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高二数学排列组合二项式定理单元测试题(带答案)


排列、组合、二项式定理与概率测试题(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、如图所示的是 2008 年北京奥运会的会徽,其中的“中国印”的外边是
由四个色块构成,可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意 两个色块连接起来(如同架桥), 如果用三条线段将这四个色块连接起来, 不同的连接方法共有 ( A. 8 种 B. 12 种 ) C. 16 种 D. 20 种

2、从 6 名志愿者中选出 4 个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有( ) A.96 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种

3、五种不同的商品在货架上排成一排,其中 a、b 两种必须排在一起,而 c、d 两种不能 排在一起,则 不同的选排方法共有( ) A.12 种 B.20 种 C.24 种 D.48 种

4、编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中有且只 有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A . 10 种 B. 20 种 C. 30 种 D . 60 种 5、 a、 m 为整数 设 b、 (m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同, 则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod
m)。已知 a=1+C 1 +C 2 · 3 ·2+…+C 20 ·19,b≡a(mod 10),则 b 的值可以是( 2 20 20 2+C 20 2 20 A.2015 B.2011 C.2008 D.2006 )

6、在一次足球预选赛中,某小组共有 5 个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场),已知 胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.积分多的前两名可出线(积分相等则要比 净胜球数或进球总数).赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为( ) A.22 种 B.23 种 C.24 种
1 an

D.25 种

7、令 a n 为 (1 ? x ) n ? 1 的展开式中含 x n ?1 项的系数,则数列 {
A.
n ( n ? 3) 2

} 的前 n 项和为
2n n ?1





B.

n ( n ? 1) 2
2

C.
5

n n ?1
0

D. )

8、若 ( x ? 1) 5

? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ... ? a 5 ( x ? 1)

,则 a = (

A.32

B.1
n 3

C.-1

D.-32 )

9、二项式 ? 3 x 2 ?
?

?

2 ? * ? ( n ? N ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 ( x ?

A 5

B 6

C7

D8

10、四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,则不同的取法共有 ( ) A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.141 种

11、两位到北京旅游的外国游客要与 2008 奥运会的吉祥物福娃(5 个)合影留念,要求排成 一排,两位游客相邻且不排在两端,则不同的排法共有 ( ) A.1440 B.960 C.720 D.480 12、若 x∈A 则
1 x

∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, ) D.25

1 3



1 2

,1,2,3,4}

的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( A.15 B.16 C.28

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.四封信投入 3 个不同的信箱,其不同的投信方法有_________种. 14、在 ( x 2 ? 1)( x ? 2 ) 7 的展开式中 x3 的系数是


1 15、已知数列{ a n }的通项公式为 a n ? 2 n ?1 ? 1 ,则 a 1C n0 + a 2 C n + a 3C

3 n

? ? + a n ? 1C

n n

=

16、对于任意正整数,定义“n 的双阶乘 n!!”如下:对于 n 是偶数时, n!!=n· (n-2)· (n-4)……6×4×2;对于 n 是奇数时,n!!=n· (n-2)· (n-4)……5×3×1. 现有如下四个命题:①(2005!!)· (2006!!)=2006!;②2006!!=21003· 1003!;③2006!!的个位数是 0;④2005!!的个位数是 5.正确的命题是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,前 5 小题每小题 12 分,最后 1 小题 14 分,共 74 分.解答 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17、某学习小组有 8 个同学,从男生中选 2 人,女生中选 1 人参加数学、物理、化学三种 竞赛,要求每科均有 1 人参加,共有 180 种不同的选法.那么该小组中男、女同学各有多 少人?

18、设 m,n∈Z+,m、n≥1,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 的展开式中,x 的系数为 19. (1)求 f(x)展开式中 x2 的系数的最值; (2)对于使 f(x)中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值,求 x7 的系数.

19、7 位同学站成一排.问: (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? (3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?

20、已知 ( x ?
2

1 x

)

n

的展开式中前三项的系数成等差数列. (Ⅱ)求展开式中系数最大的项.

(Ⅰ)求 n 的值;

21、由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?

(3)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个?

22、规定

=x(x-1)…(x-m+1),其中 x∈R,m 为正整数,且

=1,这是排列数

(n,

m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.

(1)求

的值;

(2)排列数的两个性质:① 数)是否都能推广到

,②

.(其中 m,n 是正整

(x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证

明;若不能,则说明理由.

参考答案 1、C 2、C 3、C 4、B 5、 B 6、C
1 2
1

7、 D 8、 A 9、 C 10、D 11、B
1 3
2 3 4

12、A 具有伙伴关系的元素组有-1,1,

、2,

、3 共四组,它们中任一组、二组、三

组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为 C 4 + C 4 + C 4 + C 4 =15, 选 A.

13、34

14、1008

15、 2 n ? 3 n

16、①②③④

点拨:(2005!!)×(2006!!)

17、解:

设男生有 x 人,则女生有 8-x 人,依题意,





(8-x)·6=180,x3-9x2+8x+60=0,

x3-5x2-(4x2-20x)-(12x-60)=0, (x-5)(x2-4x-12)=0, ∴x1=5,x2=6,x3=-2(舍去). ∴男生 5 人,女生 3 人;或男生 6 人,女生 2 人.

18、解:

=19,即 m+n=19.∴m=19-n

(1)设 x2 的系数为 T=

=n2-19n+171 =(n-

)2+171-



∵n∈Z+,n≥1, ∴当 n=1 或 n=18 时,Tmax=153,当 n=9 或 10 时,Tmin=81; (2)对于使 f(x)中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值,

即 f(x)=(1+x)9+(1+x)10 19、

从而 x7 的系数为



(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学) 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 种. 种方法.所以

一起进行全排列有 这样的排法一共有

(2)方法同上,一共有

种.

(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不 能站在排头和排尾, 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾, 有 方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 排列有 种

种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行 种方法.

种方法.所以这样的排法一共有

(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一 起看成一个元素时.一共有 2 个元素,∴一共有排法种数:
1 4 1 2

(种).

20、解: (Ⅰ)由题设,得
(舍去) .

Cn ?
0

? Cn ? 2 ?
2

? Cn
1

, 即 n 2 ? 9 n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1

(Ⅱ)设第 r+1

1 ? 1 r r ?1 ? 2 r C 8 ≥ 2 r ?1 C 8 , ? 的系数最大,则 ? ? 1 C r ≥ 1 C r ?1 . 8 r ?1 ? 2r 8 ? 2
9

1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2 ( r ? 1) , ? 即? 解得 ? 1 ≥ 1 . ? 9 ?1 ? 2r

r=2 或 r

=3.所以系数最大的项为 T3

? 7x

5

, T4 ? 7 x 2 .

1 3 3 1 1 2 3 1 2 1 21、解: (1) A 5 ?A 5 ? 3 0 0 (2) A 5 ? A 2 A 4 A 4 ? 1 5 6 (3) A 5 ? A 4 A 4 ? A 3 ? 1 ? 112

22、(1)

=(-15)(-16)(-17)=-4080; (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是:



,②

(x∈R,m∈N+)

事实上,在①中,当 m=1 时,左边=

=x,右边=

=x,等式成立;

当 m≥2 时,左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1) =x[(x-1)(x-2)…((x-1)-(m-1)+ 1)]= 因此,① 成立; 在②中,m=1 时,左边= =

右边,等式成立;

当 m≥2 时,左边

=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-m+2) =x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m] =(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]

=

=右边, 因此②

(x∈R,m∈N+)成立.


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