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《导数及其应用》经典例题


习题课
一、基础过关 1 x π 1.函数 f (x)= e (sin x+cos x)在区间? 0, ? 上的值域为________. ? 2 2? 2.函数 y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ′(x)的图象可能是________.(填序号)

3.使 y=sin x+ax 在 R 上是增函数的 a 的取值范围为__________.

4.已知函数 f(x)=(m-2)x2 +(m2 -4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3 +2x2 +mx+5 在(-∞, +∞)内单调递减,则实数 m 等于________. 3 9 5.若函数 y=x3 + x2 +m 在[-2,1]上的最大值为 ,则 m=________. 2 2 6.已知 a>0,函数 f (x)=x3 -ax 在[1,+∞)上单调递增,则 a 的最大值为________. 二、能力提升 7. 如果函数 f(x)=x3 +ax2 +bx+c(a、 b、 c∈R)在 R 上不单调, 那么 a、 b、 c 的关系为________. 8.已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2], f (mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为
3

________. 9.已知函数 f (x)=x3 -ax2 +3x+6,若 x=3 是 f(x)的一个极值点,求 f(x)在[0,a]上的最值. 10.设函数 f (x)=x+ax2 +bln x,曲线 y=f (x)过 P (1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f (x)≤2x-2. 三、探究与拓展 11.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x +ax)e (x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间;
2 x

(2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

答案
1 1 π? 1. ? ?2,2e 2? 2.④ 3.[1,+∞) 4.-2 5.2 6.3 7.a2 >3b,c∈R 2? 8. ? ?-2,3? 9.解 f ′(x)=3x2 -2ax+3,由已知得 f ′(3)=0,
3 2

∴3×9-6a+3=0. ∴a=5,∴f (x)=x -5x +3x+6. 1 令 f ′(x)=3x2 -10x+3=0,得 x1 = ,x2 =3. 3 则 x,f ′(x),f (x)的变化关系如下表. ?0,1? x 0 ? 3? f ′(x) f (x) 6 + 递增 1 3 0 13 6 27

?1,3? ?3 ?
- 递减

3 0 -3

(3,5) + 递增

5

21

∴f (x)在[0,5]上的最大值为 f(5)=21,最小值为 f (3)=-3. b 10.(1)解 f ′(x)=1+2ax+ . x ?f ?1? =0, ?1+a=0, ?a=-1, ? ? ? 由已知条件得? 即? 解得? ?f ′?1?=2, ?1+2a+b=2. ?b=3. ? ? ? (2)证明 因为 f(x)的定义域为(0,+∞),

由(1)知 f(x)=x-x2 +3ln x. 设 g(x)=f (x)-(2x-2)=2-x-x2 +3ln x, ?x-1??2x+3? 3 则 g′(x)=-1-2x+ =- . x x 当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f (x)≤2x-2. 11.解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x +2x)e ,f ′(x)=(-x +2)e .
2 x 2 x

当 f ′(x)>0 时,(-x2 +2)ex>0,注意到 ex>0, 所以-x2 +2>0,解得- 2<x< 2. 所以,函数 f (x)的单调递增区间为(- 2, 2). 同理可得,函数 f (x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,

所以 f ′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f ′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, 即[-x +(a-2)x+a]e ≥0,注意到 e >0,
x x 2

因此-x2 +(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立, 2 x +2x 1 也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1 1 1 设 y=x+1- ,则 y′=1+ 2>0, x+1 ?x+1? 1 即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, x+1 1 3 3 则 y<1+1- = ,故 a≥ . 1+1 2 2


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