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竞赛课件19:电阻等效方法ABC


? ?

对称法
对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合,对 称电路的“折叠”,将电路简化为基本的串并联电路。

电流叠加法

直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的,任一直流电路电流 分布,总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布.这就 是电流的可叠

加性.对于一些并不具备直观的对称性的电路, 可根据电流的可叠加性,重新设置电流的分布方式,将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。

?

Y-△变换法

利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论,通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换,达到简化电路成单纯 串联或并联的目的.

解: AC间等效电阻:
则 RAC

如图所示,12个阻值都是R的电阻,组成一立 方体框架,试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG. F E A B

专题19-例1

3R ? R 3 ? ? R 3R ? R 4
A

H B

G C

D

F

E
H

G

C

D

续解

AB间等效电阻: A R? ? H 2R ? ? ? 2 D R?? R ? ? 2.5 R ? ? ? ? 7 ? ? ? R 则 RAB ? R? 12 A ? 2R ? ? ? 2 ?R ?R? ? E 2.5 R ? ? ? ? ? ? H
D

E B

F

G C

B F G
R

R 2

C 续解

E

F

AG间等效电阻:

A

B

H

G C

则 RAG

5 ? R 6
E A
R 3

D

F B
R 6

H

R 3

G

D

C

如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻 丝构成,电池电动势ε=6.0 V,内电阻不计,求通过电池的电流.

专题19-例2

解:
RAB

电源外电路等效电阻:
r0 ? 2.5r0 5 40 ? ? r0 ? ? 2.5r0 ? r0 7 7

r 0 2

B

A

通过电源的电流由

? 6.0 I? ? A ? 1.05A RAB 40 / 7

专题19-例3 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形.他

将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二,再把平分点连 起来,此三角形被分成四个相等的等边三角形,然后将中间的等边三角形挖掉, 得到如图2的图形;接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理,经 过第二次分割就得到图3的图形.经三次分割后,又得到图4的图形.这是带有自 相似特征的图形,这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫.它的自相似性就是将其中 一个小单元(例如图4中的△BJK)适当放大后,就得到图2的图形.如果这个分 割过程继续下去,直至无穷,谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空.
A
A A A D 图1 图2 D 图3 D 图4 K E E E G 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究,创造和发展出了一门称为“分 B C B IJF C l0 B B C C F F 形几何学”的新学科.近三十多年来,物理学家将分形几何学的研究成果和方法 用于有关的物理领域,取得了有意义的进展. 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题:设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r;经一次分割得到 如图2所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一;经二次分割得到如图3所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一;三次分割得到如图4所示的图形,其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一. ⑴ 试求经三次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻. ⑵ 试求按此规律作了n次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻

解答

解:

2 R0 ? r 3 对分割一次后的图形 5 5 2 R1 ? r ? r ? 9 6 3
对分割二次后的图形

对三角形ABC,任意两点间的电阻
r B
5 r 6

A

读题

C
r 2

可见,分割三次后的图形

2 ? 5? R2 ? ? ? r ? 3 ? 6?
3

2

2 125 ? 5? R3 ? ? ? r ? ? r 3 234 ? 6?

递推到分割n次后的图形

2 ? 5? Rn ? ? ? ? r 3 ? 6?

n

5r 2 ? 5 ? 12 ? 6? r ? ?

如图所示的平面电阻丝网络中,每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r.试求A、B两点间 的等效电阻.

解:
B B A B B A

B

?
A

?
A

r

A

RAB

3 ? r 4

解:

三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络.已知每一个金属圆圈的电阻都是R, 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB.
三个金属圈共有六个结点,每四分之 一弧长的电阻R/4. A 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图
R 4

RAB

R? R R? ? ? ? 8?8 2? ? R ? R R? ?? ? ? 8 ?8 2?

B

R 8

A
R 4

5 ? R 48

B

正四面体框架形电阻网络如图所示,其中每一小 段电阻均为R.试求RAB和RCD. E

解:

E

D
R 2

RAB
E D F G H

3 ? r 4
I L
B C

I L B C

R 2
R 2

F

H

R 4

H

IR
2

G B A 甲

A

2R


R 2 R 2

R 2

R 2

C

D 丙

RCD

3 ? r 8

A 甲

解:

试求框架上A、B两点间的电阻RAB.此框架是用同种细金 属制作的,单位长度的电阻为ρ.一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷, 如图所示.取AB边长为a,以下每个三角形的边长依次减少一半.

解题方向:由于对称,可将AB中垂线上各电势点拆分,原
电路变换为图乙,我们看到这是一个具有自相似性的无限 网络,其基本单元如图丙

?
A
B A

A?
A??

B? B??

?A?
R B An

R Rx 2R

R

n

? Bn R Bn

乙 丙 甲 当n→∞时,多一个单元,只是使Rx按边长同比增大,即
? 2 RRx ? ? 2R ? ? 2R ? ? 2 R ? Rx ? ? 2 Rx R x ? 2 RRx ? ? 2R ? ? 2R ? ? 2 R ? Rx ?

7 ?1 ? R RAB ? 3

7 ?1 a? 3

解:

返回 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络,已 知每一段电阻丝的电阻均为r,试求A、B两点之间的总电阻. 解题方向:将原无限长立体正三棱柱框 B A 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在 C AB所在平面,各电阻连接如图 A
A

C

3 ? 21 x? r 6

B

r

r 2

2r 3

r x? r 由 3 ?r ? x r 3 x? 3

B

RAB

2 21 ? r 21

田字形电阻丝网络如图所示,每小段电阻丝的电 阻均为R,试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB.

专题19-例4

解: I?R

AB

R
O
I 2 I 5I I 24 24 8

?I I ? ? I 5I ? ? ? ? ? ? R ? ? ? ? ? 2R ? 2 24 ? ? 8 24 ?
A

B

RAB

29 ? R 24

O

O B

B

R 2

A

A

如图所示的一个无限的平面方格导线网,连接两 个结点的导线的电阻为r0,如果将A和B接入电路,求此导线网的等 效电阻RAB.

专题19-例5

解:

I ? RAB

?I I? ? ? ? ? ? r0 ?4 4?

RAB

r0 ? 2

A

B

有一无限大平面导体网络,它有大小相同的正六 边形网眼组成,如图所示,所有六边形每边的电阻均为R0,求间位 结点a、b间的等效电阻.

专题19-例6

解:I ? R

ab

?I I? ?I I? ? ? ? ? ? R0 ? ? ? ? ? R0 ?3 6? ? 6 3?

Rab ? R0
a b

解:

如图是一个无限大导体网络,它由无数个大小相 同的正三角形网眼构成,小三角形每边的电阻均为r,求把该网络 中相邻的A、B两点接入电路中时,AB间的电阻RAB.

A B

I ? RAB

?I I? ? ? ? ?? R ?6 6?

RAB

R ? 3

半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的(AO⊥BO, O点是球心)两根细导线接到直流电源上,如图.通过电源的电流为I0.问在球 面上C点处(OC⊥OA,OC⊥OB)电荷朝什么方向运动?若在C点附近球面上作 两个小标志,使它们相距R/1000,其连线垂直电荷运动方向.问总电流中有多 大部分通过这两标志之连线?

解:

C处单位长度上电流
A

1 2 I0 ic ? ? 2 2? R
C处垂直于电荷运动方向 上一段弧是的电流为

B?
C

i2

B


i1

1 2 I0 R 2 I0 ? i? ? ? 2 2? R 1000 4000?

A?

如图所示的电阻网络包括两个立方形,每边电阻均为 返回 2r,求A、B间的电阻. C B

解:

I ? RAB ?
A

r

? 11 5 ? ? 10 7 ? ? 15 ? 15 ? I ? 2r ? ? ? 15 ? 15 ? 4 ? I ? r ? ? ? ?

2r
I 15

RAB ? 2r

C
11 I 15

4 I 15

BC
8 I 15

7 I 15

4r

B

A

2 I 15

A

IA A RAC

RAB

B IB RBC

I A ? Ia I B ? Ib IC ? Ic

Ia a Ra Rc

b Ib

O

Rb c Ic

C I c
IA

U AB ? U ab U AC ? U ac U BC ? U bc



U AC U AB ? ? RAB RAC U U BA ? BC RAB RBC

IB ? IC

U CA U CB ? ? RCA RBC

Y→△变换 △→ Y变换

RAB

Y Y Y ? RBC ? RAC ? Rc Ra Rb I b ?

乙 I 1 U ab Rc ? U ac Rb ?U ab ? Rca Ra ? I b Rb ? ? R R ?R R ?R R ? R Ra Rc ? Ra Rb ? Rb ?Ua c ? I bR b cI R Rc a a AB ac a ? c c Rb 1 U bc Ra ? U ba Rc ?U ? I b Rb ? I? Rc ? c ? bc Ra Rc ? Ra Rb ? Rb Rc Ra Rc ? Ra Rb ? Rb Rc ? I ? I ? I ? 0 RAC b c Ra U ca Rb ? U cb Ra ? a 1 ? ? U ab c R Ra Rc ? Ra Rb ? Rb Rc R ? ? RRR? U acR b R Ia R ? b RBC a c R ? R bR ? R Rc a R
a c a b b c

U bc ? aRAB ? Rc ? RAC ? R ? U ba RBC Ra Rc ? Ra Rb ? Rb Rc

RAB RAC RAB RBC RAC RBC U R ? U cb Ra Ra ? Rb ? Rc ? I c ? ? ca b ? ? R R ?R R ?R R

如图所示,一个原来用12根相同的电阻丝构成的立 方体框架,每根电阻丝的电阻均为r,现将其中一根拆去,求A、B 两点间的电阻. c d AB间等效电阻: a b ? 2r ? r R r ? r Ra ? Rc ? 24 ? 2b?? D ? 4r C 4 ? 4 4r 5 r ? 6r 2 6r 2 2? ? 4 A B R ? ? r R24 R ? ? ? 4r

专题19-例8

解:
AC

1.25r

RAB

5 5 5 AB BC ? 1.5 ? ?2? ? 5 ? r ? ? 24 ? ? ? 4 5 ?2 ? 4 ?? ? ? 5 ? 5 24 ?2? ? ? 5 ? ?

? ? 4r Y ? 6r
C
1.5r

2

c r B B
1.25r

2r
A

r/2 4r 24r / 5 O r /O r / 4 2

?

47

a
4r

b

r

解:
B

如图所示,甲中三端电容网络为△型网络元,乙 中三端电容网络为Y型网络元,试导出其间的等效变换公式. qAA CAB B qB q ? q q ? q q ? q qa a b qb A a B b C c O Ca Cb CAC CBC Cc U AB ? U ab U AC ? U ac U BC ? U bc c q C q c 乙 C 甲 qa qb q A ? U AB C AB ? U AC C AC U ab ? ? Ca Cb q ? U C ?U C
BA AB BC BC

qC ? U CA CCA ? U CB C BC
Y→△变换
C AB ? Ca Cb CC CC CBC ? b c CCA ? a c Y Y Y

qa qc U ac ? ? Ca Cc qa ? qb ? qc ? 0
Y ? Ca ? Cb ? Cc

△→ Y变换

Ca ?

? ? ? Cb ? Cc ? C BC C CA C AB

? ? C AB C AC ? C BAC BC ? CCB CCA

电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架 如图所示,求构架上A、B两点间电路的电阻.

解:
A

R

R/3

R/8

R/2

R/6 B

RAB

15 ? R 11

解:

如图所示,由九根相同的导线组成的一个三棱 柱框架,每根导线的电阻为R,导线之间接触良好,求BD之间的电 阻值. R D
D

R/3

R/6
B

RBD

B ?3 ? ?1 ?2 2? ?? ? ?R 3 15 ? ? ?1 ?2 ?

2R/15

11 ? R 15

2R/3

如图所示,由电阻丝构成的网络中,每 一段电阻丝的电阻均为R,试求RAB.

解:
RAB

R 2

R

R/8

R/4

B

? ?1 3? 1? ? 8 ? 4 ?? 2 ? A ?1 1 ? ? ? R 47 ?? ? ? R 1 ?2 4 ? ? ? 22 ? ? 2 ? ?

由7个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如 图所示,由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图⑵所示,试求 P、Q两点之间的等效电阻.

解: r

Rx

r/4

r/2

rr r

r

rr
r

P Q

? Rx r 5r ? 3 ? ?? r ? r ? Rx ? r 4 ? 2 ? ? Rx 2 ? Rx r 5r ? 3 ? ?? r ? ? Rx ? r 4 ? 2





5 ? 55 Rx ? r 15

如图所示,一长为L的圆台形均匀导体,两底面 半径分别为a和b ,电阻率为ρ.试求它的两个底面之间的电阻.

解:

本题解题方向: 由电 阻定律出发,用微元 L 法求解!

a

b

Ri ? ?
n

n L? ? ? ?a ? i ?k ? n? ?
2

L
n ? L ? lim ? ? ? n?? i ?1 n ?

1

? ? n ? ? L ? ? 1 1 R ? lim Ri ? lim lim ? ? ? 2? n?? n?? n?? L L? ? k? L? i ?1 i ?1 ? i ?1 ? a ? ? i ? 1? ? k a? i?k ? n? a ? i ? k ? ? n n? ? ? n? ?

L? ? L? a ? ? i ? 1? ? k ? ? a ? i ? k ? ? n? ? n? ?

?

1

?

?

n

? ? k?

? 1 1? ? ? ?? ?a b?

? 1 1? ?a ? b? ? ? a ? b? ? ?

?L

解:

一铜圆柱体半径为a、长为l,外面套一个与它 共轴且等长的铜筒,筒的内半径为b,在柱与筒之间充满电阻率为ρ 的均匀物质,如图,求柱与筒之间的电阻.

本题解题方向: 由电阻定 律出发,用微元法求解!

a b

ri ?1 ? ri R ?? n 2? ri ? l
? 2? Rl ? ? ri ?1 ? ? ?1 ? ? ?? ? n ? ? ri ? ? ?
n
n

l

n

? ri ?1 ? ? 2? Rl ? lim ? 1 ? ? ? ? lim ? n?? n?? n? ? ri ? ? ? ? 2? Rl ?

n

? b R? ln 2? l a

e

b ? a

如图所示的立方体网络中,每一小段电 阻丝的电阻均为R,试求RPQ.

解:R/ 2
r/4

R

2R C
R 3 RP 3 2R 7 R 7

RPC RPQ

12 ? R 35 24 ? R 35

C
R 12

Q

P4 R
7

P


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