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高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理名师点拨课件 北师大版选修1-2


1.归纳是依据特殊现象推断一般现象, 因而,由归纳所得的结论超越了前提所 包容的范围. ? 2 .归纳是依据若干已知的、没有穷尽的 现象推断尚属未知的现象,因而结论具 有猜测的性质. ? ? 3.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳 是立足于观察、经验或实验的基础上 的. ? 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的, 但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识 功能,对于科学的发

现是十分有用的.观 察、实验,对有限的资料作归纳整理,提 出带有规律性的说法,正是科学研究的最 基本的方法之一. 1 .完全归纳推理:由某类事物的全部对 象推出结论,显然该结论一定正确. ? 2 .不完全归纳推理:由某类事物的部分 对象推出结论,该结论不一定正确. ? ? 第一步:观察、分析所有特殊情况的共 性,如图形中的点、线的个数、位置关 系,数列中数的变化规律,一系列式子 中共同的运算特点等等. ? 第二步:将第一步中观察到的共性进行推 广,形成一般化的结论使之能够涵盖所有, 如图形的结构或变化的规律,数列的通项 公式,式子的运算结果等等. ◎设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1), f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同时作出 归纳推理,并判断猜想是否正确. ? 【错解】 f(1)=12+1+41=43, ? f(2)=22+2+41=47, ? f(3)=32+3+41=53, ? f(4)=42+4+41=61, ? f(5)=52+5+41=71, ? f(6)=62+6+41=83, ? ? ? ? ? ? ? f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151, 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数. 由此可得,当n取任何非负整数时.f(n)=n2+n + 41 的 值 都 是 质 数 . 由 此 可 判 断 猜 想 是 正 确 的. ? 【错因】 错误在于最后对结论的判断,因为归 纳推理是一种具有创造性的推理,结论具有猜测 性质,不一定正确.结论是否正确,还需要经过 逻辑证明和实践检验. ? ? ? ? ? ? 【正解】 f(1) = 12 + 1 + 41 = 43 , f(2) = 22 + 2 + 41 = 47 , f(3) = 32 + 3 + 41 = 53 , f(4) = 42 + 4 + 41 = 61 , f(5) = 52 + 5 + 41 = 71 , f(6) = 62 + 6 + 41 = 83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8=41=113, f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,151都为质数, ∴归纳猜想:当 n∈N* 时, f(n) = n2 + n + 41 的值 都为质数. ∵n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+ 41=41×41. ∴f(40)是合数, 因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.

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