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我的高考数学错题本——第8章 不等式易错题


我的高考数学错题本 第 8 章 不等式易错题 易错点 1.随意消项致误 【例 1】解不等式; ( x2 ?10x ? 25)( x2 ? 4x ? 3) ? 0 .

易错点 2.认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例 2】解不等式;

x ?1 ? 0. x?2

易错点 3.不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例 3】解不等式;

x ?1 ? 2. x?2

易错点 4.漏端点致误
2 【例 4】集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 , B ? ? x | a ? x ? a ? 3? ,且 A ? B ? ? ,则实数的取值

?

?

范围是______ 易错点 5.忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例 5】求函数 y ? x ?

1 的值域. x

易错点 6.忽视基本不等式取等的条件 【例 6】求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值.

易错点 7.多次使用基本不等式,忽视等号是否同时成立 【例 7】已知两个正实数 x, y ,满足 x ? y ? 4 ,求

1 4 ? 的最小值. x y

纠错巩固 1.已知 0 ? ? ? ? , ?

? ? <β < ,求函 ? ? ? 的取值范围。 4 2

2.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ,且 1 ? f (?1) ? 2, 2 ? f (1) ? 4 ,求 f (?2) 的取值范围。
2

3. ?x ? 2 y ? 1??x ? y ? 3? ? 0 表示的平面区域是( )

? y ? 1, ? 4.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 求目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值。 ? x ? y ? 2 ? 0, ?

5.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,须满足约束条件
?5 x ? 11 y ? ?22 ? ,则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是( ?2 x ? 3 y ? 9 ? 2 x ? 11 ?



A. 80

B. 85

C. 90

D. 95

6.解不等式

x2 ? x ? 6 >0 x ?1

7.解关于 x 的不等式 2x ?1 ? a ? 2

8.设 0 ? x ? ? ,求函数 f ( x ) ? sin x ?

4 的最小值。 sin x

例题错因精析
2 2 例 1. 【 错 解 】 原 不 等 式 可 化 为 : ( x ? 5) ( x ? 1)x ( ? 3) ? , 0因 为 ( x ? 5) ? 0, 所 以

( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,所以 x ? 3或x ? 1 ,故原不等式的解集为: ?x | x ? 3或x ? 1? .
【错因】错误是由于随意消项造成的,事实上,当 ( x ? 5)2 ? 0 时,原不等式亦成立. 【正解】原不等式可化为: ?

?x ? 5 ? 0 或 x ? 5 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? 1 或 x ? 5 . ?( x ? 1)( x ? 3) ? 0

所以原不等式的解集为: x|x ? 3或x ? 1或x ? 5

?

?

例 2.【错解】原不等式可化为: ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,所以原不等式的解集为

[?2,1] .
【错因】没有考虑分母不能为 0 【正解】原不等式可化为: ?

?( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,所以原不等式的解集为 ? x ? ?2

(?2,1] .
例 3.【错解】不等式两边同乘以 x ? 2 得: x ? 1 ? 2( x ? 2) ,解得 x ? ?5 ,所以原不等式的解 集为 [?5, ??) . 【错因】两边同乘以 x ? 2 ,导致错误 【正解】原不等式可化为:

x ?1 x?5 ?2?0? ? 0 ,解得 x ? ?5 或 x ? ?2 ,所以原不等 x?2 x?2

式的解集为 (??, ?5] ? (?2, ??) .
2 例 4. 【 错 解 】 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 ? ? x | ?1 ? x ? 2?

?

?

, 若 使 A? B ? ? , 需 满 足

a ? 2或a ? 3 ? ?1. 解得 a ? 2或a ? ?4 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2或a ? ?4 .
【 错 因 】 忽 视 了 集 合 A ? ? x| ?1 ? x ?2 ? 的 两 个 端 点 值 -1 和 2 , 其 实 当 a ? 2 时

B ? ?x | 2 ? x ? 5? ,满足 A ? B ? ? ;当 a ? 3 ? ?1 时,即 a ? ?4 时也满足 A ? B ? ? .
A ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ? x | ?1 ? x ? 2? 若使 A ? B ? ? , 【正解】 需满足 a ? 2或a ? 3 ? ?1 ,
解得 a ? 2或a ? ?4 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2或a ? ?4 .

?

?

例 5.【错解】因为 y ? x ?

1 1 1 ? 2 x ? ? 2 ,所以函数 y ? x ? 的值域为 [2, ??) . x x x
1 的定义域为 {x | x ? 0} . x

【错因】没有考虑为负数的情形. 【正解】由题意,函数 y ? x ? 当 x ? 0 时, y ? x ?

1 1 ? 2 x ? ? 2 ,当 x ? 1 时取得等号; x x 1 1 1 ? ?(? x ? ) ? ?2 ? x ? ? ?2 ,当 x ? ?1 时取得等号. x ?x ?x
1 的值域是 (??, ?2] ? [2, ??) . x

当 x ? 0 时, y ? x ?

综上,求函数 y ? x ? 例 6.【错解】函数 y ?

x2 ? 5 x ?4
2

?

x2 ? 4 ? 1 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

? 2 ,所以函数的最小值为

2. 【错因】使用基本不等式求函数的最值时,一定验证等号成立的条件即

a ? b ? 2 ab,只有a ? b 才能取等号.上述解法在等号成立时,在实数范围内是不成立的.
【正解】 y ? 令t ?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 ? 1 x2 ? 4
1 t

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4



x2 ? 4 ? 2 , y ? t ? 在 t ? 2 时是单调递增的,? y ? t ? ? 2 ?
5 . 2

1 t

1 5 ? . 2 2

故函数的最小值是

例 6.【错解】由已知得 4 ? x ? y ? 2 xy ? xy ? 4 , 最小值是 2.

1 4 1 4 4 4 ? ?2 ? ? 2 ,所以 ? x y x y xy xy

【错因】两次使用基本不等式,其中 xy ? 4 等号成立必须满足 x ? y ,而

1 4 4 ? ?2 的等 x y xy

号成立时,必须有 4 x ? y ,因为均为正数,所以两个等号不会同时成立,所以上述解法是错 误的. 【正解】? 4( ?

1 x

4 1 4 4x y 1 4 ) ? ( x ? y )? ( ? ) ? 5? ? ? 9 ,当且仅当 ? 且 x ? y ? 4 , y x y y x x y

即x?

1 4 9 1 4 4 8 9 , y ? 时取等号,? ? ? ,即 ? 最小值为 . 3 3 4 x y 4 x y

纠错巩固 1. ( ?

? 5?
2 , 4

)

2.利用待定系数法或线性规划求解, f (?2) 的范围为[5,10]。 3. C 4.3

5.解方程组得 由于 x、y∈N*,离点 A 最近的整点为(5,4), 于是 zmax=10× 5+10× 4=90.故选 C. 6. (?2,1) ? (3, ??) 7.当 a ? 2 ? 0 时,不等式解集是 ? ;当 a ? 2 ? 0 时,不等式解集是 ? x 8.5

? ?

3?a a ? 1? ?x? ? 2 2 ?


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