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2011年人教大纲版高考题库考点36 空间向量的坐标运算


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考点 36
解答题

空间向量的坐标运算

1.(2011·湖北高考理科·T18) (本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都是 4,
<

br />E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合.
(1)当 CF =1 时,求证: EF ⊥ A1C ; (2)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? , 求 tan ? 的最小值. 【思路点拨】方法一: (1)先找出 EF 在 平面 A1ACC1 内的射影,再证明射影与 A1C 垂直, 又因为 A1C 与 AC1 垂直,故只需证明射影与 AC1 平行即可; (2)由(1)的结论利用三垂线定理作出二面角的平面角, 再设 ?FAC ? ? ,最终将 tan ? 用 ? 表示,转化为含有角 B A E C A1 B1 C1

? 的三角函数的最值问题.
方法二:以点 A 为坐标原点,AC 与 AA1 所在直线为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解. 【精讲精析】方法一:过 E 作 EN⊥AC 于 N,连结 EF. ⑴如图 1,连结 NF、AC1 ,由直棱柱的性质知,底面 ABC⊥侧面 A1C. 又底面 ABC ∩ 侧面 A1C = AC ,且 EN ? 底面 ABC, 所以 EN⊥侧面 A1 C,NF 为 EF 在侧面 A1 C 内的射影. 在 Rt△CNE 中, CN=CEcos60? ? 1 . 则由

CF CN 1 ? ? ,得 NF∥AC1 ,又 AC1⊥A1C ,故 NF⊥A1C . CC1 CA 4

由三垂线定理得 EF ⊥ A1C . ⑵如图 2,连结 AF,过 N 作 NM⊥AF 于 M,连结 ME. 由⑴知 EN⊥侧面 A1 C,根据三垂线定理得 EM⊥AF, 所以∠EMN 是二面角 C-AF-E 的平面角,即∠EMN = θ ,设∠FAC = α , 则 0°<α ? 45°.
-1-

Rt ?CNE 中, NE ? EC ? sin 60? ? 3,
Rt ?AMN 中, MN ? AN ? sin ? ? 3sin ? ,
故 tan ? ?

NE 3 2 ? , 又 0°<α ? 45°,∴ 0 ? sin ? ? . MN 3sin ? 2 2 ,即当α = 45°时, tan ? 达到最小值, 2

故当 sin ? ?

tan ? ?

3 6 ? 2? , 此时 F 与 C1 重合. 3 3

方法二:⑴建立如图 3 所示的空间直角坐标系,则由已知可得

A(0,0,0) 、 B(2 3, 2, 0) 、 C (0, 4,0) 、 A1 (0, 0, 4) 、 E ( 3,3, 0) 、 F (0, 4,1) ,
于是 CA1 ? (0, ?4, 4) , EF ? (? 3,1,1) . 则 CA1 ?EF ? (0, ?4, 4) ? (? 3,1,1) ? 0 ? 4 ? 4 ? 0, 故 EF ⊥ A1C . ⑵设 CF ? ? ,(0 ? ? ? 4) ,平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则由⑴得 F (0, 4, ? ) ,

????

??? ?

????????

??

??? ? ??? ? ?? AE ? ( 3,3, 0) , AF ? (0, 4, ? ) ,于是由 m ? 平面AEF 可得

?? ??? ? ? ? 3 x ? 3 y ? 0, ?? ?m ? AE ? 0, ? 即? 取 m ? ( 3? , ?? , 4) . ? ? ?? ??? 4 y ? ? z ? 0. ? m ? AF ? 0, ? ? ?

又由直棱柱的性质可取侧面 AC1 的一个法向量为 n ? (1, 0, 0) ,

?

?? ? 3? ? 2 ? 16 m ?n , sin ? ? , 于是θ 为锐角可得 cos ? ? ?? ? ? 2 ?2 ? 4 m ? n 2 ?2 ? 4
所以 tan ? ?

? 2 ? 16 1 16 ? + . 3 3? 2 3?
-2-

由 0 ? ? ? 4 ,得

1

?

?

1 1 6 1 + ? , ,即 tan ? ? 3 3 3 4
6 . 3

故当 ? ? 4 ,即点 F 与点 C1 重合时, tan ? 取得最小值 2.(2011·湖北高考文科·T18) (本小题满分 12 分)

如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2,侧棱长 为3

2 ,点 E 在侧棱 A A 1 上,点 F 在侧棱 B B 1 上,且

AE ? 2 2 , BF ? 2 .
(1) 求证: CF ? C 1E ; (2) 求二面角 E?C F?C 1 的大小. 【思路点拨】方法一:(1)利用勾股定理的逆定理证明 C1E⊥EF,C1E⊥CE,从而可证 C1E⊥平面 CEF;(2)先 证明 CF⊥EF,再由(1)可得 CF⊥平面 C1EF,故∠EFC1 为二面角 E?C F?C 1 的平面角. 方法二:以点 A 为坐标原点,AC 与 AA1 所在直线为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解. 【精讲精析】方法一:(1)由已知可得 CC1 ? 3 2, CE ? C1 F ?

22 ? (2 2) 2 ? 2 3 ,

EF 2 ? AB 2 ? ( AE ? BF ) 2 , EF ? C1 E ? 22 ? ( 2) 2 ? 6 ,
于是有 EF ? C1 E ? C1F , CE ? C1E ? CC1 ,
2 2 2 2 2 2

所以 C1 E ? EF , C1E ? CE . 又 EF,CE 在平面 CEF 中,且 EF ? CE ? E ,所以 C1 E ? 平面 CEF . 因为 CF ? 平面 CEF ,所以 CF ? C1 E . (2)在 ?CEF 中,由⑴可得 EF ? CF ?
2 2 2

6 , CE ? 2 3 ,

于是有 EF ? CF ? CE ,所以 CF ? EF . 又由⑴知 CF ? C1 E ,且 EF ? C1 E ? E ,EF,C1E 在平面 C1FE 内,所以 CF ? 平面 C1 EF . 又 C1 F ? 平面 C1 EF ,故 CF ? C1 F . 于是 ?EFC1 即为二面角 E ? CF ? C1 的平面角.
? 由⑴知 ?C1 EF 是等腰直角三角形,所以 ?EFC1 ? 45? ,即二面角 E ? CF ? C1 的大小为 45 .

-3-

方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得

B( 3,1, 0), C (0, 2,0), C1 (0, 2,3 2), E (0, 0, 2 2), F ( 3,1, 2).
(1) C1 E ? (0, ?2, ? 2), CF ? ( 3, ?1, 2),

???? ?

??? ?

???????? ? ???? ? ??? ? C1 E ?CF ? 0 ? 2 ? 2 ? 0, ∴ C1E ? CF ,∴ CF ? C1 E .
(2) CE ? (0, ?2, 2 2), 设平面 CEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ),

??? ?

??

?? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? m ? CE ? 0, ? 由 m ? CE , m ? CF ,得 ? ?? ??? ? ? ?m ? CF ? 0.
即?

? ??2 y ? 2 2 z ? 0, ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0.

可取 m ? (0, 2,1).

??

设侧面 BCC1 的一个法向量为 n , 由 n ? CB, n ? CC1 ,及 CB ? ( 3, ?1, 0), CC1 ? (0, 0,3 2), 可取

?

?

??? ? ?

???? ?

??? ?

???? ?

? n ? (1, 3, 0).
设二面角 E ? CF ? C1 的大小为 ? ,于是可得

?? ? m?n 6 2 cos ? ? ?? ? ? ? , 因为 ? 为锐角, 2 3?2 m?n
所以 ? ? 45?. 即所求二面角 E ? CF ? C1 的大小为 45? . 3.(2011·全国高考理科·T19)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,

AB // CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,
AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
-4-

(1)证明: SD ? 平面SAB ; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. 【思路点拨】本题第(1)问可以直接证明,也可建系证明. (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量 小.
2 2 2 【精讲精析】 (1)由题意得 SD=1, AD ? 5, SA ? 2 ,于是 SA ? SD ? AD ,利用勾股定理,可知

SD ? SA ,同理,可证 SD ? SB ,
又 SA ? SB ? S ,因此, SD ? 平面SAB . (2)过 D 作 Dz ? 平面ABCD ,如图建立空间直角坐标 系 D-xyz, A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), S ( , 0,

1 2

3 ) , 2
??? ?

可计算平面 SBC 的一个法向量是 n ? (0, 3, 2), AB ? (0, 2, 0) ,

?

??? ? ? ??? ? ? | AB ? n | 2 3 21 ? ? ? | cos ? AB, n ?|? ??? ? . 7 | AB | ? | n | 2 7
所以 AB 与平面 SBC 所成角的大小为 arcsin

21 . 7

4.(2011·重庆高考理科·T19) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分). 如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ? 平面 ACD , AB ? BC , AD ? CD , ?CAD ? ??? . (Ⅰ)若 AD ? ? , AB ? ?BC ,求四面体 ABCD 的体积. (Ⅱ)若二面角 C ? AB ? D 为 ??? ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

【思路点拨】取 AC 的中点 F ,可根据题意证明 DF 为四面体的高,从而可求出四面体的体积,求异面直线

AD 与 BC 所成角的余弦值时,可以根据异面直线所成角的定义来求解,也可以建立空间直角坐标系利用
-5-

向量的夹角公式求解. 【精讲精析】(Ⅰ)如图,设 F 为 AC 的中点,由于 AD ? CD ,所以 DF ? AC . 故由平面 ABC ? 平面 ACD ,知 DF ? 平面 ABC ,即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高,且

DF ? AD sin 30 ? ? 1, AF ? AD cos30 ? ? 3 .
在 Rt?ABC 中,因 AC ? 2 AF ? 2 3 , AB ? 2 BC,

由勾股定理易知 BC ?

2 15 4 15 , AB ? . 5 5

所以,四面体 ABCD 的体积 V ?

1 1 1 2 15 4 15 4 ? S?ABC ? DF ? ? ? ? × 1? . 3 3 2 5 5 5

(Ⅱ)设 G, H 分别为边 CD, BD 的中点,则 FG // AD, GH // BC ,从而 ?FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成 的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点,则 EF // BC ,由 AB ? BC ,知 EF ? AB ,又由(Ⅰ)有 DF ? 平面 ABC ,故由三垂 线定理知 DE ? AB ,所以 ?DEF 为二面角 C ? AB ? D 的平面角,由题设知

?DEF ? 60 ? ,
设 AD ? a, 则 DF = AD 仔 sin CAD =

a , 2
a 3 ? 2 3 3 a, 6

cot DEF = 在 Rt?DEF 中, EF = DF 仔 1 3 BC ? EF ? a, 2 6

从而 GH ?

因为 Rt?ADE ? Rt?BDE, 故 BD ? AD ? a ,从而在 Rt?BDF 中, FH ? 又 FG ?

1 a BD ? . 2 2

1 a AD ? ,从而在 ?FGH 中,因 FG ? FH ,由余弦定理得 2 2
FG 2 + GH 2 - FH 2 GH 3 = = . 2FG × GH 2FG 6
-6-

cos ? FGH

因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

3 . 6

5.(2011· 重庆高考文科· T20) 如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ? 平面 ACD ,

AB ? BC, AC ? AD ? 2, BC ? CD ? 1.
(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)求二面角 C ? AB ? D 的平面角的正切值. 【思路点拨】过点 D 作 AC 的垂线,即四面体的高,进而计算出 ?ABC 的面积,利用体积公式求出四面体 的体积,在求二面角的正切值时,可以先找出二面角的平面角,把它放在三角形中求解,也可以建立空间直 角坐标系利用向量求解. 【精讲精析】(1)如图所示,过 D 作 DF ? AC ,垂足为 F ,故由平面 ABC ? 平面 ACD ,知

DF ? 平面 ABC ,即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高.设 G 为边 CD 的中点,则由三线合一,知
AG ? CD ,从而 AG ?
15 ?1? AC ? CG ? 2 ? ? ? ? . 2 ?2?
2 2 2 2



AG ? CD 15 1 1 ? . AC ? DF ? CD ? AG ,得 DF ? AC 4 2 2

在 Rt?ABC 中, AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 3, S ?ABC ?
1 5 S ?ABC ? DF ? . 3 8

1 3 AB ? BC ? . 2 2

故四面体 ABCD 的体积 V ?

(2)过 F 作 FE ? AB ,垂足为 E ,连接 DE .由(1)知 DF ? 平面 ABC ,由三垂线定理知,

DE ? AB .故 ?DEF 为二面角 C ? AB ? D 的平面角.
在 Rt?AFD 中, AF ?

? 15 ? 7 ? AD ? DF ? 2 ? ? ? 4 ? ? 4. ? ?
2 2 2

2

在 Rt?ABC 中, EF // BC ,从而 EF : BC ? AF : AC, 所以 EF ?

AF ? BC 7 ? . AC 8

-7-

在 Rt?DEF 中, tan ?DEF ?

DF 2 15 ? . EF 7

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-8-


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