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(二倍角的正弦·余弦·正切公式)教学设计


“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计

设计理念:根据皮亚杰的认知发展理论,在个体从出生到成熟的发展过程中,智力发展 可以分为具有不同的质的四个主要阶段:激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的 认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的,前一阶段总是达到后一阶段 的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃,而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论 为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断,提供了重要的理论依据。

教学内容:《普通高中课程标准实验教科书(数学)》必修 4(人教 A 版),第三章、 第一节、第 145-148 页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有 “二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式,它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化, 又为以后求三角函数值、 化简和证明提供了非常有用的理论工具, 通过对二倍角公式的推导 知道:二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”,通过推 导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想,因此这节课也是培养学 生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标:根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点,我 们把本节课的教学目标确定为:

1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式, 理解它们的内在联系,从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使 用,提高三角变形的能力,以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变,激发学生的学习兴趣,培养学生的发散性思维、创新 意识和数学情感,提高数学素养。

学情分析:我们的学生从认知角度上看,已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数 的基础上。 从学习情感方面看, 大部分学生愿意主动学习。 从能力上看, 学生主动学习能力、 探究的能力、较弱。

教材分析:对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法,而是通过提出问题,设置情 景对和角公式中的角 、 的关系特殊情形 时的简化,让学生探讨发现、推证得出

二倍角公式,这样学生会感到自然,好接受,并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的 联系,同时让学生学会怎样发现数学规律,并体会到化归(这里是将一般化归到特殊)这一 基本数学思想在发现中所起的作用,对教材的例题则有所增减,处理方式也有适当改变。

教学重点、难点

重点:使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式,以及公式 的两种变形和公式成立的条件;如何学会去发现数学规律,并体会化归、转化等基本数学思 想在发现中所起的作用,能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点:灵活应用二倍角公式变形的态式,熟练解三角综合题。

教学过程

一、复习启发、设置情景、引出正题

1、(复习性提问):请同学回顾两角和的公式

(学生回答,教师板书)

2、(探索性提问)当上述公式中角



具有特殊化关系

时,公式变为什么形

式?请一名学生到黑板上演示简化,其他同学在座位上做。

学生板书:

3、集体订正后,引导学生观察其结构,并指名回答观察结果

(学生回答:左边角均为

,右边角均为

,具有“二倍”关系)

4、引入正题

师:肯定学生观察结论准确,并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

教师板书(放幻灯片)

二倍角公式简记为

即为我们今天要学习的二倍角公式

【设计意图:复习已学公式,对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方 法,从而达到“温故知新”的教学目的】

二、引导探究、深化认识

1、回忆推导过程,让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联 系

2、(探索性提问)对



中的平方联想到



有无其他变式?

(学生探索、总结得出两种变式:



3、(深化性提问):有了这组二倍角公式,我们是否可以放心大胆的应用呢?

(学生:不能,要注意公式成立的条件)

引导学生联想和角公式的条件,利用类比的方法,探索出二倍角公式的条件

指出:尤其注意

成立的条件

【设计意图:引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

4、二倍角公式中的倍数关系是相对的,为深化对二倍角公式的理解,出示一组填空题 (放幻灯片)

(1)填角

【设计意图:通过填空,让学生灵活理解“二倍角”的含义,根据学生易混点,类比 公式,展开训练,达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

三、巩固公式,学习应用

出示四道例题,学生分组训练,每组一题,做完后组内交流,订正答案,最后教师引导 学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

(第一组学生做)例 1、不查表,求下列函数值

【设计意图:通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

(第二组学生做)例 2、已知

,求

的值。

讲评:此题目中对角

有范围限制,做题中应注意什么?仅知道 值时,要灵活应用

值,欲求二倍角正 三种等价形式 ,

弦、余弦、正切,先需要知道什么?? ?在求

并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

【设计意图:由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题 经验,做后反思】

(第四组学生做)例 4、

【设计意图:】

四、提炼总结——放幻灯片

(1)在两角和的三角函数公式 角的三角函数公式

中,当

时,就可得到二倍

。说明:后者是前者的特例。

( 2 )

中 角

没 有 条 件 限 制 , 而

中 , 只 有

时才成立。

(3)二倍角公式不仅限于



的二倍形式,其他如



的二倍,





二倍,



的二倍等等都适用,要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系,才能熟练地

应用好二倍角公式,这是灵活应用公式的关键。

有三种形式: 件灵活应用公式,另外逆用此公式时更要注重结构形式。

。要依据条

【设计意图:使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识,抓住重点、难点, 关键进行课后复习巩固】

五、作业布置:

教科书 P150 习题 3.1A 组 14、15

【设计意图:培养学生自觉学习的习惯,检查学习效果,及时反馈,插漏补缺】

设计思路:

1、本节公式比较多,首先要搞清楚各公式之间的内在联系,也就是要很好地理解上面 的知识结构图,其次理解如何由和角公式推导倍角公式,然后明确倍角的含义,熟练地运用 倍角公式进行求值、化简等三角运算。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中,除了倍角公式外,也离不开前面所学的同角三 角函数关系、诱导公式以及和角公式等,它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分 析条件与求解目标之间的差异,选择恰当的公式进行转化沟通,然后明确解题思路,设计解 题步骤,完善解答过程,培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解,使我们学会数学思考与推理,训练发散性思维,培养创造新意 识,提高数学素养。

4、以公式特殊情形

化简为切入点

以学生探索、推导、应用

为主线 板书设计:

以学生发展能力为目的


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