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函数单调性教学设计


《函数的单调性》教学设计
课题:§1.3.1 函数的单调性
教学目标:
(一)知识与技能目标 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性 3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 (二)过程目标 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、通过利用定义证明单调性,进一步加强逻辑推理能力及判断推理 能力的培养 (三)德育目标(情感、态度和价值观) 1、通过本节课的教学,启发学生养成细心观察,分析归纳,严谨论 证的良好习惯 2、通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,学生通过积极参 与教学活动,获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习数学 的自信心

教学重点
形成增(减)函数的形式化定义

教学难点
形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数 学符号语言表述; 用定义证明函数的单调性。

教具准备:三角板,彩色粉笔,ppt ,几何画板
教学基本流程

从观察具体函数图象引入

直观认识增(减)函数

定量分析增(减)函数

给出增(减)函数的定义

由图象说出函数的单调区间

利用定义证明函数单调性

练习、交流、反馈、巩固

学生归纳小结,教师评价
教学设计 一、 引入课题 观察图象,指出区别:

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图象的上升和下降反映了函数的一个重要性质-----单调性(板书课题) 二、推进新课 (1)画出下列函数的图象,观察其变化规律: (学生动手) 请作出函数 f(x) = x 和 f(x) = x2 的图象,并观察自变量变化时,函数值 的变化规律. (学生先自己观察,然后通过多媒体----几何画板形象观察) 1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 _________ 上, ○ 随着 x 的增大, f(x)的值随着 ________ . 2.f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ○ 2 在区间 ____________ 上, ○ f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . (2)引出增(减)函数的概念 如何利用数学符号语言描述“y 随 x 的增大而增大”和“y 随 x 的增 大而减小”? (学生思考、交流探讨,指导学生从定性分析到定量分析,从直观认识 过渡到数学符号表述)
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(3)给出增(减)函数的定义: 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 提问:同学们能不能仿照这样的描述给出减函数的定义呢?(学生思考, 模仿描述) 思考:增(减)函数定义中需要注意的关键点有哪些? 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 ;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 2、函数的单调性定义 如果函数 y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区 间. 三 自主探究例题 1.课本 P34 例 1、如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数 根据图象说出 增函数还减函数。
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的图象, 是

的单调区间,以及在每一单调区间上,函数

类型:根据函数图象说明函数的单调性. 巩固练习:课本 P38 练习第 1、2 题 2.课本 P34 例 2:物理学中的玻意尔定律 p=

k (k 为常数)告诉我们,对 v

于一定量的气体,当体积 v 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证 明之。 类型:根据函数单调性定义证明函数的单调性. 巩固练习:课本 P38 练习第 3 题; 说明:这两道例题介绍了 (1)判断函数单调性的两种方法:根据图像观察,根据定义证明 (2)证明函数单调性的步骤:
① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;

2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ . 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论(学生讨论得出)
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3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解: (略) (个别学生提问) 思考:画出反比例函数 y ? 的图象. 1 这个函数的定义域是什么? ○ 2 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. ○ 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. (学生板书解题过程) 四、课堂小结,知识梳理 (师生共同完成) 1、 增、 减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的,
1 x

反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。 2、函数单调性的判断方法: (1)利用图象观察; (2)利用定义证明: 3、函数单调性证明的步骤:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 五、作业布置 1. 书面作业:课本 P39 习题 1.3 1-5 题 2. 提高作业:设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y), 1 求 f(0)、f(1)的值; ○ 2 若 f(3)=1,求不等式 f(x)+f(x-2)>1 的解集. ○

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