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指数函数的图像及性质(公开课课件)


§2.1.2
指数函数及其性质(1)
高一:郑绵慧

复习
学习函数的一般模式(方法): 解析式(定义)
①定义域
数形结合 分类讨论

图像

②值域 ③单调性 ④奇偶性

性质 应用

⑤其它

(0,1

)

比较a、b、c、d、1的大小.

0<c<d<1<a<b.

底大图高

第一象限

当指数函数底数大于1时,图象上升,

且底数越大时图象向上越靠近于y轴;当
底数大于0小于1时,图象下降,底数越 小图象向右越靠近于x轴.

0 ? a ?1
y=ax
(0<a<1)

a ?1
y y=1 x y=1 y=ax
(a>1)
(0,1)

y
(0,1)

图 象
0

0

x

定义域: R 值域:(0,+∞) 性 过定点: (0,1),即x=0时,y=1 质 单调性: 在R上是增函数 在R上是减函数
当x ? 0时,y ? 1 当x ? 0时, 0 ? y ? 1

当x ? 0时, 0 ? y ?1 当x ? 0时,y ? 1

1.指数函数的图象和性质(定义域和值域) 例.求下列函数的定义域、值域:
1

(1) y ? 3x

(2) y ? (0.25) 2x ?1

解 (1) 函数的定义域为{x|x ? 0}, 值域为{y |y>0 ,且y?1}. 1 由 2 x ? 1 ? 0 , 得 x ? (2) 2

1 函数的定义域为 [ ,?? ) 2 ? 2 x ?1 ? 0,
? 0 ? 0.25 2 x?1 ? 1 ?函数的值域为 (0,1].

练习:P58 2.求下列函数的定义域和值域:
1

( 1 )y ? 3 x ? 2;

(2)y

?1? ? ? ?? ?x ?2? ? ?

解 (1) 函数的定义域为{x|x ≥2},

? x ? 2 ? 0,

?3

x ?2

?1

? ?. ? 函数的值域为? 1 , ? ? ? ? ?

(2) 函数的定义域为{x|x≠0 }

值域为{y |y>0 ,且y?1}.

2.指数函数的图象和性质(恒过定点)

例题:
(0,1) (1)y=ax(a>0且 a≠1)图象必过点_______ (2,1) (2)y=ax-2(a>0且 a≠1)图象必过点_______

(-1,5) (3)y=ax+1+4(a>0且 a≠1)图象必过点________

求定点,先令指数部分为0,再计算x,y的值

2.指数函数的图象和性质(利用函数单调性比较大小)

(1)1.72.5 ,1.7 (3)1.70.3 ,0.9

3 ;
3.1

(2)0.8

– 0.1

,0.8

– 0.2

xx 解:(1)(1) 指数函数y=1.7 在 R上是增函数 . 考察指数函数 y=1.7 ,由于底数 1.7>1 ,所以指 x 在R上是增函数. 数函数y =1.7 ∴1.72.5<1.73 ∵2.5<3

(2)指数函数y=0.8x 在R上是减函数. ∵-0.1>-0.2 ∴0.8-0.1<0.8-0.2 (3)由指数函数的性质知 利用函数的单调性比较大小 1.70.3>1.7 0=1 , 0.93.1<0.9 0=1 , ∴1.7 0.3>0.9 3.1 搭桥法,与中间变量0,±1比较大小

变式
比较下列各题中两个值的大小:

(1)4 ,0.25
解: (1) 0.25 ? 4

5

?4

(2)2.13.4 ,3.13.4
对同指数幂 不同底数的 大小比较可 用作商法.

1 ? ( )? 4 ? 4 4 4 ?指数函数y ? 4x 在R上是增函数
又5 ? 4

?45 ? 44即45 ? 0.25?4
?0 ? 21 ?1 31

2.13.4 21 3.4 (2) 3.4 ? ( ) 3.1 31

21 x ? 指数函数y ? ( ) 在R上是减函数 31
21 3.4 又3.4 ? 0 ? 0 ? ( ) ? 1 31

? 2.13.4 ? 3.13.4

方法总结: 1、对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单 调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数 的两个函数值;

2、对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进 行比较. 3、对同指数幂不同底数的大小比较可用作商法.

练习:比较下列各组数的大小

解 (1)

?

? 解:(3) 提示:对于指数幂不同
底数的指数函数比大小, 可以使用作商法

小结:
1.指数函数的定义:函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是 R。
x

2.指数函数的的图象和性质:

0 ? a ?1
y=ax y
(0,1)

a ?1
y y=1 y=1 x y=ax
(a>1)
(0,1)

图 象

(0<a<1)

0

0

x

定义域:R

值域:(0,+∞)
性 过定点(0,1),即x=0时,y=1 质 在R上是减函数 在R上是增函数
当x ? 0时,y ? 1 当x ? 0时, 0 ? y ? 1

当x ? 0时, 0 ? y ?1 当x ? 0时,y ? 1

作业: 1、导学案练习5(本A) 2、金版学案P45—P46 ; 3、完成第三小节导学案


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