量 应为______kg. 答案:14

三基能力强化
5.2009年12月18日,温家宝总理代表 中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出 庄严承诺:2005年至2020年,中国单位国 内生产总值二氧化碳排放强度下降40%, 则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均 每年降低的百分数为________.

三基能力强化

解析:设从2005年至2020年平均 每年降低的百分数为x,则2020年的 排放量为(1-x)15,即(1-x)15=0.4, 解得x=0.059. 答案:5.9%

课堂互动讲练
考点一
分段函数模型

1.现实生活中有很多问题都 是用分段函数表示的,如出租车计 费、个人所得税等,分段函数是刻 画实际问题的重要模型.

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2.分段函数主要是每一段自 变量变化所遵循的规律不同,可以 先将其当作几个问题,将各段的变 化规律分别找出来,再将其合到一 起,要注意各段变量的范围,特别 是端点值.

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例1

电信局为了配合客户的不 同需要,设有A、B两种优惠方 案,这两种方案的应付电话费y( 元)与通话时间x(分钟)之间的关 系如图所示(实线部分)(注:图 中MN∥CD).试问:

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(1)若通话时间为2小时,按方 案A、B各付话费多少元? (2)方案B从500分钟以后,每 分钟收费多少元?

课堂互动讲练
【思路点拨】 依据图建立话 费关于通话时间的函数关系→结合 解析式、图形转化解决→作答. 【解】 由题图可知M(60,98), N(500,230),C(500,168),MN∥CD, 设这两种方案的应付话费与通话 时间的函数关系分别为fA(x),fB(x),

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?98, ? 则 fA(x)=? 3 ? x+80, ?10 ?168, ? fB(x)=? 3 ? x+18, ?10

0≤x≤60, x>60. 0≤x≤500,

x>500.

(1)通话2小时,即x=120时, fA(120)=116,fB(120)=168. 所以A、B两种方案的应付话费分 别为116元、168元.

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(2)方案B的每分钟收费就是fB(n +1)-fB(n)(n>500,n∈N*),
3 因为 fB(n+1)-fB(n)= (n+1) 10 3 3 +18- n-18= =0.3. 10 10

所以方案B从500分钟以后,每分 钟收费0.3元.

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【易错警示】 第 (2) 问中将 “每分钟收费”理解为 x 对应的 y 3 值 x+18 而导致错误. 10

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互动探究 例1的条件不变,顾客选用哪种 方案更优惠? 解:由图可知,当0≤x≤60时, fA(x)<fB(x); 当x>500时,fA(x)>fB(x); 当60<x≤500时,fA(x)>fB(x),

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880 解得 x> 3 880 所以当通话时间在( ,+∞)时, 3 方案 B 比方案 A 优惠. 作为顾客业务量大的应选 B.

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考点二

二次函数模型

二次函数是我们比较熟悉的函数模 型,建立二次函数模型可以求出函数的最 值与范围,解决实际中的优化问题,值得 注意的是一定要分析自变量的取值范围, 利用二次函数的配方法通过对称轴与单调 性求解是这一类函数问题的特点.

课堂互动讲练
例2 今有一长2米、宽1米的矩形铁 皮,如图所示,在四个角上分别截 去一个边长为x米的正方形后,沿 虚线折起可做成一个无盖的长方体 形水箱(接口连接问题不考虑).

课堂互动讲练
(1)求水箱容积的表达式f(x), 并指出函数f(x)的定义域; (2)若要使水箱容积不大于4x3 立方米的同时,又使得底面积最 大,求x的值.

课堂互动讲练

【思路点拨】 可先根据长 方体的体积公式建立函数关系式 f(x),然后根据题目要求解决,但 对自变量x的取值范围要考虑到使 实际问题有意义.

课堂互动讲练
【解】 (1)由已知得该长方体形 水箱高为x米,底面矩形长为(2-2x) 米,宽(1-2x)米. ∴该水箱容积为f(x)=(2-2x)(1 -2x)x=4x3-6x2+2x.
?2-2x>0, 1 其中正数 x 满足? ∴0<x< . 2 ?1-2x>0,

1 ∴所求函数 f(x)的定义域为{x|0<x< }. 2

课堂互动讲练
1 (2)由 f(x)≤4x ,得 x≤0 或 x≥ . 3 1 1 1 ∵定义域为{x|0<x< },∴ ≤x< . 2 3 2 此时水箱的底面积为 S(x)=(2-2x)(1-2x) 1 1 2 =4x -6x+2,x∈[ , ). 3 2
3

课堂互动讲练
32 1 由 S(x)=4(x- ) - , 4 4 1 1 可知 S(x)在[ , )上是单调递减函数, 3 2 1 ∴x= 时 S(x)最大. 3 1 ∴满足条件的 x 是 . 3

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【误区警示】 不能注意实际 问题中的定义域,只考虑x>0,而 未考虑2-2x>0且1-2x>0.

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考点三 指数函数模型

指数函数、对数函数的应用是高考的一 个重点内容,常与增长率相结合进行考 查.在实际问题中,有关人口增长、银行利 率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模 型表示,通常可以表示为y=N· (1+p)x(其中N 为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形 式.另外,指数方程常利用对数进行计算, 指数、对数在很多问题中可转化应用.

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例3
2009年10月1日,某城市现有人口 总数100万,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下列问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与 年数x(年)的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精 确到0.1万人). (1.01210=1.127)

课堂互动讲练
【思路点拨】 先写出1年后、2 年后、3年后的人口总数→写出y与x的 函数关系→计算求解→作答. 【解】为 (1)1年后该城市人口

总数
y=100+100×1.2% =100×(1+1.2%)

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2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+ 1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+ 1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3. …

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x年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年 数x(年)的函数关系是 y=100×(1+1.2%)x. (2)10年后人口总数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 所以10年后该城市人口总数为 112.7万.

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【规律小结】 (1)年自然增长率=

今年人口数-去年人口数 ; 去年人口数

(2)在实际问题中,有关人口增长、 银行利率、细胞分裂等增长问题可以用 指数函数 模型表示,通常可以表示为y=N(1 +p)x(其中N为原来的基础数,p为增长 率,x为时间)的形式.

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互动探究 例3的条件不变,试计算 (1)计算大约多少年后该城市人口 将达到120万人(精确到1年); (2)如果20年后该城市人口总数不 超过120万人,年自然增长率应控制 在多少? 解:(1)设x年后该城市人口将达 到120万人, 即100×(1+1.2%)x=120,

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120 x=log1.012 =log1.0121.20≈15(年). 100 所以大约15年该城市人口将达到 120万人. (2)设年自然增长率为x,依题意有 100×(1+x)20≤120, 由此得(1+x)20≤1.20, 由计算器计算得1+x≤1.009, ∴x≤0.9%. 所以年自然增长率应控制在小于或 等于0.9%.

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考点四 函数模型的综合应用

(解题示范)(本题满分12分) 有一个受到污染的湖泊,其湖水的 体积为V立方米,每天流出湖泊的水量等 于流入湖泊的水量,都为r立方米.现假 设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与 湖水能很好地混合.用g(t)表示某一时刻 t每立方米湖水所含污染物质的克数,我 们称其为在时刻t时的湖水污染质量分

课堂互动讲练
p p 数满足关系式 g(t)= r +[g(0)- r ]e- r vt(p≥0),其中 g(0)是湖水污染的初 始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数 时,求湖水污染的初始质量分数;

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p (2)求证:当 g(0)< r 时,湖泊的 污染程度将越来越严重;

(3)如果政府加大治污力度,使得 湖泊的所有污染停止,那么需要经过 多少天才能使湖水的污染水平下降到 开始时(即污染停时)污染水平的5%?

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【思路点拨】 (1)水污染质量分 数为常数,即g(t)为常数函数; (2)污染程度越来越严重,即证明 g(t)为增函数; (3)转化为方程即可解决.

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【解】 (1)设 0≤t1<t2, ∵g(t)为常数,∴g(t1)=g(t2), 2 分 p r r 即[g(0)- r ]· [e-vt1-e-vt2]=0, p ∴g(0)= r . p 即湖水污染的初始质量分数为 r . 4 分

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(2)证明:设 0≤t1<t2, 则 g(t1)-g(t2) p r r =[g(0)- r ]· [e-vt1-e-vt2] r r evt2-evt1 p =[g(0)- r ]· r ,6 分 ev(t1+t2) p ∵g(0)- r <0,t1<t2,

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∴g(t1)-g(t2)<0,∴g(t1)<g(t2). 故湖泊污染质量分数随时间变化而 增加,污染越来越严重. 8分 (3)污染源停止,即p=0,此时 r g(t)=g(0)· e-vt. 设要经过t天能使湖水的污染水平下 降到开始时污染水平的5%. 即g(t)=5%· g(0),

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r 即有 5%· g(0)=g(0)· e-vt.10 分 由实际意义知 g(0)≠0, 1 r ∴ =e-vt. 20 v ∴t= r ln20(天), v 即需要 r ln20 天时间. 12 分

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【名师点评】 高考数学试题中 联系生活实际和生产实际的应用问 题,其创意新颖,设问角度独特,解 题方法灵活,一般文字叙述长,数量 关系分散且难以把握.解决此类问题 关键要认真审题,确切理解题意,进 行科学的抽象概括,将实际问题归纳 为相应的数学问题,然后利用函数、 方程、不等式等有关知识解答.

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高考检阅

(本题满分10分)(2009年高考上海 卷)有时可用函数
? a ?0.1+15ln ,x≤6, a-x ? f(x)=? ?x-4.4 ? x-4 ,x>6 ?

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描述学习某学科知识的掌握程 度,其中x表示某学科知识的学习次 数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的 掌握程度,正实数a与学科知识有关. (1)证明:当x≥7时,掌握程度的 增长量f(x+1)-f(x)总是下降;

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(2)根据经验,学科甲、乙、丙对 应的a的取值区间分别为(115,121], (121,127],(127,133].当学习某学科 知识6次时,掌握程度是85%,请确 定相应的学科.

课堂互动讲练
解:(1)证明:当 x≥7 时, 0.4 f(x+1)-f(x)= . (x-3)(x-4)

而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4) 单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故f(x +1)-f(x)单调递减. ∴当x≥7时, 掌握程度的增长量f(x+1)-f(x) 总是下降. 5分

课堂互动讲练
a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85, a-6 a 整理得 =e0.05, 7分 a-6 e0.05 解得 a= 0.05 · 6≈20.50×6=123.0, e -1 123.0∈(121,127].由此可知,该学科 是乙学科. 10 分

规律方法总结
常见函数模型的理解 1.直线模型,即一次函数模型,其 增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过 图象可以很直观地认识它. 2.指数函数模型:能用指数型函数 表达的函数模型,其增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越快 (a>1),常形象地称之为“指数爆炸”.

规律方法总结
3.对数函数模型:能用对数函数表 达式表达的函数模型,其增长特点是开始 阶段增长的较快(a>1),但随着x的逐渐增 大,其函数值变化越来越慢,常称之为“ 蜗牛式增长”. 4.幂函数型函数模型:能用幂函数 表达的函数模型,其增长情况随xn中n的 取值变化而定,常见的有二次函数模型.

基础知识梳理
5.“对勾”函数模型:形如 f(x)=x a +x(a>0,x>0)的函数模型,在现实生 活中也有着广泛的应用, 常利用“基本不 等式”解决, 有时利用函数的单调性求解 最值.


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