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2014-2015年高二上学期数学第一次月考试卷及答案(10月)


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注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题,共 90 分,满 分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.第Ⅰ卷共 2 页,12 个小题,每小题 5 分;每小题只有一个正确答案,请将选出的答案标号(A、B、 C、D)涂在答题

卡上。

第Ⅰ卷(选择题
1、已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0
2

共 60 分)
) D

w

w w .x k b 1.c o m

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分共 60 分,每小题只有一个正确答案)

?

?

,则 CU M ? (

A

? x ?2 ? x ? 2?

B

? x ?2 ? x ? 2?

C

? x x ? ?2或x ? 2?
)
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? x x ? ?2或x ? 2?

2、下面的抽样方法是简单随机抽样的是( 2709 为三等奖。

A 在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 B 某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔 5 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C 某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取 2 人,14 人,4 人了解学校机构改革的意见。 D 用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验。 3、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个,则互斥但不对立的两个事件是( A 至少一个白球与都是白球 C 恰有一个白球与恰有 2 个白球 B 至少一个白球与至少一个红球 D 至少有 1 个白球与都是红球 ) )

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4、在△ ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s = ( A

2 3

B

4 3

C ?3 )

D 0

5、函数 f ( x ) ? ln x ? A (1,2)

2 的零点所在的大致区间是 ( x
B (2,3)

C ( ,1) 和 (3,4)

1 e

D (e,??)

6、一个几何体的三视图如图,其中正视图中 △ ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图 为正六边形,则侧视图的面积为( A )

7、已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四 个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ;

3 2

B

2 3

C 12

D 6

正视图

侧视图

俯视图

③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则 ? // ? ; ④若 m, n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? . 其中正确命题的个数是 ( A ①和④ ) C ③和④ D ①和②

B ①和③

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8、若图中的直线 l ,则( ,, l2 l3的斜率分别为 k ,, k 1 1 2 k 3 A k k k 1? 2? 3 C k k k 3? 2? 1 B k k k 1? 3? 2 D k k k 3? 1? 2 )A 7 B 15



9、如下图,该程序运行后输出的结果为(

C 31

D 63

10 、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100名年龄为 17.5 岁-18岁的男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图如下,根据上图可得这100名学生中体重在 〔56.5,64.5〕的学生人数是( ) D 50 ) D A 20 B 30 C 40 11、已知 tan ? ? 2 , tan ? ? 3 ,且 ? 、 ? 都是锐角,则 ? + ? ? ( A

? 4

B

3? 4

C

? 3? 或 4 4

3? 5? 或 4 4


x 12、 f ( x) 是在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? 1 ,则当 x ? 0 时 f ( x) = (

A

1 ? ( )x ? x ?1 2

B

1 ( )x ? x ?1 2

C

2x ? x ?1

D

2x ? x ?1

第Ⅱ卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1.第Ⅱ卷共 8 页,用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前先将密封线内的项目填写清楚。密封线内不准答题。 Ⅱ卷 二 17 18 小计 21 22
源:Z#xx#k.Com]

题号 得分

[来源:学。科。网 Z。X。X。K][来源:Z,xx,k.Com]

[来

19

20

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分)
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13、已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 _____ 14、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的 表面积为_________ 15、若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆

x 2 ? y 2 ? 16 内的概率是
16、在下列结论中: ①函数 y ? cos 2(

?
4

? x) 是偶函数;

②函数 y ? 4 sin(2 x ? ③函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的一个对称中心是(

? ,0) ; 6

2 )的图象的一条对称轴为 x ? ? ? ; 3 3 1 2 ④若 tan( ? ? x) ? 2, 则 cos x ? . 5
⑤函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 其中正确结论的序号为

?

? ? 个单位,得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图像 4 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (满分 12 分) 利用单调性的定义证明函数 f ( x) ? 和最小值

x?2 在 (?1,??) 上是减函数,并求函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值 x ?1

X|k

|B| 1 . c|O |m

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18、 (满分 12 分) 已知一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求该圆的方程

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19、 (满分 12 分) 设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任意取一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任意取一个,求上述方程有
2 2

实根的概率 (2)若 a ? [0,2], b ? [0,1] ,求上述方程有实根的概率

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20、 (满分 12 分) 已知 A, B, C 三点的坐标分别为 A(3,0), B(0,3), C (cos? , sin ? ) ,其中 ? ? ( (1)若 | AC |?| BC | ,求角 ? 的值;

? 3?
2 , 2

)

,求 (2)若 AC ? BC ? ?1

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?

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21、 (满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 , M 为 CC1 的中点(1)求异面直线

A1 M 与 C1 D1 所成的角的正切值
(2)求证:平面 ABM ? 平面 A1 B1 M (3)求三棱锥 B ? A1 B1 M 的体积
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22、 (满分 14 分)

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已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 (2)求函数 f ( x) 在区间 [0, (3)若 f ( x 0 ) ?

( x ? R)

?
2

] 上的最大值与最小值

6 ? ? , x 0 ? [ , ] ,求 cos 2 x0 的值 5 4 2

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高二数学答案

三、解答题 w

W w .x

K b 1.c o M

17、证明:任取 x1 , x2 ? (?1,??) ,且 x1 ? x 2 ,则

…………………………1 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? x1 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

…………………………4 分

因为 ? 1 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x) 在 (?1,??) 上是减函数。 所以当 x ? 0 时,函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值 是 2, ………………… ………7 分 …………………………8 分

解:因为函数 f ( x) 在 (?1,??) 上是减函数,所以函数 f ( x) 在 [0,1] 上是减函数。

3 。 …………………………12 分 2 18、解:设圆心为 ( a, b) ,因为圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,所以 a ? 3b ? 0 ,所以 a ? 3b , 所以圆心为 (3b, b) . …………………………2 分 因为圆与 y 轴相切,所以 r ?| 3b | …………………………4 分
所以当 x ? 1 时,函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 圆心 (b,3b) 到直线 x ? y ? 0 的距离为 d ?

| b ? 3b | 2

? 2 |b|

…………………………6 分

l 2 2 2 所以 b ? 1 ,所以 b ? ?1 ,
2

设弦长为 l ,因为 d ? ( ) ? r ,所以 2b 2 ? ( 7 ) 2 ? 9b 2
2

…………………………8 分

?a ? 3 ? a ? ?3 ? ? 所以 ? b ? 1 ,或 ? b ? ?1 ?r ? 3 ? r ?3 ? ?
2 2 2

…………………………10 分

所求圆的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
2

……………12 分

19、解:(1)试验的全部结果 有: (0,0),(0,1),(0,2), (1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),

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(3,0),(3,1),(3,2). 共 12 个基本事件。 记方程有实根为事件 A,
2 2 因为 ? ? 4a ? 4b ? 0 , a ? 0, b ? 0 ,所以 a ? b ,

…………………………2 分

事件 A 包含的结果有 (0,0) (1,0),(1,1), (2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2). 共 9 个基本事件, 所以 P ( A) ?

9 3 ? 。 12 4

…………………………6 分

(2)试验的全部结果构成的区域

??? (a, b) 0 ? a ? 2,0 ? b ? 1?,
S? ? 2 ?1 ? 2
记方程有实根为事件 A,
2 2 因为 ? ? 4a ? 4b ? 0 , a ? 0, b ? 0 ,所以 a ? b ,

…………………………8 分

b 1 a O 2

事件 A 包含的结果构成的区域

A?? (a, b) 0 ? a ? 2,0 ? b ? 1, a ? b?,即图中的阴影部分。
3 S 3 1 3 S A ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ,所以 P ( A) ? A ? 2 ? 。 S? 2 4 2 2
20、解:(1) | AC |?

…………………………12 分

(cos ? ? 3) 2 ? (sin ? ) 2 ? 10 ? 6 cos ? ,
…………………………2 分

| BC |? (cos ? ) 2 ? (sin ? ? 3) 2 ? 10 ? 6 sin ? ,
因为 | AC |?| BC | ,所以 cos ? ? sin ? ,即 tan ? ? 1 , 因为 ? ? (

? 3?
2 , 2

) ,所以 ? ?

5? 。 4

…………………………4 分

(2)因为 AC ? BC ? ?1,所以 X K b1.C om

?cos? ? 3, sin ? ? ? (cos? , sin ? ? 3) ? 0 ,
所以 cos ? ? 3 cos? ? sin ? ? 3 sin ? ? 0 ,
2 2

…………………………6 分

所以 sin ? ? cos ? ?

1 , 3

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所以 (sin ? ? cos ? ) ?
2

1 , 9
…………………………8 分

所以 2 sin ? cos ? ? ?

8 , 9

所以

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? , sin ? ? cos? 1 ? tan? cos?

…………………………10 分

8 ? 2 sin ? cos ? ? ? 。 9
21、(1)证明:取 DD1 中点 N,连接 MN,NA1.

…………………………12 分

A1 B1 C1

D1

因为 C1 M // D1 N ,且 C1 M ? D1 N ,所以 MN // C1 D1 。所以 ?A1 MN 是异 面直线 A1 M 与 C1 D1 所成的角或其补角 ……2 分

N M A B C D

MN ? C1 D1 ? 1 , A1 N ? 2 , A1 M ? 3 ,
因为

MN 2 ? A1 N 2 ? A1M 2 ,所以 ?A1 NM ? 90? ,
tan?A1 MN ? A1 N 2 ? ? 2。 MN 1
……4 分 xKb

所以

1.C om

22、解:

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1
? 3s i n 2x ? c o 2 s x ? 2(
(1) T ?

3 1 ? sin 2x ? c o 2 s x) ? 2 s i n2(x ? ) 2 2 6

……4 分

2? ?? 2

……………… ………………………… …………………………5 分

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(2)因为 0 ? x ? 所以 ?

?
2

,所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? , 6

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1, 2 6

所以函数 f ( x) 在区间 [0, (3)因为 f ( x 0 ) ?

?
2

] 上的最大值是 2,最小值是-1

…………………………9 分

6 ? 6 ? 3 ,所以 2 sin( 2 x 0 ? ) ? , sin( 2 x 0 ? ) ? 5 6 5 6 5 ? ? ? 2 7 ? 4 因为 x 0 ? [ , ] ,所以 2 x0 ? ? [ ? , ? ] ,所以 cos( 2 x 0 ? ) ? ? , 4 2 6 3 6 6 5
所以 cos 2 x0 ? cos[( 2 x0 ? = cos( 2 x0 ?

?
6

)?

?
6 6

] ? sin( 2 x0 ?

?
6

) cos

?

?
6

) sin

?
6

4 3 3 1 ?? ? ? ? 5 2 5 2
? 3?4 3 。 10
…………… …………… …………………………14 分

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