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向量的点乘和叉乘有什么区别


向量的点乘和叉乘有什么区别?
向量的点乘和叉乘有什么区别?
神剑守展 0 数学 2014-11-08

优质解答

分清点乘和叉乘 点乘,也叫向量的内积、数量积.顾名思义,求下来的结果是一个数. 向量 a·向量 b=|a||b|cos 在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量 F 与向量 s 的内积,即 要用点乘.

叉乘,也叫向量的外积、 向量积.顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这 个向量为 c. |向量 c|=|向量 a×向量 b|=|a||b|sin 向量 c 的方向与 a,b 所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用 右手的四指先表示向量 a 的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量 b 的方向,大拇指所指的方向就是向量 c 的方向). 因此 向量的外积不遵守乘法交换率,因为 向量 a×向量 b=-向量 b×向量 a 在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘. 将向量用坐标表示(三维向量), 若向量 a=(a1,b1,c1),向量 b=(a2,b2,c2), 则 向量 a·向量 b=a1a2+b1b2+c1c2 向量 a×向量 b= | i j k| |a1 b1 c1|

|a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) (i、j、k 分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量).
梓喵 22341 2014-11-08

向量积
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向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的 二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与 这两个向量的和垂直。[1]
中文名 向量积 外文名 cross product 别 称 向量积、矢积、叉乘、外积 表达式 a×b 应用学科 数学,物理 适用领域范围 解析几何

目录
1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2.

1 方程式 2 性质
? 几何意义 ? 代数规则 ? 拉格朗日公式 ? 矩阵形式 ? 高维情形

3 应用

方程式编辑
两个向量 a 和 b 的叉积写作 a×b(有时也被写成 a∧b,

避免和字母 x 混淆)。向量积可以被定义为: |向量 a×向量 b|=|a||b|sinθ 在这里 θ 表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位 于这两个矢量所定义的平面上。 这个定义有一个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于和:若满足垂直的条件,那 么也满足。 一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的: 若坐标系是满足右 手定则的,当右手的四指从 a 以不超过 180 度的转角转向 b 时,竖起的大拇指指向是 c 的 方向。 向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b> 即 c 的长度在数值上等于以 a,b,夹角为 θ 组成的平行四边形的面积。 c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定。 设

=( ),

=(

)。i,j,k 分别是 X,Y,Z 轴方向的单位向量,则: a×b=(

-

)i+(

)j+(

-

)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成 det

b×a= -a×b 右手规则 三角形 ABC 的面积=

[2]

性质编辑
几何意义
叉积的长度 |a×b| 可以解释成以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积。 混合积 [a b c] = (a×b)· c 可以得到以 a,b,c 为棱的平行六面体的体积。[2]

代数规则
反交换律: a×b= -b×a 加法的分配律: a× (b+c) =a×b+a×c 与标量乘法兼容: (ra) ×b=a× (rb) = r(a×b) 不满足结合律,但满足雅可比恒等式: a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0 分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代 数。 两个非零向量 a 和 b 平行,当且仅当 a×b=0[2]


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