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圆与相似三角形综合问题


个性化辅导讲义
学生: 科目: 数 学 教师: 谭 前 富
课 题

相似三角形和圆的综合提高 教学内容

知识框架
相似三角形的性质是几何证明的重要工具,是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问 题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用. 1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例,

对应角相等,对应边上的中线,角平分线,高线,周长之比等于 相似比,面积之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法 (1)三边对应成比例的两个三角形相似 (2)两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似 (3)两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形

4、由相似三角形得到的几个常用定理 定理 1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图,若 DE ∥ BC ,则 或
A

AD AE DE = = , AB AC BC
D

E

D A

AD BD = . AE CE
B

E

C

B

C

定理 2 平行切割定理 如图, D, E 分别是 D ABC 的边 AB, AC 上的点, 过点 A 的直线交 DE, BC 于 M , N ,若 DE ∥ MN ,
D M A

E



DM BN = ME NC

B

N

C

定理 3 (平行线分线段成比例定理)两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.

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如图,若 l1 ∥ l2 ∥ l3 ,则
A A/ B/ B C C/ l2 l1

A

A/ B/

l1 l2 l3

AB BC = = ⅱ ⅱC A B B

AC , ⅱC A

B
l3

C/
A

C

定理 4(角平分线性质定理)

如图, AD, AE 分别是

D ABC 的内角平分线与外角平分线,


DB EB AB = = . DC EC AC
B D C

E

定理 5 射影定理

直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形,这两个三角形与原三角形相似.

定理 6

相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
B O P C A

D

即:在⊙ O 中,∵弦 AB 、 CD 相交于点 P , ∴ PA ? PB ? PC ? PD 定理 7 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。 即:在⊙ O 中,∵直径 AB ? CD ,
B

C O E D A

∴ CE ? AE ? BE
2

定理 8

切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵ PA 是切线, PB 是割线
A

∴ PA ? PC ? PB
2

D

E O

定理 9

割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的

P C

交点的两条线段长的积相等(如上图) 。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD ? PE

B

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【例题精讲】 二例题讲解 1 利用相似证明角相等
例 1 如图, D ABC 中, ? BAC

90?, AB

AC , D 是边的中点, AH ^ BD ,垂足为 H ,
A

交 BC 于点 E . (1) 求证: ? ADB

CDE
H

D

(2) 若 AB = 2 ,求 D CDE 的面积.

B

E

C

A

练习 在 D ABC 中, AD ^ BC 于点 D , DE ^ AB 于点 E ,

DF ^ AC 于点 F ,求证: ? AFE

ABC .

E F D C

B

2 利用相似证明线段相等
例2 已知点 E , F 分别在矩形 ABCD 的边 AB, AD 上,EF ∥ BD ,EC , FC 分别交 BD 于点
D H E G C

G , H ,求证: BG = DH .

A

F

B

练习 1、如图,梯形 ABCD 中 AD ∥ BC ,对角线 AC , BD 交于点 P ,过点 P 作 BC 的平行 线分别交 AB, DC 于点 E , F ,求证 PE ? PF .
E P A D F

B

C

2、如图, D ABC 中, AB = AC, AD ^ BC 于 D , E , G 分别是 AD, AC 的中点, DF ^ BE 于 F ,求证: FG = DG .
A
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E

G

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3 证明比例(等积)线段
例 3 如图, BD, CD为的两条角平分线,过点 D 作直线分别交 AB, AC 于点 E , F ,若
A
2

AE = AF ,求证: EF = 4BE CF
E D F C B

例 4

如 图,在四边形 ABCD 中 , AC 与 BD 相交 于点 O ,直线 l 平 行于 BD ,且 与
A

AB, DC BC , AD 及 AC 的延长线分别交于点 M , N , R, S 和 P ,
求证: PM ?PN

PR PS
B O C S D

M

N

P

R

练习 1、如图,在 D ABC 中, AD 是 ? A 的平分线, AD 的垂直平分线交 AD 于点 E ,交 BC 的延 长线于点 F .求证: FD = FB FC
E F B D C
2

A

A

2、 AD, BE 是 D ABC 的高线,过 D 作 AB 的垂线, 垂足为 F ,与 BE 及 AC 的延长线分别相交于 M , N , 求证: DF = FM FN
2

F M D B

E C

N

3、 AD 是 RtD ABC 的角平分线, ? C

90 ,求证:

AC 2 BC = 2 AD 2 BD
A

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C

D

B

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4 求线段比
A

例5

ABCD 是正方形, E , F 是 AB, BC 的中点,
E G H B F

D

联接 EC 交 DB, DF 于 G , H ,求 EG : GH : HC .

C

练习 1、梯形 ABCD 中, AD ∥ BC, ? ABC 对角线 AC ^ BD 于点 P ,若

90 ,

A P

D

AD 3 BD = ,求 的值. BC 4 AC

B

C

2、如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 的直线顺次与 AC , AD 及 CD 的延长线相交于点

E, F , G ,若 BE = 5, EF = 2, 求 FG 的长.
A E F D

G

5 证明线段(线段比)和差
B

C

例 6 如图,已知 AB ∥ CD, AD ∥ CE , F , G 分别是 AC 和 FD 的中点,过 G 的直线依次交

AB, AD, CD, CE 于点 M , N , P, Q .求证:. MN + PQ = 2PN
C F

E Q P G N B A D

练习

如图, P 是 D ABC 内一点, AP, BP, CP 分别与对边交于点 D, E, F , 求证:

A

AE AF AP + = . EC FB PD

F P

E

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D

C

B

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6 证明垂直
例 7 如图, H , Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB, AC 上的点,且 BH = BQ ,过 B 作 HC 的
A D

垂线,垂足分别为 P ,求证: DP ^ PQ .
H P

B

Q

C

练习题 1、如图, D ABC 中, ? BAC

90 , AD 是 BC 边上的高, E 是 BC 边上一点,过点 E 作

AB, AC 的垂线,垂足分别为 F , G ,求证: ? FDG

90
F

A G

B

D

E

C

B 2、 D ABC 与 D Aⅱ C 均为等边三角形, BC 和 B1C1 的中点均为 D ,求证: AA1 ^ CC1
A

B1 B D C1

A1 C

7
例8

证明平行
如图, 在矩形 ABCD 中,E、F 是 DC 边上的点, 满足 DE ? EF ? FC , G、H 是 又

BC 上的点,满足 BG ? GH ? HC . AE 与 DG 相交于点 K , AF 与 DH 相交于 N .
求证: KN ∥ CD .
A B G H K D E N F C

练习题

如图,两个等边 ?ABC , ?ADE 顶点 A 重合,过点 E 作 BC 的平行线,分别交 AB, CD 于
E

F,G .
(1)求证: DF 平分 ?AFE . (2) 求证: AG ∥ BD .
B F

D G

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C

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8 利用相似三角形的面积比
例 9 在 D ABC 的内部取点 P ,过 P 点作 3 条分别与 D ABC 的三边平行的直线,这样所得的 3 个三角形 t1 , t2 , t3 的面积分别为 4,9,49,求 D ABC 的面积.
F t1 D P t3 H G t2 A I E C

B

练习 1、 AD 是 Rt ?ABC 斜边上的高,求证:

AB 2 BD ? AC 2 DC

A

B

D

C

2、梯形 ABCD 中 AD ∥ BC , AD ? 4, BC ? 8 ,点 E , F 在 AB, DC 上,且 EF ∥ BC ,若直线

EF 平分梯形 ABCD 的面积, (1)求 EF 的长, (2)求

AE 的值 EB
A D F C

E

B

练习题
1、已知平行四边形 ABCD 中, M , N 为 AB 的三等分点, DM , DN 分别交 AC 于 P, Q 两点,求

BP : PQ : QC 的值.
P B

A

D Q N C

M

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2、如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, AF = 证: AG =

1 FD , FE 交 AC 于点 G ,求 2
C

1 AC 5

D F

G E B

A

∥ BC

3、 如图, AM 是的中线,P 是 AM 上一点,BP, CP 分别交 AC , AB 于点 D, E ,求证: DE A

E P M B

D

C

4、 D ABC 中, AB = AC, ? BAC 交 BC 于点 E ,求证: BE = 2 EC

90 , D 是 BC 边的中点, AH ^ BD 交 BD 于点 H ,
A

D H B E C

5、 在四边形 ABCD 中,E , F 分别是 AB, CD 的中点,P 为对角线 AC 延长线上任意一点,PF 交 AD 于点 M , PE 交 BC 于点 N , EF 交 MN 于点 K .求证: K 是线段 MN 的中点.
D F M K C N B P

A

E

6、锐角三角形 D ABC 中, AB > AC , CD, BE 分别是 AB, AC 上的高, DE 与 BC 的延长线

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A

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交于点 T ,过 D 作的 BC 垂线交 BE 于 F ,过 E 作 BC 的垂线交 CD 于 G ,证明: F , G, T 三点共 线.

7、如图,在等边 D ABC 中, BC 边上取点 D ,使 BD :CD = 1:2 ,作 CH ^ AD ,垂足为 H , 联接 BH ,求证: ? BAD

HBC .

A

H

B

D

C

圆中的相似三角形 1、 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠BAC=60°,P 是 OB 上一点,过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,连结 OC,过点 C 作 CD⊥OC 交 PQ 于点 D.

(1)求证:△CDQ 是等腰三角形; (2)如果△CDQ≌△COB,求 BP∶PO 的值. 2、 △ABC 内接于圆 O,∠BAC 的平分线交⊙O 于 D 点,交⊙O 的切线 BE 于 F,连结 BD,CD.

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求证:(1)BD 平分∠CBE;(2)AB·BF=AF·DC.

3、 ⊙O 以等腰三角形 ABC 一腰 AB 为直径,它交另一腰 AC 于 E,交 BC 于 D.求证:BC=2DE

4、 ⊙O 内两弦 AB,CD 的延长线相交于圆外一点 E,由 E 引 AD 的平行线与直线 BC 交于 F,作 切线 FG,G 为切点,求证:EF=FG.

5. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线与 BC 边和外接圆分别相交于 D 和 E. 求证:AD·EC = AC·BD 证明:

6. 如图,CD 切⊙O 于 P,PE⊥AB 于 E,AC⊥CD,BD⊥CD. 求证:① PE:AC = PB:PA; ② PE 2 = AC·BD

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7. 已知:

,过点 D 作直线交 AC 于 E,交 BC 于 F,交 AB 的延长线于 G,经过

B、G、F 三点作⊙O,过 E 作⊙O 的切线 ET,T 为切点. 求证:ET = ED

8.如图,AB 是⊙O 直径,ED⊥AB 于 D,交⊙O 于 G,EA 交⊙O 于 C,CB 交 ED 于 F,求证:DG =DE? DF

2

A C E

9.如图,弦 EF⊥直径 MN 于 H,弦 MC 延长线交 EF 的反向延长 线于 A,求证:MA?MC=MB?MD
M

O

H

N D

B

10、如图,AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦,点 D 为劣弧 AC 上一点,弦 ED 分别交⊙O 于点 E, 交 AB 于点 H,交 AC 于点 F,过点 C 的切线交 ED 的延长线于点 P. (1)若 PC=PF,求证:AB⊥ED; P (2)点 D 在劣弧 AC 的什么位置时,才能使 AD2=DE·DF,为什么? C F B O H E 11.如图(1), 是△ABC 的高, 是△ABC 的外接圆直径, AD AE 则有结论:AB· AC=AE· AD 成立,请证明.如果把图 (1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变,如图(2),则上 A D

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述结论是否仍然成立? 图(1) 图(2)

12.如图,AD 是△ABC 的角平分线,延长 AD 交△ABC 的外接圆 O 于点 E,过点 C、D、E 三点 的⊙O1 与 AC 的延长线交于点 F,连结 EF、DF. (1)求证:△AEF∽△FED; (2)若 AD=8,DE=4,求 EF 的长.

13.如图,PC 与⊙O 交于 B,点 A 在⊙O 上,且∠PCA=∠BAP. (1)求证:PA 是⊙O 的切线. (2)△ABP 和△CAP 相似吗?为什么? (3)若 PB:BC=2:3,且 PC=20,求 PA 的长.

14. (本小题满分 7 分) 已知:如图, AD 是⊙O 的弦,OB⊥AD 于点 E,交⊙O 于点 C,OE=1,BE=8,AE:AB=1:3. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)点 F 是 ACD 上的一点,当∠AOF=2∠B 时,求 AF 的长.

15.如图,⊿ABC 内接于⊙O,且 BC 是⊙O 的直径,AD⊥BC 于 D,F 是弧 BC 中点,且 AF 交 BC 于 E, AB=6,AC=8,求 CD,DE,及 EF 的长。
A

E B D O

C

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16. 已知:如图,在 Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? 4 ,
BC ? 4 3 ,以 AC 为直径的 ? O 交 AB 于点 D ,点 E 是 BC 的中

A D O F B

点,连结 OD,OB、DE 交于点 F. (1)求证: DE 是 ? O 的切线; (2)求 EF:FD 的值.

E

C

17.如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作 ? O 的切线,与 CA 的 延长线相交于点 E,G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延长 线相交于点 P . E (1)求证: BF ? EF ; (2)求证: PA 是 ? O 的切线; A F (3)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 , G 求 BD 和 FG 的长度. C P B D O

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