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竞赛讲座 不定方程


竞不定方程
不定方程的问题主要有两大类:判断不定方程有无整数解或解的个数;如果不定方程有整数 解,采取正确的方法,求出全部整数解. (1) 不定方程解的判定 如果方程的两端对同一个模 m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为 奇数、偶数两种,因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 2 2 例1 证明方程 2x -5y =7

无整数解. 2 2 证明 ∵2x =5y +7,显然 y 为奇数. ① 若 x 为偶数,则

∴ ∵方程两边对同一整数 8 的余数不等,∴x 不能为偶数. ②
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若 x 为奇数,则

但 5y +7 ∴x 不能为奇数.因则原方程无整数解. 说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法. 例 2 (第 14 届美国数学邀请赛题)证明方程 证明 如果有整数 x,y 使方程①成立,则 无整数解
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= 知(2x+3y )+5 能被 17 整除. 设 2x+3y=17n+a,其中 a 是 0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8 中的某个数,但是这 2 2 2 2 2 时(2x+3y) +5=(17n) +34na+(a +5)=a +5(mod17),而 a +5 被 17 整除得的余数分别是 5, 6,9,14,4,13,7,3,1, 2 即在任何情况下(2x+3y) +5 都不能被 17 整除,这与它能被 17 整除矛盾.故不存在整数 x,y 使 ①成立. 2 2 3 例 3 (第 33 届美国数学竞赛题)满足方程 x +y =x 的正整数对(x,y)的个数是( ). (A)0 (B)1(C)2(D)无限个(E)上述结论都不对 2 2 3 2 2 解由 x +y =x 得 y =x (x-1), 所以只要 x-1 为自然数的平方,则方程必有正整数解.令 x-1=k (k 为自然数),则 为 方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D). 说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解. (2) 不定方程的解法 不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式(质因数)分解法、不等式法、奇偶 分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路. 例 4 求方程 的整数解. 2 2 2 解(配方法)原方程配方得(x-2y) +y =13 . 2 在勾股数中,最大的一个为 13 的只有一组即 5,12,13,因此有 8 对整数的平方和等于 13 即 (5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能 是下面的八个方程组的解
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解得
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例 5 (原民主德国 1982 年中学生竞赛题)已知两个自然数 b 和 c 及素数 a 满足方程 a +b =c .证明: 这时有 a<b 及 b+1=c. 2 2 2 2 2 证明(因式分解法)∵a +b =c ,∴a =(c-b)(c+b),又∵a 为素数,∴c-b=1,且 c+b=a . 于是得 c=b+1 及 a =b+c=2b+1<3b,即
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2

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.而 a≥3,∴

≤1,∴

<1.∴a<b.

例 6(第 35 届美国中学数学竞赛题)满足联立方程 的正整数(a,b,c)的组数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 解(质因数分解法)由方程 ac+bc=23 得 (a+b)c=23=1×23. ∵a,b,c 为正整数,∴c=1 且 a+b=23.将 c 和 a=23-b 代入方程 ab+bc=44 得 (23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.从而得 a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和 (1,22,1),应选(C). 例 7 求不定方程 2(x+y)=xy+7 的整数解. 解 由(y-2)x=2y-7,得 分离整数部分得 由 x 为整数知 y-2 是 3 的因数,∴y-2=±1,±3,∴x=3,5,±1. ∴方程整数解为 2 2 例8 求方程 x+y=x -xy+y 的整数解. 2 2 解(不等式法)方程有整数解 必须△=(y+1) -4(y -y)≥0,解得 ≤y≤ .满足这个不等式的整数只有 y=0,1,2. 当 y=0 时,由原方程可得 x=0 或 x=1;当 y=1 时,由原方程可得 x=2 或 0;当 y=2 时,由原方程 可得 x=1 或 2.所以方程有整数解

最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子. 例9 求满足方程 且使 y 是最大的正整数解(x,y).

解将原方程变形得 由此式可知,只有 12-x 是正的且最小时,y 才能取大值.又 12-x 应是 144 的约数,所以, 12-x=1,x=11,这时 y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 (x,y)=(11,132). 例 9(第 35 届美国中学生数学竞赛题)满足 0<x<y 及 的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)3 (D)4 (E)7 解法 1 根据题意知,0<x<1984,由 的不同的整数对(x,y)



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当且仅当 1984x 是完全平方数时, 是整数.而 1984=2 ·31, y 故当且仅当 x 具有 31t 形式时, 1984x 是完全平方数. ∵x<1984,∵1≤t≤7.当 t=1,2,3 时,得整数对分别为(31,1519)、(124,1116)和(279, 775).当 t>3 时 y≤x 不合题意,因此不同的整数对的个数是 3,故应选(C). 解法 2 ∵1984= ∴ 由此可知:x 必须具有 31t 形式,y 必须具有 31k 形 式,并且 t+k=8(t,k 均为正整数).因为 0<x<y,所以 t<k.当 t=1,k=7 时得(31,1519); t=2,k=6 时得(124,1116);当 t=3,k=5 时得(279,775).因此不同整数对的个数为 3. 练习 1.(第 26 届国际数学竞赛预选题)求三个正整数 x、y、z 满足 . 2.求 的整数解. 的整数 x,y 的所有可能的值. 、 都是整数,并且 p>1,q>1,试求
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3.(全俄 1986 年数学竞赛题)求满足条件 4.(1988 年全国初中数学竞赛题)如果 p、q、 p+q 的值. 练习 1.不妨设 x≤y≤z,则 ,故 x≤3.又有

故 x≥2.若 x=2,则

,故 y≤6.又

有 ,故 y≥4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数解.若 x=3,类似可以确定 3≤y≤4,y=3 或 4,z 都不能是整数. 2.先求出 解得 ,然后将方程变形为 y=5+x-2 要使 y 为整数,5x-1 应是完全平方数,…,

3.简解:原方程变形为 3x -(3y+7)x+3y -7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件△≥0 及 y 为整数可 得 0≤y≤5,即 y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4). 4.易知 p≠q,不妨设 p>q.令 程可得 p、q 之值. =n,则 m>n 由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方

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