当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2007年全国高中联赛模拟题(成都七中)


成都七中

第1页

共 6 页

高中数学联赛模拟试题(成都七中 第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 y ? sin x ? cos x 与 y ? sin x ? cos x 的图象的一条对称轴是( A. y 轴 B. x ? )

许勇)

>?
4

C. x ?

?
2

D. x ?

3 ? 4


2.设 ?an ? 为等比数列,前 n 项和为 Sn ,若 a2006 ? 2S2005 ? 5, a2007 ? 2S2006 ? 5 ,则公比 q ? ( A. 2 B. 3
? x ?2

C. 4

D. 5 )

3.关于 x 的方程 9 A. a ? 4

? 4?3

? x ?2

?a ? 0

? a ? R? 有实根的充要条件是(
C. ?3 ? a ? 0

B. ?4 ? a ? 0

D. 1 ? a ? 3
2

PF2 x2 y 2 4.已知 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点, P 为双曲线左支上的任意一点,若 的最小值 PF1 a b
为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围为( A. ?1, ?? ? B. ? 0,3? ) C. ?1, 2? D. ?1,3?

5.已知正四棱锥 S ? ABCD 的高为 2 ,底面边长为 2 ,点 P, Q 分别在线段 BD, SC 上,则 P, Q 间的最 短距离为( A. ) B.

2 5 5

10 5

C.

2 3 3

D. 1

6.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式 x ? 1 ? y ? 1 点 ? x, y ? 的个数是( ) C. 18 D. 25

?

? ?
2

?

2

? 2 的整

A. 16 B. 17 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

,14 中按从小到大的顺序取出 a1 , a2 , a3 ,使得同时满足 a2 ? a1 ? 3, a3 ? a2 ? 3 ,那么所有符 7.从 1,2,3, ?
合上述要求的不同取值有_______________种 8.设集合 A ? x x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 , B ? x x ? 0 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是_______
2

?

?

?

?

2 2 9.已知圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ?1 ? 0 , 直线 l : x ? y ? 9 ? 0 , 过 l 上一点 A 做△ ABC , 使 ?BAC ?

?
4



边 AB 过圆心 M ,且 B, C 在圆 M 上,则 A 点纵坐标的取值范围是_______________

? ? ? ? ? ? ? a ? 10.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 4, a ? b ? 3 2 ,则 ? tb 的最小值为_______________ t

1

成都七中

第2页

共 6 页

11. 正整数 a1 , a2 ,?, a18 满足条件① a1 ? a2 ? ? ? a18 ② a1 ? a2 ? ? ? a18 ? 2011 , 则 a9 的最大值为______ 12.定义数列 ?an ? : an ? n3 ? 4 n ? N? ,令 dn ? ? an , an?1 ? 即 dn 为 an 与 an ?1 的最大公约数,则 dn 的最大 值为_______________ 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0? 的右焦点为
O F P l B

A

F ? c,0?

? c ? 0? ,设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

交 y 轴于点 P , PA ? ?1 AF , PB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值 14.设

1 2 1 1 1 1 ? a1 ? , an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? ,求证: n ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 2 3 2 a1 a2 an

15.对于函数 f ? x ? ,若 f ? x ? ? x ,则称 x 为 f ? x ? 的不动点,若 f ? ? f ? x ?? ? ? x ,则称 x 为 f ? x ? 的稳定 点, 函数 f ? x ? 的不动点和稳定点的集合分别记为 A 和 B , 即 A ? x f x? ?x? 若 f ? x ? ? ax ?1
2

?

? ,B ? ?x f ? ? f ? x ?? ? ? x? ,

? a ? R, x ? R? 且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围

解答:
1.解: y ?

? ?? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? 与 y ? 2 sin ? x ? ? 关于直线 x ? 对称,∴C 正确 2 4? 4? ? ?

2.解:∵ a2007 ? a2006 ? 2 ? S2006 ? S2005 ? ? 2a2006 ∴ q ? 3 ,B 正确 3.解:令 t ? 3 ∴C 正确
? x ?2
2 ,则 0 ? t ? 1 且 t ? 4t ? a ? 0 ,∴ a ? ? t ? 2 ? ? 4 ,由 0 ? t ? 1 得 ?3 ? a ? 0 ,
2

PF2 ? PF1 ? 2a ? ? PF ? 4a 2 ? 4a ? 8a ,当且仅当 PF ? 4a2 即 ? 4. 解: ∵ PF2 ? PF , ∴ ? 2 a 1 1 1 PF1 PF PF PF1 1 1
2 2

PF1 ? 2a 时 等 号 成 立 。 设 P ? x, y ?

? c2 ? ? x ? a ? , 由 第 二 定 义 得 PF1 ? ? x ? ? e ? ex ? a ? c ? a , 即 a? ?

2a ? c ? a,∴ e ? 3 ,∴ 1 ? e ? 3 ,∴D 正确
5.解:P, Q 最短距离为异面直线 BD 与 SC 之间的距离,设底面正方形 ABCD 的中心为 O,则 BD⊥平面 SOC, 过 O 在平面 SOC 上作 OM⊥SC 于 M, 则 OM 为所求, ∵SO=2, OC=1, ∴SC= 5 , ∴ 2? 1 ?5 ∴A 正确
2

∴ OM ? ? OM ,

2 5 5

成都七中

第3页

共 6 页

6. 解: 由 x ?1 ? y ?1 共有 16 个,∴A 正确 7 . 解 : ∵

?

? ?
2

?

2

? 2 可得 ? x ? 1, y ? 1? 为 ? 0,0? , ? 0,1? , ? 0, ?1? , ?1,0? , ? ?1,0? , 从而得到 ? x, y ?

a1 ?1 ? 0, a2 ? a1 ? 3 ? 0, a3 ? a2 ? 3 ? 0,14 ? a3 ? 0









于是 a1 , a2 , a3 的取法数就是不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 7 的 a1 ?1 ? a2 ? a1 ? 3 ? a3 ? a2 ? 3 ? 14 ? a3 ? 7 ,
4?1 3 非负整数解的个数为 C7 ? 4?1 ? C10 ? 120

8.解:设全集 U ? a ? ? ? ?4a ? ? 4 ? 2a ? 6 ? ? 0 ? ?a a ? ?1或a ?
2

?

?

? ?

3? 2 ? ,方程 x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 的 2?

?a ? U 3 ? 两根为 x1 , x2 均非负,则 ? x1 ? x2 ? 4a ? 0 ? a ? ,∴解集为 ?a a ? ?1? ,∴ a ? ?1 2 ? x x ? 2a ? 6 ? 0 ? 1 2
9.解:设 A? a,9 ? a ? ,则 M 到 AC 的距离 d ? AM sin

?
4

,∵AC 与圆有公共点,∴ d ? r ?

17 ,即 2

AM ? 17 ,由
是 ?3,6?

? a ? 2? ? ? 7 ? a ?
2

2

? 17 得 a 2 ? 9a ? 18 ? 0 ? 3 ? a ? 6 ,∴ A 点纵坐标的取值范围

10.解:设 a ? ? cos? ,sin? ? ,b ? ? 4 cos? , 4sin? ? ,则 a ? b ? ? cos? ? 4 cos? ,sin? ? 4sin? ? ,于是

?

?

? ?

? ?2 2 2 a ? b ? ? cos ? ? 4cos ? ? ? ? sin ? ? 4sin ? ? ? 3 2

?

?

2





c

o ? ?s? ? ? ??

1 8





? 2 2 2 a ? 1 1 ?1 ? ?1 ? 当 ? tb ? ? cos ? ? 4t cos ? ? ? ? sin ? ? 4t sin ? ? ? 2 ? 16t 2 ? 8cos ?? ? ? ? ? 2 ? 16t 2 ? 1 ? 7 , t t ?t ? ?t ? t ? 1 a ? 且仅当 t ? ? 时取等号,∴ ? tb 的最小值为 7 2 t
11.解:为使 a9 最大, a1 , a2 ,?, a8 应尽可能小, a10 , a11 ,?, a18 应尽可能接近 a9 ,故取 a1 , a2 ,?, a8 分别 为 1, 2,?,8 ,其和为 36 ,设 a9 ? n ,则 a10 ? n ? 1, a11 ? n ? 2,?, a18 ? n ? 9 ? n ? 193 ,∴ a9 的最大值 为 193 12 . 由

dn

?

3

?n 4? ,

?? n ? 1
3

知 ?

4d n ? n3 ? 4,3n 2 ? 3n ? 1?








有 ∴

dn ?3 ? n3 ? 4 ? ? n ? 3n2 ? 3n ? 1? ,3n2 ? 3n ? 1

?

?

dn ? 3n2 ? n ? 12,3n2 ? 3n ? 1?

d n ? 2n ? 13,3n 2 ? 3n ? 1? , 从而 d n ? 2n ? 13,33n ? 2 ? , 于是 d n ? 即 dn 433 , ? ?2 ? 33n ? 2 ? ? 33 ? 2n ? 13? ? ?,
∴ ? dn ?max ? 433 ,令 n ? 210 ,易知 433 a210 且 433 a211 , 433 ? ? a210 , a211 ? ,从而 ? dn ?max ? 433
3

成都七中

第4页

共 6 页

13 . 解 : l 斜 率 存 在 , 设 l 方 程 为 y ? k ? x ? c ? , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y ? k ? x ? c? ? , 由 ? x2 y 2 得 ? ? 1 ? 2 ? a b2

? b2 ? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 k 2cx ? a 2k 2c 2 ? a 2b2 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ?

2a 2 k 2 c a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 x x ? , , 1 2 b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2

2a 2 k 2c 2 2a 2 k 2c 2 ? 2a 2b2 ? 2 2 2 2 2 2 c ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 x1 ? 0 x2 ? 0 2a 2 b 2 2a 2 b ? a k b ? a k ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ?? 2 2a 2 k 2 c 2 a 2 k 2 c 2 ? a 2 b 2 c 2 b 2 ? a 2 b 2 c ? x1 c ? x2 c 2 ? c ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 b 2 c ? 2 ? 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k
14.证明: an ?1 ?

? a ? 1? 2an a ?1 a ? 1 1 an ? 1 ,∴ an ?1 ? 1 ? n 两式相除得: n ?1 ,∴ ? n ? ? 为等比数列, an ? 1 an ? 1 an ?1 2 an ? an ?
n ?1

a ? 1 a1 ? 1 ? 1 ? ? 则 n ? ? an a1 ? 2 ?

? 1 ?? 1 1 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ? ,∴ an ? a1 ? ? 2 ?

n ?1

,注意到

1 2 1 1 ? a1 ? , 则 ? ? 1 ? 1 , ∴ 2 3 2 a1

1?

1 1 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? 1 ? n?1 ,∴ ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? n?1 ? ? n ? 2 ? n?1 ? n ? 2 , n 2 an 2 a1 a2 an ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?

1 1 1 ? 1? ? 1? 1? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? n ? ? n ? 1 ? n ? n ? 1 ? ? n ? a1 a2 an ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? 2 ?
2 15.解:A 中元素是方程 f ? x ? ? x 即 ax ? a ? x 的方程由 A ? ? 知 a ? 0 或 ?

?a ? 0 1 ,∴ a ? ? ,故 B 4 ?? ? 0

3 4 2 2 2 中的元素是 a ax ? 1 ? 1 ? x 即 a x ? 2a x ? x ? a ? 1 ? 0 ……①的实根,显然, A ? B 知方程①左边
2 2 2 2 含有一个因式 ax ? x ? 1 ,即方程可化为 ax ? x ? 1 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 ,因此要 A ? B ,即要方程

?

?

2

?

??

?

a 2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 ……②要么没有实根,要么实根是方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ……③的根,若②没有实根则
? 2 ? a 2 ? 4a 2 ?1 ? a ? ? 0 ? a ?
2ax ? 1 ? 0 ,∴ x ? ?

3 2 2 ,若②有实根且②的根是③的实根,则由③得 a x ? ax ? a 代入②得 4

1 1 1 3 ? 1 3? ? ? 1 ? 0 ,∴ a ? ,∴ a ? ? ? , ? ,再代入③得 2a 4a 2a 4 ? 4 4?

高中数学联赛模拟试题(成都七中 第二试(每小题 50 分,共 150 分)
一、如图,M 为△ABC 内一点,D、E、F 分别为 AM、BM、CM 延长线上的点, DE 分别交 BC、CA 于 H、Q,EF 分别交 CA、AB 于 I、J,DF 分别交 F AB、BC 于 P、G,若 H、M、J 三点共线,则 P、M、Q 三点共线 证明:设 CF 交 DE 于 K,交 AB 于 L 点,∵J,M,H 为直线 JH P 与△EKF 的边或延长线的交点,由梅涅劳斯定理可得:
4

许勇)

A J I E

M

Q

B

G

H

C

成都七中

第5页

共 6 页

FJ EH KM ? ? ? 1 ……① JE HK MF
又∵J,L,B 为直线 AB 与△FEM 的边或延长线的交点

FJ EB ML ? ? ? 1 ……② JE BM LF EH KC MB ? ? ? 1 ……③ 同理,CHB 截△EKM,∴ HK CM BE FJ EH KC ML ? ? ? ? 1 ……④ ②×③得 JE HK CM LF KC ML MF ? ? ? 1 ……⑤ ④÷①得 CM LF KM FP DA ML ? ? ? 1 ……⑥ 由 ACP 截△FDM 得 PD AM LF
∴ CQA 截△DMK 得

DQ KC MA ? ? ? 1 ……⑦ QK CM AD

⑥×⑦得

FP DQ KC ML ? ? ? ? 1 ……⑧ PD QK CM LF FP DQ KM ? ? ?1 PD QK MF

⑧÷⑤得

由梅涅劳斯定理的逆定理可知:P,M,Q 三点共线 二、若 ai ? 0, bi ? 0, aibi ? c ? d
2 i 2 i

? n ?? n ? ? n ? ? n ? ?i ? 1, 2,?, n? 则 ? ? ai ?? ? bi ? ? ? ? ci ? ? ? ? di ? ,当且仅当 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?

2

2

ai bi ci di ? ? ? a j bj c j d j
证明:∵ ?

?1 ? i ? j ? n? 时等号成立

?

1 n n ?? n ? n n a b ? a b ? ? aibj ? a jbi ? ∴ ? i ?? ? i ? ?? i j 2 ?? i ?1 j ?1 ? i ?1 ?? i ?1 ? i ?1 j ?1
n

n ? n ? 2 2 2 a ? ? ? i ? ? ai ? 2 ? ai a j ,又由 ai ? 0, bi ? 0, aibi ? ci ? di 得: i ?1 1?i ? j ? n ? i ?1 ? n n n n n n ? n ?? n ? ? n ? ? n ? a b ? c ? d ? a b ? c c ? ? ? i ?? ? i ? ? ? i ? ? ? i ? ?? i j ?? i j ?? di d j i ?1 j ?1 i ?1 j ?1 i ?1 j ?1 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 2 2

2

?

1 n n ?? ? aibj ? a jbi ? 2cic j ? 2di d j ? 2 i ?1 j ?1
? aj 2 1 n n ? ai 2 2 2 ? ? c j ? d j ? ? ? ci ? di ? ? 2ci c j ? 2di d j ? ?? 2 i ?1 j ?1 ? ai ? ?aj ?

?

5

成都七中

第6页

共 6 页

2 2 ? a j ? ? ai aj ? ? 1 n n ?? ai ? ?? ? cj ? ci ? ? ? d ? di ? ? ? 0 ? ? aj j ? ? 2 i ?1 j ?1 ?? a a a j i i ? ? ? ? ??

? ? ? 若? ? ? ?

aj ai cj ? ci ? 0 aj ai aj ai dj ? di ? 0 aj ai

?1 ? i ? j ? n?

即?

? ? ai c j ? a j ci 2 2 2 2 2 2 ,两式平方相加得:ai ? c j ? d j ? ? a j ? ci ? d i ? , ? ? ai d j ? a j d i

∴ aibj ? a j bi ,由以上三式可知,当且仅当

ai bi ci di ? ? ? a j bj c j d j

?1 ? i ? j ? n? 时原不等式等号成立
?n? ? ?

三、给定 n 个共线的点,考虑点与点之间的距离,假设每个距离最多出现两次,证明:至少有 ? ? 个距离 2 分别只出现过一次 证明:令 x 为出现一次的间隔数目, y 为出现两次的间隔的数目,我们想要找到所有的不同间隔的总数 x ? y 的一个下限,为了做到这点,我们从最左面的终点开始,从左到右数一个个间隔的数目,并且把一

n ? 1 个不同间隔的左终点;接着我们继续向前看 P 个个点,从左到右依次记为 P 1, P 2 ,?, P n ,于是 P 1是 2,
这个点是 n ? 2 个间隔的左终点,但是其中这些长度的间隔可能在 P 1 时,我们已经数过了,像这种重复的 情况, 最多只可能有一个长度是重复的, 因为如果 PP 且同时 PP 那么 PP 1 k ? P 2P l, 1 2 ? PP i j ?P kP l, 1 i ?P 2 Pj , 这样与题设中的一个距离最多只能出现两次相矛盾。因此,与在 P 1 点数间隔相比较的话,最多只有一个长 度是重复的, 并且我们现在至少有 n ? 3 个新的间隔长度; 继续向前到 P 我们可以作出类似的分析, 以P 3, 3 为左终点的情况下,一共有 n ? 3 个间隔,但是在 P 1 点时,可能有一个长度被数过了,同样在 P 2 点时,可 能另外一个长度也被数过了,因此我们把我们的下限定在 n ? 5 ;照着这样的方式进行下去的话,我们得 到一个总的下限 ? n ?1? ? ? n ? 3? ? ? n ? 5? ? ?,如果 n 为奇数,该和等于

n2 ? 1 ,如果 n 为偶数,该和等 4

n ? n ? 1? ? n2 ? n2 于 ,∴所有间隔的总数是等于 x ? 2y ,等于 ,由上面结论得知: x ? y ? ? ? ,∴ 4 2 ?4?

? n2 ? ? n2 ? ? n2 n ? ? n ? ,∴ 2x ? 2 y ? ? ? x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2? ? 2 ? ? 2 2 ? ?2?
既我们所要证的。

6


相关文章:
2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛试题及答案一一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ...
2007年全国高中联赛一试
关键词:教案习题学习资料课外读物模拟试卷 同系列文档 2007年全国高中联赛二试1...将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,...
2010年全国高中数学联赛模拟试题
2009 年全国高中数学联赛模拟试题方廷刚 (四川省成都七中 一、填空题(共 56 分, 每题 7 分) 1. 设 ?ABC 是给定锐角三角形, 则关于 x 的方程 x2 sin ...
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)
全国高中数学联赛模拟题 一试一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?1 ? an , n...
1987年全国高中数学联赛试题及解答
总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同. ·3· 1987 年全国高中数学联赛解答 一试题 一.选择题(每个小题选对...
2016年全国高中数学联赛一试模拟题一三及参考答案
2016年全国高中数学联赛一试模拟题一三及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛一试模拟题及其参考答案 2016 年全国高中数学联赛模拟题一 一...
2007年全国高中数学联赛模拟题联合命题-湖北彝陵中学张欣然
2007年全国高中数学联赛模拟题联合命题-湖北彝陵中学张欣然_高三数学_数学_高中教育...此题,若他们中恰有一人解出此题的概率为 ,那么,他们三人都未 15 解出此题...
2014年全国高中数学联赛模拟试题(2卷)(附详细解答)
p ) 1 e 2014 全国高中数学联赛模拟题加试(二试) 9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、(本题 40 分)在△ABC 中,AB...
2007年全国高中联赛二试
2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、 (本题满分 50 分) 如图, 在锐角△ABC 中, AB<AC, A AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点。过 ...
更多相关标签:
高中数学联赛模拟题 | 2007全国高中数学联赛 | 2007年高中数学联赛 | 初中数学联赛模拟题 | 成都七中国际高中 | 成都七中高中招生 | 成都七中高中部 | 成都七中温江校区高中 |