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平面向量正交分解


平面向量正交分解、坐标表示及坐标运算
问题 1:什么是平面向量的正交分解? 把一个向量分解为____________ 的每一个向量,如何表示呢? 问题 3:有向线段的坐标如何表示? 问题 4:如何进行向量的坐标运算? 探究 1:向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的 任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y 使得____________ ,这样,平面内的任一向 ,叫做把向量正交分解。 问题 2:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示. 对于直角坐标平面内

? 量 a 都可由__________唯一确定, 我们把有序数对________ ? 叫做向量 a 的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标 ? ? 表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示 ? ? ? 0? i ? ; j?
探究 2:1、已知: a ? ? x1 , y1 ? , b ?

?

?

? x2 , y2 ? , ? 为一实数
? ? a ?b
=___________ 。 ____。

? ? a ? b =_________________________

这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于__________________

? ? a =_______________这就是说,实数与向量的积的坐标等于:_____________________。

探究 3:若已知 A(x1,y1 ), B(x 2 ,y 2 ),则

??? AB =_______________=_____________
例 1、已知 O 是坐标原点,点



即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________________________。

A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60? , ??? ? ??? ? 3, ?1 ,求 BA 的坐标; (1)求向量 OA 的坐标; (2)若 B

??? ?

?

?

例 2、已知平行四边形 ABCD 的顶点 A

? ?1, ?2? , B ?3, ?1? , C ? 5,6? ,试求:

(1)顶点 D 的坐标. (2)若 AC 与 BD 的交点为 M ,试求点 M 的坐标.

变式练习:平面上三点 A(-2,1) ,B(-1,3) ,C(3,4),求 D 点坐标,使 A,B,C,D 这四个点构成平行四边 形的四个顶点。

例 3、已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16? ,求 a 和 b .

? ?

? ?

?

?

当堂练习 1、与向量 a

?

? ?12,5? 平行的单位向量为___________________________。
/

2、若 O(0,0),B(-1,3) 且 OB

=3 OB ,则

B/

坐标是:___________________ =2 , ?xOA ? 150
0

3、已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,

OA

求向量

OA

的坐标。

4、已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,点 C 在第一象限,D 为 AC 的 中点,分别求

AB, AC, BC, BD

的坐标。

5、已知 M (3,?2),N (?5,?1),且 MP

??? ?

?

? 1 ??? MN ,求 P 点的坐标。 2

6、已知向量 a ?

?

?3, ?2? , b ? ? ?2,1? , c ? ? 7, ?4? ,试用 a, b 来表示 c .

?

?

? ?

?


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