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高一数学必修5不等式与不等关系总复习教案


高一数学必修 5 不等式与不等关系总复习教案 一,复习
1.不等关系:参考教材 73 页的 8 个性质; 2. 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、相应的 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间的关系: 判别式
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的 图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R
?

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

3.一元二次不等式恒成 立情况小结:

?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 4. 一般地,直线 y ? kx ? b 把平面分成两个区域(如图) : y ? kx ? b 表示直线上方的平面区域; y ? kx ? b 表示直线下方的 平面区域. 说明: (1) y ? kx ? b 表示直线及直线上方的平面区域; y ? kx ? b 表示直线及直线下方的平面区域.
(2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式: (1).如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab .
2 2

(2).

a?b (a ? 0, b ? 0) . 2 (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” )

ab ?

二.例题与练习
例1. 解下列不等式:

(1) x ? 7 x ? 12 ? 0 ;
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

(3) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2 2

(4) x ? 2 x ? 2 ? 0 .
2

解:(1)方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的解为 x1 ? 3, x2 ? 4 .根据 y ? x2 ? 7 x ? 12 的图象,可得原 不等式 x ? 7 x ? 12 ? 0 的解集是 {x | x ? 3或x ? 4} .
2

(2)不等式两边同乘以 ?1 ,原不等式可化为 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 1 .
2

根据 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象,可得原不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? 1} .
2

(3)方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相同的解 x1 ? x2 ? 1 .
2

根据 y ? x 2 ? 2 x ? 1的图象,可得原不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为 ? .
2

(4)因为 ? ? 0 ,所以方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 无实数解,根据 y ? x2 ? 2x ? 2 的图象,可得原
2

不等式 x ? 2 x ? 2 ? 0 的解集为 ? .
2

练习 1. (1)解不等式 (2)解不等式

2x ? 3 ? 1; x?7

x?3 x?3 ? 0 呢?) (若改为 ?0; x?7 x?7

? x ? 7 ? 0, ? x ? 7 ? 0, ?{x | ?7 ? x ? 3} 或 ? 解:(1)原不等式 ? ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 (该题后的答案: {x | ?7 ? x ? 3} ).

x ? 10 ? 0 即?{x | ?7 ? x ? 10} . x?7 2 例 2.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求实数 m, n 之值.
(2) 解: 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1}
2

? x1 ? ?5, x2 ? 1 是 x2 ? mx ? n ? 0 的两个实数根, ??5 ? 1 ? m ?m ? ?4 . ? 由韦达定理知: ? ?? ? ?5 ?1 ? n ? n ? ?5 2 2 练习 2.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3} 求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解
集.

b ? ?2 ? 3 ? ? a ?b ? ?5a ? c ? ? 解:由题意 ? 2 ? 3 ? , 即 ? c ? 6a . a ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? 2 代入不等式 cx ? bx ? a ? 0 得: 6ax2 ? 5ax ? a ? 0(a ? 0) . 1 1 2 即 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 ,? 所求不等式的解集为 {x | ? ? x ? ? } . 3 2 x ? 4 y ? ? 3 ? ? 例 3.设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ? 解: 由题意,变量 x , y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平 面区域的公共区域. 由图知, 原点 (0, 0) 不在公共区域内, 当 x ? 0, y ? 0 时,z ? 2 x ? y ? 0 , y 即点 (0, 0) 在直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上, x ?1 作一组平行于 l0 的直线 l : 2 x ? y ? t , t ? R , C 可知:当 l 在 l0 的右上方时,直线 l 上的点 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? 0 ,即 t ? 0 , A x ? 4y ? 3 ? 0 而且,直线 l 往右平移时, t 随之增大. 由图象可知, 3x ? 5 y ? 25 ? 0 B 当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, x O 当直线 l 经 过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小, 所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .
[来源:Zxxk.Com]

? x ? 4 y ? ?3 ? 练习 3.设 z ? 6 x ? 10 y ,式中 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?
解:当 l 与 AC 所在直线 3x ? 5 y ? 25 ? 0 重合时 z 最大,此时满足条件的最优解有无数多 个,当 l 经过点 B(1,1) 时,对应 z 最小, ∴ zmax ? 6x ? 10 y ? 50 , zmin ? 6 ?1 ? 10 ?1 ? 16 . 例 4 .已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

证明:∵ a, b, c 为两两不相等的实数,∴ a ? b ? 2ab , b ? c ? 2bc , c ? a ? 2ca ,
2 2
2 2

2

2

以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca
2 2 2

所以, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca .
2 2 2

1 1 ? 的最小值。 x y 1 1 x ? 2y x ? 2y ? 解:∵ x ? 2 y ? 1 ,∴ ? ? x y x y 2y x 2y x ? 1? ? 2? ? 3? ( ? ) ? 3? 2 2 x y x y
练习 4.若 x ? 2 y ? 1 ,求

?x ? 2 ?1 ?2y x ? ? ? 当且仅当 ? x y ,即? 2 ? 2 时取等号, y ? ? ?x ? 2 y ? 1 ? ? 2 1 1 2? 2 ∴当 x ? 2 ? 1, y ? 时, ? 取最小值 3 ? 2 2 . x y 2

三.课堂小结
1.理解一元二次方程、 一元二次不等式及二次函数三者之间的关系, 掌握一元二次不等式的 解法; 2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理; 3.学会用平面区域表示二元一次不等式组;掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性 规划 应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件;③建立目标函数;④求最优解; 4.掌握好基 本不等式及其应用条件;

四.课后作业
1.如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( A )

1 1 ? (B) ?a ? b a b 1 1 2.不等式 ? 的解集是( D ) x 2 A. ( ??, 2) B. (2, ??)
(A) (A)

(C) a 2 ? b 2

(D) | a |?| b |

C. (0, 2) 3. 若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是( C

D. ( ??, 0) ? (2, ??) )

1 1 ? . a b

(B) a 2 ? b 2 .

(C)

a b ? 2 .(D) a | c |? b | c | . c ?1 c ?1
2

4. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为( D ) (A) 3 -1 5. 不等式 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2

(D) 2 3 -2

1? 2x 1 ? 0 的解集是_________ .(KEY: {x | ?1 ? x ? } ) x ?1 2 x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 6.已知实数 x , y 满足 ? ,则 y ? 2 x 的最大值是_________.(KEY:0) x ? 0 ? ? ?y ? 0

7. 设函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M ,函数 g ( x) ? 1 ?

2 的定义域为集合 x ?1

N.求: (1)集合 M,N; (2)集合 M ? N , M ? N . 解: (Ⅰ) M ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ? {x | x ? };

3 2 2 x?3 N ? {x | 1 ? ? 0} ? {x | ? 0 |} ? {x | x ? 3或x ? 1} x ?1 x ?1 3 M ? N ? {x | x ? 1或x ? } . (Ⅱ) M ? N ? {x | x ? 3}; 2

[来源:学|科|网]

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

8. 若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ?

1 有最小值 ,最小值为多少? x ?1 1 1 1 ? 0 ,∴ x ? ?1 解:∵ x ? ?1 , ∴ x ? 1 ? 0 , ∴ = x ?1? x ?1 x ?1 x ?1 1 1 1 ) min ? 1 . 即 x ? 0 时 (x ? ? 2 ( x ? 1) ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 ? x ?1 x ?1 x ?1


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