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数列通项公式的求法


数列通项公式的求法

数列的通项公式的定义:如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的函数 关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的通项公式,即 an ? f (n) 数列通项公式的求法,主要有,观察法, 公式法,另外还有,待定 系数法;由数列的递推公式求通项公式法,迭加法,迭乘法,换元法等.
注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,

数列的通项公式,也 并非是唯一的. 数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示: (1)给出最初的n项或一项. (2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫 做递推法,后者称为该数列的递推公式. 一、观察法
(1) 1,?1,1,?1,1,?1?? ( 2) 1,0,1,0,1,0, ??

写出下列数列的一个通项公式 (3) 3,5,3,5,3,5, ?? 1 ? (?1) n?1 1 2 3 4 5 n ?1 ( 4) , , , , , ?? (1)an ? (?1) (2)an ? 2 3 4 5 6 2 1 1 1 1 1 (3)an ? 4 ? (?1)n (4)an ? n (5) , , , , , ?? 2 6 12 20 30 n ?1 5 13 33 81 1 1 (5)an ? (6) an ? n ? n ?1 (6) 2, 2 , 4 , 8 , 1 6 , ?? n(n ? 1) 2 15 24 35 48 63 2 ( 7 ) , , , , , ?? (n ? 3) ? 1 2 5 1 0 1 7 2 6 (7 ) an ? n2 ? 1

(1) 1,?7,13,?19,25, ?? ( 2) 9,99,999,9999 , ?? 写出下列数列的一个通项公式: (3) 7,77,777,7777 , ?? (1) an ? (?1)n?1 (6n ? 5) 1 3 1 7 9 7 ( 4 ) , , , , , ?? n n ( 3 ) a ? ( 10 ? 1 ) (2) an ? 10 ?1 4 7 2 13 16 n 9 2 4 8 16 2n ? 1 (5) a ? ( 2 ) n (5) , , , , ?? ( 4) a n ? n 3 3 9 27 81 3n ? 1 1 3 5 7 2n ? 1 ( 6 ) , , , , ?? ( 6) a n ? n 2 4 8 16 2 2 8 15 24 ( n ? 1 ) ?1 n ?1 ( 7 ) 1 , ? , ,? , ?? (7) an ? (?1) 5 7 9
二、公式法:

2n ? 1

三、累差迭加法:基本原理是等差数列推导通项公式。

(1) 求数列1,3,6,10,15,?的一个通项公式
法一:原数列可写为 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,??, 故其通项公式为

n(n ? 1) an ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 2

法二:由已知条件,得

a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4, ?? an ? an ?1 ? n. 将上述n ? 1个等式相联系加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n. ? an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2

(2) 求数列a1 ? 3, an?1 ? an ? 2n?1的通项公式

解 :? a1 ? 3, an ?1 ? an ? 2n ?1 ? a2 ? a1 ? ?21?1 ? ?20 a3 ? a2 ? ?22?1 ? ?21 a4 ? a3 ? ?23?1 ? ?22

a4 ? a3 ? ?23?1 ? ?2 2 ? ?

an ? an?1 ? ?2n?2
? 将上述各式相加 ,得 an ? a1 ? ?(20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?2 ) ? an ? a1 ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?2 )
若数列?an ?满足an?1 ? an ? f (n), 其中f (n)是等差数列或 等比数列 , 则可用 "累差迭加法 "求和.
四、迭乘法:基本原理是等比数列推导通项公式。

1 ? 2n ?1 ? 3? ? 4 ? 2n ?1 1? 2

(1) 求数列1,3,27,729,59049 ?的一个通项公式 a3 a a4 从已知分析得: 2 ? 3, ? 9 ? 32 , ? 27 ? 33 , a1 a2 a3 a5 an?1 an ? 81 ? 34 , ? ? 3n?2 , ? 3n?1 a4 an ? 2 an?1

?

a2 a3 a4 a5 an?1 an ? ? ? ? ? ? 31 ? 32 ? 33 ? 34 ?3n?2 ? 3n?1 a1 a2 a3 a4 an?2 an?1

n ( n ?1) an 1? 2?3??? n ?1 ? ?3 ?3 2 a1

? an ? a1 ? 3

n ( n ?1) 2

?3

n ( n ?1) 2

若数列?an ?满足
五、递推法。

an ?1 ? f (n),则可用 " 迭乘法". an

(1)数列?an ? 中前n项和为Sn ? 2n2 ? 3n ?1, 求通项an .
解(1)当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 ?12 ? 3?1 ?1 ? ?2, (2)当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n 2 ? 3n ? 1) ? ?2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 1?
? 2n 2 ? 3n ? 1 ? 2n 2 ? 4n ? 2 ? 3n ? 3 ? 1 ? 4n ? 5
经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为

(一)已知前n项和公式求通项公式

? ? 2, 当n ? 1时 an ? ? ? 4n ? 5, 当n ? 2时

?an ?的前项和为Sn ? 3n2 ? 2n, 求通项公式an . (2) 已知数列
解 : 当n ? 1时, a1 ? S1 ? 3?12 ? 2 ?1 ? 5

当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ? 3(n ?1)2 ? 2n ? 6n ?1
经验证当n ? 1时a1 ? 5包含在an ? 6n ? 1中, ?此数列的通项公式为 an ? 6n ? 1

?an ?的前项和为Sn ? 1 (an ? 1 ),求通项公式an . (3) 已知数列 2 an 1 2 解由已知条件得: 2S n ? an ? .即是 an ? 2S n an ? 1 ? 0 (1) an 当n ? 2时, 把an ? S n ? S n ?1代入(1)式得 :
( S n ? S n ?1 ) 2 ? 2( S n ? S n ?1 ) S n ? 1 ? 0

展开化简为: Sn ? Sn?1 ? 1
于是: Sn?1 ? Sn?2 ? 1, Sn?2 ? Sn?3 ? 1, ?, S2 ? S1 ? 1
以上各式相加得到: Sn ? S1 ? n ?1 1 1 2 ? S1 ? a1 ? a1 ? (a1 ? ) 解出 a1 ? ?1, 于是 S n ? n, S n ? ? n , 2 a1
2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

?an ? n ? n ? 1 或 an ? n ? n ? 1 或 an ? n ? 1 ? n 或 an ? ? n ? 1 ? n

(4) 设数列?an ? 的前项和为Sn , 若a1 ? 3且Sn?1 ? Sn ? 2an?1 (n ? N ), 求通项公式an .
分析:由于给出的递推关系中an与S n 混在一起,因而应首先统一 到关于 an或S n 的递推关系,然后再利用所掌握的方法解之。 法一(统一为 an 的递推关系)

? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 , (1)

? S n? 2 ? S n?1 ? 2an? 2 , (2) (2) ? (1),得Sn?2 ? Sn ? 2an?2 ? 2an?1.

即an?2 ? an?1 ? 2an?2 ? 2an?1. ?an?2 ? 3an?1 (n ? N )
?数列从第二项起是以 3为公比的等比数列 .

又a1 ? 3, S1 ? S2 ? 2a2 , ? a2 ? 6.
?当n ? 2时, an ? 6 ? 3n?2 ? 2 ? 3n?1.
(n ? 1) ?3 ? an ? ? n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

法二(统一成关于 Sn 的递推关系)

? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 2(Sn?1 ? Sn ),

??Sn ? 是以S1 ? a1 ? 3为首项, 公比为 3的等比数列 .

?Sn ? 3 ? 3n?1 ? 3n.
(n ? 1) (n ? 1) ?3 ?S1 ? an ? ? ? ? n ?1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2) ?2 ? 3 (n ? 2)
解法一是将 an与S n 混杂的递推关系统一为关于 an 的递推关系。 解法二是将 an与S n 混杂的递推关系统一为 Sn 的递推关系。 显然,解法二较简单。

5 1 1 n ?1 (1) 已知数列?an ?满足a1 ? , an ?1 ? an ? ( ) (n ? 1), 6 3 2 1 1 1 1 并且数列a2 ? a1 , a3 ? a2 , ? , an ?1 ? an , ?是以 2 2 2 3 为公比的等比数列 , 求an .
解: 依题意,等比数列的递推公式是:

(二)在一个所给的数列递推公式中构造一个由原数列的项通过 换元、代入消元、待定系数等方法组成的新等差或等比数列是常 用方法。(实际上换元,代入消元,待定系数都可以通称为特征 方程法。)

1 1 1 1 an ?1 ? an ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?1 2 9 3 3
另一数列的递推公式是:

(1)

1 1 an ?1 ? an ? ( ) n ?1 (2) 3 2 1 1 1 n ?1 1 n ?1 (2) ? (1), 得 ( ? )an ? ( ) ? ( ) , 2 3 2 3 1 ? ? 1 ? an ? 6?( ) n ?1 ? ( ) n?1 ? 3 ? ? 2

?an ?的递推关系是an?1 ? 2an ?1(n ? N ), a1 ? 1, 求通项公式an . (2) 已知数列
法一:递推法 解 : an ? 2an?1 ? 1 ? 2(2an?2 ? 1) ? 1 ? ? ? 2n?1 a1 ? 2n?2 ? 2n?3 ? ? ? 22
2n?1 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2n ? 1 2 ?1 法二:换元法一(即辅助数列法)
n ?1

设 an ?1 ? x ? 2(an ?

x ?1 x ?1 则解得 x ? 1, 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ) 令x? 2 2 n 数列 ?an ? 1? 是首项为2,公比为2的等比数列,即 an ? 1 ? 2

? an ? 2n ?1
法三:换元法二
?an ?1 ? 2an ? 1 ?? 两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) ?an ? 2an ?1 ? 1

令bn ? an?1 ? an (n ? N ),b1 ? 2

则bn ? an?1 ? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

? an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ?2 ? 2n ?3 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 1
n

4 13 , a2 ? , 当n ? 3时, 3 9 有3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? 0.求数列?an ?通项公式. 解:由条件,得 3(an ? an ?1 ) ? an ?1 ? an ? 2 , (3)在数列?an ? 中,已知a1 ?
1 ? an ? an ?1 ? (an ?1 ? an ? 2 ) (n ? 3) (1) 3 1 ??an ?1 ? an ?是以 a2 ? a1为首项 ,以 为公比的等比数列 . 3 1 1 ? an ?1 ? an ? (a2 ? a1 )( ) n ?1 ? ( ) n ?1. (2) 3 3

1 1 又由(1), 得 an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 (n ? 3). 3 3 1 ? 1 1 ? ? ?an?1 ? an ?为常数列 . ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1, (3) 3 ? 3 3 ? 3 1 1 n 由(2) ? (3), 得 an ? ? ( ) (n ? N ) 2 2 3

本题的解法是将条件进行适当变形,实现了向等比数列、常数列的 转化。从而使问题得到解决。另外,当得到(2)后也可用累加法 解之。

?xn ?满足x1 ? 1, xx?1 ? (4) 已知数列
法一:换元法

xn , 求通项公式xn . 2 xn ? 1

1 1 1 1 xn ? ? 2? . ? ? ? 2. ? xn ?1 ? xn ?1 xn xn ?1 xn 2 xn ? 1

?1? 1 ? 数列? ?是以 ? 1为首项,2为公差的等差数列 x1 ? xn ? 1 1 ? xn ? . ? ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. 2n ? 1

xn

法二:归纳法 由已知 , 得 x1 ? 1 ?

1 1 1 , x2 ? ? , 2 ?1 ? 1 3 2 ? 2 ?1 1 猜测 xn ? . 2n ? 1

x3 ?

1 1 1 1 ? , x4 ? ? . 5 2 ? 3 ?1 7 2 ? 4 ?1

下面用数学归纳法进行证明(略)。

(5)特征根的方法(待定系数法)目的解决是构造新数列中的形式和系数
理论依据是 可假设为 展开得

若已知an?2 ? pan?1 ? qan ? 0的递推关系则

(an?2 ? ?1an?1 ) ? ?2 (an?1 ? ?1an ) an?2 ? (?1 ? ?2 )an?1 ? ?1?2an ? 0 已知a1 , a2且n ? 3

对比已知条件的系数,可知

?1 ? ?2 ? p ?1?2 ? q

?我们可把?1?2看作是方程 x 2 ? px ? q ? 0的两根
从而可求?1 , ?2

?an?1 ? ?1an ?是以a2 ? ?1a1为首项?2为公比的等比数列 因而数列
(1)数列?an ? 中,已知a1 ? a, n ? 2时满足an ? qan?1 ? d , (q, d为 常数且q ? 0, q ? 1, d ? 0).求此数列的通项 an .
解:设存在一个数

因为已知 a1, a2 , 在下面可以利用迭加法 求出an

?使an ? qan?1 ? d变形为an ? ? ? q(an?1 ? ? ). 展开得an ? qan?1 ? (q ? 1)?

比较系数得? ?

d d d .于是原式可化为 an ? ? q(an?1 ? ) q ?1 q ?1 q ?1 d a ? 可见该数列是首项 1 q ? 1 公比为q的等比数列。即通项为

d d an ? ? (a1 ? )q n ?1 q ?1 q ?1
n ?1 d ( q ? 1) an ? a1q n?1 ? 整理得 q ?1 n?1 ?an ?的通项an . (2)已知 a1 ? 7, an?1 ? 5an ? 2 ? 3 ? 4 求数列

解: a1 ? 7, an?1 ? 5an ? 2 ? 3n?1 ? 4

设an?1 ? ? ? 3n?1 ? ? ? 5(an ? ? ? 3n ? ?) 比较系数得,? ? 3, ? ? ?1.
于是, an?1 ? 3n?2 ?1 ? 5(an ? 3n?1 ?1)

数列 an ? 3n?1 ?1 首项a1 ? 32 ?1, 公比5. 得到 an ? 3n?1 ?1 ? 15? 5n?1 即 an ? 15? 5n?1 ? 3n?1 ?1 ? 3 ? 5n ? 3n?1 ?1

?

?

(3) 已知数列a1 , a2 ,?, an ,?和数列b1 , b2 ,?, bn ,?, 其中, a1 ? p, b1 ? q, an ? pan ?1 , bn ? qan ?1 ? rbn ?1 (n ? 2, p, r是已知常数且 q ? 0, p ? r ? 0)试用p, q, r , n表示bn .
a1 ? p, 解:由 ? ? ?an ? pa n ?1
n?1 , 得 an?1 ? p ,

?an ?1 ? p n ?1 再由? ?bn ? qan ?1 ? rbn ?1

(n ? 2)

得bn ? rbn?1 ? qpn?1

令bn ? ?pn ? r(bn?1 ? ?pn?1 )
整理, 得bn ? rbn?1 ? (rp n?1 ? pn )?比较系数得
q ?? r? p ? qpn ? qp qr 于是?bn ? 的首项为 q ? ? , 公比为r. ? r ? p? r? p r? p ?

qr qpn q n ?1 则 bn ? ?r ? ? (r n ? p n ) r? p r? p r? p

(4) 已知a1 ? 0, a2 ? 1, an ? 3an?1 ? 2an?2 ? 1(n ? 3, n ? N ),求an .

解 : 令 (an ? ?an?1 ) ? ? (an?1 ? ?an?2 ) ? 1
展开比较得:? ? 1, ? ? 2.

则(an ? an?1 ) ? 2(an?1 ? an?2 ) ? 1
再令bn ? an ? an?1, 则bn ? 2bn?1 ? 1
变形为bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1)

于是 bn ? 2n?1 ?1 (n ? 2),
由 an ? an?1 ? 2n?1 ?1, a1 ? 0, 累加得: an ? 2n ? n ?1 (n ? N ) ?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 6an?1 ? 8an ? 3(n ? N ),求an . (5)在数列

解 : 构造(an?2 ? ?an?1 ) ? ? (an?1 ? ?an ) ? 3
比较系数得:? ? 2, ? ? 4.

令bn?2 ? an?2 ? 2an?1, 则bn?2 ? 4bn?1 ? 3 b3 ? a3 ? 2a2 ? (6a2 ? 8a1 ? 3) ? 2a2 ? (12 ? 8 ? 3) ? 2 ? 2 ? 3

易得bn?2 ? 4n ?1即an?2 ? 2an?1 ? 4n ?1
再构造 an?2 ? ?? ? 4n ? ?? ? 2(an?1 ? ?? ? 4n?1 ? ??)
比较系数得:? ? ? ?2, ? ? ? ?1 故有:

an?2 ? 2 ? 4n ?1 ? 2(an?1 ? 2 ? 4n?1 ?1)
从而 an?2 ? 2 ? 4n ?1 ? (a2 ? 2 ? 41?1 ?1)2n ? ?2n 所以 an?2 ? 2 ? 4n ? 2n ?1, (n ? N ) 即可推出an ? 22n?3 ? 2n?2 ?1 1 ? an (6)在数列?an ? 中, a1 ? 0, an ?1 ? , 求an . 3 ? an

1? ? 解 :由? ? 得? ? 1 3?? 1 ? an 2(an ? 1) 从而有an?1 ? 1 ? ?1 ? 取倒数, 得 3 ? an ? (an ? 1) ? 2 1 1 1 ? ? an ?1 ? 1 an ? 1 2

? 1 ? 1 1 所以? 是首项为 ? ? 1 公差为 的等差数列 ? a1 ? 1 2 ? an ?1 ? 1? 1 1 ? ?1 ? n, an?1 ? 1 2 n n ?1 解得 an ?1 ? 或an ? (n ? N ) 2?n n ?1 ? 2 ? 3an ? ? (7)在数列 an 中, a1 ? 1, an?1 ? .求an an ? 2 ? 3? 解 : 由? ? , 得 ? ? ?1. ? ? 2 ? 3an ? 2(an ? 1) an?1 ? 1 ? ?1 ? an (an ? 1) ? 1 1 1 1 取倒数 ?? ? an ?1 ? 1 2 2(an ? 1) 1 1 1 设bn ? , 则有b1 ? ? an ? 1 a1 ? 1 2 1 1 3 1 n ?1 bn ?1 ? bn ? 可解得 bn ? ( ) ? 1 2 2 2 2

2 n ?1 ? 3 4 3 1 n?1 3 ? 2n 即 ? ( ) ? 1 ? n , 解之得 : an ? 3 ? 2n an ? 1 2 2 2 (8)一容器装有浓度为 c%的溶液5kg, 先倒出 1kg溶液, 再注

入浓度为a%的相同溶液 1kg, 搅匀后再倒出 1kg溶液, 再注 入浓度为a%的相同溶液 1kg, 并搅匀, 如此继续进行下去 . (1)设第n次倒出注入后浓度为 a%, 写出a1 , a2 , a3 , 并猜 想出通项公式 浓度不小于b% ? (a ? b ? 0, a ? c ? 2(a ? b), lg 2 ? 0.3010 ) 4 1 4 5?4 解(1)a1 ? c ? a ? c ? a 5 5 5 5 4 2 4 a 4 2 52 ? 4 2 a2 ? ( ) c ? 2 a ? ? ( ) c ? a 2 5 5 5 5 5 4 3 42 4 a 4 3 53 ? 4 3 a3 ? ( ) c ? 3 a ? 2 a ? ? ( ) c ? a 3 5 5 5 5 5 5

(2)要进行多少次倒出注入 的手续, 才能使容器内溶液的

4 n 5n ? 4 n 归纳出: an ? ( ) c ? a n 5 5 4 n 即 : an ? ( ) (c ? a ) ? a 5 4 (2) 由条件 , 得 : ( ) n (c ? a ) ? a ? b 5
4 整理 , 得 : ( ) n (c ? a) ? b ? a 5 4 n 2( ) ? 1 5

取对数, lg 2 ? n(3 lg?1) ? 0 所以n ? 3
即至少要进行4次这样的手续才满足条件。


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