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2013年艺术生复习高中数学基础冲关——导数应用


基础知识专题训练 01 一、考试要求 内容 导数的概念 导数及其应用 二、基础知识 1、 函数 f (x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的平均变化率为 率、瞬时速度、边际成本) 2、 定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 上有定义, x0 ? (a, b), 当 ?x 无限趋近于 0 时比值 ; (导数的背景:切线的斜 导数的几何意义 导数的运算 等级要求 A √ √ √ B C

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 无限趋近于一个常数 A,则称 f (x) 在点 x ? x0 处可导,并称该 ?x ?x
常数 A 为函数 f (x) 在点 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。 导数 f ?( x0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 ( 3、 若 f (x) 对于区间 ?a, b ? 内的任一点都可导,则 f (x) 在各点的导数也随着自变量 x 的函 数,该函数称为 f (x) 的导函数,记作 f ?(x) 。 ① v(t ) ? s ?(t ) 表示瞬时速度; a(t ) ? v?(t ) 表示瞬时加速度;② f ?(x) 与 f ?( x0 ) 是不同 的概念: f ?( x0 ) 是一个常数, f ?(x) 是一个函数; f ?( x0 ) 是 f ?(x) 在 x ? x0 处的函数值 4、 基本初等函数求导公式

( ? 幂函数: x )?
指数函数: (a )? ?
x

?

( ? 为常数) ( a >0,且 a ? 1 ) 特例: (e )? ?
x

对数函数: (loga x)? ? 正弦函数: (sin x)? ? 三、基础训练

? ( ( a >0,且 a ? 1 ) 特例: ln x)?
余弦函数: (cosx)? ?

3 1. 曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1, p0 点的坐标为 则 (



A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)
2

B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4) )

2.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=(

A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D. 1

3. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, f ( x ) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则 f ( x ) 若 与 g ( x) 满足( ) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0

4、函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的导函数 f ?( x) ?
2 5、一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3

时的瞬时速度为_____

3 2 x - 3 x+1 在 x=1 处的切线的倾斜角为 2 7、 如图,函数 f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0)(6,4) , ,则 f(f(0) )= ;函数 f(x)在 x=3 处的导数 f′(3)= .
6、曲线 y=x -
3

8、已知曲线 y ?

1 2 x ? 3 ln x 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2 , 则 切 点 的 横 坐 标 2

为 . 9、曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程为 10、设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?
2

11、曲线 y ?

1 3 4 x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3

12 、 已 知 函 数 y ? f (x) 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 则

f (1) ? 2 f ?(1) 的值是
13、在曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为
3 2

基础知识专题训练 02 一、考试要求 内容 导数的运算 导数及其 应用 利用导数研究函数的单 调性和极大(小)值 导数在实际问题中的应 等级要求 A B √ √ √ C

用 二、基础知识 (1) 导数与函数的单调性: f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为增函数 f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为减函数) ① ( . ② f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上是增函数 ? f ?( x ) ≥ 0 在 ? a, b ? 上恒成 立;

f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数 ? f ?( x ) ≤ 0 在 ? a, b ? 上恒成
立. 若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x ) 为常数函数;若 f ?( x ) 的符号不确定,则 f ( x ) 不是单调 函数。 (2)利用导数求函数单调区间的步骤 :①求 f ?( x ) ;②求方程 f ?( x ) ? 0 的根,设为

x1 , x2 ,? xn ;③ x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判断 f ?( x )
的符号,由此确定每一子区间的单调性。 (3)求函数 y ? f ( x) 在某个区间上的极值的步骤: (i)求导数 f ?( x ) ; (ii)求方程

f ?( x ) ? 0 的根 x0 ; (iii)检查 f ?( x ) 在方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负”
“左负右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值。 ? f ( x) 在 x0 处取极大值; (4)求函数 y ? f ( x) 在[ a , b ]上的最大值与最小值的步骤:①求函数 y ? f ( x) 在( a , b ) 内的极值;②将 y ? f ( x) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小 的一个为最小值。 (5)导数的三大应用: ①求斜率:在曲线的某点有切线,则求导后把横坐标代进去,则为其切线的斜率; ②有关极值:就是某处有极值,则把它代入其导数,则为 0 ; ③单调性的判断: f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递增; f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递减。

三、基础训练 1.函数 y ? 4 x ?
2

1 单调递增区间是( x
B. (??,1) ) C. e
2



A. (0,??) 2.函数 y ? A. e
?1

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

3.已知函数 f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 3x+y=0 平行,则函数 f(x)的单调减区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,+∞) 4、设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数, y ? f ?(x) 的图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可能的 是( )

' 5、 若函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限, 则其导函数 f(x) 的图象可能是 (



6、若函数 f ( x) ?

1 3 x ? f ?(?1) ? x 2 ? x ? 5, 则 f ?(1) ? 3
2

7、 P 为曲线 C: ? x ? 2x ? 3 上的点, 设 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, y 则点 P 横坐标的取值范围为
2 8、若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

? ?? , ? 4? ?

9、函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是
3 2

10、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调增区间 11、已知 f ( x) ? 2x ? 6x ? m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,
3 2

2]上有最小值为 12、函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 10 的单调递减区间为 .

13、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? 14、函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数

f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点



y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

15、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 3 2 2 16、函数 y = f( x ) = x +ax +bx+a ,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = 17、设 f ( x ) = x - 值范围为
3

,b =



1 2 x -2x+5,当 x ? [?1,2] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取 2
.

18、已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.


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