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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准PDF版(加试)(定稿)


2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准 加 一、 (本题满分 40 分) 如图,E、F 分别是△ABC,△ACD 的内心,AC 平分∠BAD,AC2=AB·AD,延长 EC 交 △CDF 的外接圆于点 K,延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R.若 RK∥EF,求证:点 A 是△BCD 的外心. B 试 E A F C R K 证明:如图,连接

ER,FK. 因为∠BAC=∠CAD,AC2=AB·AD, 所以△ABC∽△ADC,∠ABC=∠ACD. 1 1 又∠EBC= ∠ABC,∠ACF= ∠ACD, 2 2 所以∠EBC=∠ACF. 由∠EBC=∠ERC 得,∠ERC=∠ACF, 所以 ER∥AC. 同理 FK∥AC, 于是 ER∥FK. 又因为 RK∥EF, 所以四边形 EFKR 为平行四边形,从而 ER=FK. 因为 ER∥AC,所以∠REC=∠ECA=∠ECB. 又因为∠EBC=∠ERC,EC=EC, 所以△BEC≌△ECR,从而 BC=ER. 同理,CD=FK,所以 BC=CD. 由 AC AD CD = = =1,得△ABC≌△ADC,于是 AB=AC=AD, AB AC BC ………………………… 40 分 ………………………… 20 分 D A F E C R B D K 即 A 为△BCD 外接圆的外心. 1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 1 页 共 4 页 二、 (本题满分 40 分) 求所有的正整数 n,使得对于任意正实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,有 1 abc(an+bn+cn)≤ n+2. 3 2 1 解: (1)当 n≥3 时,取 a= ,b=c= , 3 6 1 1 1 1 - 则 abc(an+bn+cn)= n+3(2n 1+ n+ n)> n+2.所以 n≥3 不满足题意. 2 2 3 3 ………………………… 10 分 (2)当 n=1 时, a+b+c 3 1 abc(a+b+c)=abc≤( ) ≤ 3,所以 n=1 时,满足题意. 3 3 ………………………… 20 分 (3)当 n=2 时,原不等式也成立. 令 x=ab+bc+ca,则 a2+b2+c2=1-2x, 由(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c),得 3abc≤x2. 1 于是,abc(a2+b2+c2)≤ x2(1-2x). 3 x+x+1-2x 3 1 1 1 1 因此 0<x< ,从而 x2(1-2x)≤ ×( ) = 4. 2 3 3 3 3 1 1 即 abc(a2+b2+c2)≤ x2(1-2x)≤ 4. 3 3 ………………………… 40 分 2 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 2 页 共 4 页 三、 (本题满分 50 分) 设 n 为正整数, 求满足以下条件的三元正整数组 〈a, b, c〉 的个数: (1) ab=n; (2) 1≤c≤b; (3)a、b、c 的最大公约数为 1. 解:用(a,b,c)表示 a、b、c 的最大公约数. 令 Sn={〈a,b,c〉| a、b、c 为正整数,ab=n,1≤c≤b,(a,b,c)=1}, 记 Sn 中元素的个数为 f(n) (n∈N*).显然 f(1)=1. ①如果 n=pα,其中 p 为素数,α≥1.设〈a,b,c〉∈Sn, 若 b=1,则 a=pα,c=1; 若 b=pt,1≤t≤α-1,则 a=pα t,(c,p)=1,1≤c≤b;若

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