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2007年番禺区高二数学学业水平测试模拟题3东涌中学


2007 年高二数学学业水平测试模拟题 3
命题人:东涌中学 张彦武 审题人:梁敏聪

说明:本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:共 12 小题每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要 求的,把正确的选项的代号涂在答题卡上. 1.已知 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | log2 x ? 1},则 M ? N =( A. {x | x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} ) D. ?

2.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的 示意图。其中实点 代表钠原子,黑点·代表氯原子。建立空间 直角坐标系 O—xyz 后,图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是 ( )

z

1 1 , ,1) B. (0,0,1) 2 2 1 1 1 C. (1, ,1) D. (1, , ) 2 2 2
A. ( 3.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( ) A 2 B 1

O x
D

y

C

0

?1


4.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ........................ ( A.

1 1 ? a b

B. a ? b
2

2

C. a | c |? b | c |

D.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

5.直线 x ? y ? 1与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是( ) A. (0, 2 ?1) 6.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1,2)
? 3

B. ( 2 ?1, 2 ? 1) C. (? 2 ?1, 2 ?1)

D. (0, 2 ? 1)

2 的零点所在的大致区间是 x
B. (2,3) C. (e,3) D. (e,+∞)

7.已知 R ? 2 2 , P ? ( ) , Q ? ( ) ,则 P 、 Q 、 R 的大小关系是
3 3

5 2

1 2

A. P ? Q ? R

B. Q ? R ? P

C. Q ? P ? R

D. R ? Q ? P )

8.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, | a |? 3, | a ? b |? 13 ,则 | b | 等于( A.5 B.3 C.4
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D.1

9.函数 y ? A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则其解析式可以是 A. y ? 3sin(2 x ?

?
3

)

B. y ? ?3sin(2 x ?

?
3

)

C. y ? 3sin( x ?

1 2

?
12

)

D. y ? ?3sin( x ?

1 2

?
12

)

10.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 前 9 项的和 S 9 等 于 A.66 ( B.99 C.144 D.297 )

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分;将答案填写在第 II 卷相应的题号后面的空格内.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 11.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 ?x ? 3 ?

.

12.已知点 P,直线 a, b, c 以及平面 ? , ? ,给出下列命题:①若 a, b 与 ? 成等角,则 a ∥ b ;②若 ? ∥ ? ,c ⊥ ? ,则 c⊥ ? ③若 a ⊥ b , a ⊥ ? ,则 b ∥ ? ④若 ? ⊥ ? , a ∥ ? ,则 a ⊥ ? ⑤若 a ⊥ c , b ⊥ c ,则 a ∥ b 或 a, b 异面直线。 其中错误命题的序号是 13.若 sin( 。

?
4

??) ?

5 ? , 且? ? (0, ) ,则 13 2

cos2? cos( ? ? ) 4

?

值为

.

14.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的 关系如图所示,则该汽车在前 3 小时内行驶的路程 为_________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行 驶这段路程前的读数为 2006km,那么在

t ?[1, 2] 时,汽车里程表读数 S 与时间 t 的函
数解析式为__________。

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三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 80 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 15.本题满分 12 分) ( 在△ABC 中, A、、 所对的边分别是 a、、, n 角 B C b c 若i s 且 AC ? AB ? 4 ,求△ABC 的面积 S.
2

B ?n i s

2

C ?n i s

2

A ?n Bn C , i s i s

16. (本题满分 12 分)设直线方程为 l : (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R) (Ⅰ)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 方程; (Ⅱ)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围。

17. (本小题满分 14 分)如图, 在直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 , AA1 =4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1 ; (II)求证:AC 1 //平面 CDB1 ;

18. (本题满分 14 分)已知等差数列{ an }, a2 ? 9, a5 ? 21. (Ⅰ)求{ an }的通项公式;(Ⅱ)令 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
a

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19. (本题满分 14 分)设函数

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . x ? [ ? 2, 6]
(1)画出函数 f (x) 的图像; (2)求函数的单调区间 (3)求不等式 f ( x) ? 5 的解集。

20. (本题满分 14 分) 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每 年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船;②总纯收入获利最大时, 以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案最合算?

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2007 年高二数学学业水平测试模拟题参考答案
命题人:张彦武 审题人:梁敏聪

说明:本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:共 12 小题每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要 求的,把正确的选项的代号涂在答题卡上. 1.答案.C 2.答案.A 3.因为两条已知直线的斜率都存在,所以它们互相垂直的充要条件是 a ? a ? 2? ? ?1, 得 ? a ? 1? ? 0 ,即 a ? ?1 .
2

4.D

5.由圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 的距离大于 a ,且 a ? 0 。 6.B 7.B 8.C 9.B 10.B 二、填空题:本大题有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分;将答案填写在第 II 卷相应的题号后面的空格内. 11.-6 12.①③ ④⑤ 13.

24 13

14.6.220; S ? 80t ? 1976(1 ? t ? 2)

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 15.答案.解:由已知得 b2 +c2 =a2 +bc………………………………………………………2′

? bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A …………………………………………………4′

1 3 ……………………………………………………………6′ ? cos A ? ; sin A ? 2 2
由 AC ? AB ? 4,得bccos A ? 4,?bc ? 8 ……………………………………10′

?S ?

1 bc sin A ? 2 3 ……………………………………………………………12′ 2

2 16. ?1? a ? 0或a ? ?(2)-2 ? a<-1
17.答案.解 : (I)直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 ,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,又 AC⊥ c1 C,∴ AC⊥平面 BCC1 ; ∴ AC⊥BC1 (II)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1 , ∵ DE ? 平面 CDB1 ,AC1 ? 平面 CDB1 , ∴ AC1 //平面 CDB1 ;

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18.

解: (Ⅰ)设数列{an } 的公差为 d,依题意得方程组

?a1 ? d ? 9, 解得 a1 ? 5, d ? 4. ? a1 ? 4d ? 21, ?
所以 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 1. (Ⅱ)由 an ? 4n ? 1得bn ? 2 4n?1 , 所以 {bn } 是首项 b1 ? 2 5 ,公式 q ? 2 4 的等比数列. 于是得 {bn } 的前 n 项和

Sn ?

2 5 ? (2 4 n ? 1) 32 ? (2 4 n ? 1) ? . 15 24 ? 1

19. 答案.[解](1) (2) f (x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增, (3)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 , 观察图像可得 f ( x) ? 5 的 解集是 ? 2 ? 14, 0? ? ? 4, 2 ? 14 ?

?

?

?

?

20.答案.解:由题设知每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列。 设纯收入与年数的关系为 f(n) ,则

f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? ... ? (8 ? 4n)] ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 …………………2′
(1)由 f(n)>0 得10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 又∵n∈N* ,∴n=3,4,……17。即从第 3 年开始获利…………………………4′ (2)①年平均收入为

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 2 ? 14 ? 12 n n

当且仅当 n=7 时,年平均获利最大,总收益为 12×7+26=110(万元)…………7′ ②f(n)=-2(n-10)2 +102 ∵当 n=10 时, f (n) max ? 102,总收益为 102+8=110(万元)………………10′ 但 7<10 ∴第一种方案更合算。………………

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