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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i) 4 ? (1 ? i) 4 ? .

2. 已知直线 x ? m y ? 1 ? 0 是圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数
m ?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) .
1 5

4. 已知 cos 4 ?

?

,则 sin 4 ? ? co s 4 ? ?



5. 已知向量 a,b 满足

a ? b ? 2, ? a , b ? ?

π 3

,则以向量 2 a .

?b

与 3a

?b

表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .

7. 设函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 a n ? n 2 , n ? N * , 则 f [ f ( 2 0 1 1)] ? .



9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 是 .
10 ? x ? m ? 10 ? 0

有整数解,则 m 所有可能的值

第 1 页

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f ( x ) ? x 2 ? b x ? c ( b , c ? R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x ) 在区间 ? 2, 3 ? 上的最大值 为 1,求 b 2 ? c 2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? A B C 内一点. (1)若 P 是 ? A B C 的内心,证明: ? B P C (2)若 ? B P C
? 90 ?
?

? 90 ?
?

?

1 2

?BAC



1 2

?BAC

且 ?APC

? 90 ?

1 2

?ABC

,证明:P 是 ? A B C 的内心.

A

P

B

C

第 2 页

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 证明:存在无穷多个正整数 n,使得

n0 ? ?

为正有理数.

n??

为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i) 4 ? (1 ? i) 4 ? 答案:-8 基础题,送分题,高考难度 2. 已知直线 x ? m y ? 1 ? 0 是圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数
m ?



.
3 2

答案: ?

基础题,送分题,高考难度 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) . 答案:
19 145

基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否则很容易有错 4. 已知 cos 4 ? 答案:
4 5 ? 1 5

,则 sin 4 ? ? co s 4 ? ?



计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度 5. 已知向量 a,b 满足
a ? b ? 2, ? a , b ? ? π 3

,则以向量 2 a .

?b

与 3a

?b

表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10
3

第 3 页

可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 答案:
1 7 (8 ? 4 8)
n

高考难度级别,基础好的同学可以做出来 7. 设函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 这是一道高考题 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 a n ? n 2 , n ? N * , 则 f [ f ( 2 0 1 1)] ? . .

答案:6 这也是一道高考题 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 答案:4 3 还是一道高考题 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m
10 ? x ? m ? 10 ? 0

有整数解,则 m 所有可能的值

是 . 答案:3,14,30 这是 2011 年苏州市一模的第十四题。 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程, 得 h ? sin ? ? co s 2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? ) 2 ?
2 1 5 4

因为 sin ? ? ? ? 1,1? ,所以 h ? ? ?
?

?

5 4

? ,1 ? ?

简单,很简单 12.设 f ( x ) ? x 2 ? b x ? c ( b , c ? R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x ) 在区间 ? 2, 3 ? 上的最大值 为 1,求 b 2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x ) 在区间 ? 2, 3 ? 上的最大值只能在闭端点取 得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥

?5

且c

? ? 3b ? 8 .

第 4 页

若 f ( x ) ? 0 有实根,则 ? ? b 2 ? 4 c ≥ 0 ,
? ? f ( ? 2 ) ≥ 0, ? 4 ? 2 b ? c ≥ 0, ? ? 在区间 ? ? 2, 2 ? 有 ? f (2 ) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2 b ? c ≥ 0, ? ? 4 ≤ b ≤ 4, ? b ? ? ? 2 ≤ ≤ 2, ? 2

消去

4 ? ?b ≤ ? 5 , ? c,解出 ? b ≤ ? 4, ? ? 4 ≤ b ≤ 4, ? ?

即 b ? ? 4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x ) ? 0 无实根,则 ? ? b 2 ? 4 c ? 0 ,将 c 综上 ? 5 ≤ b ≤ ? 4 . 所以 b 2 ? c 2 ? b 2 ? ( ? 3 b ? 8) 2 ? 10 b 2 ? 48 b ? 64 ,单调递减 故 ( b 2 ? c 2 ) m in ? 32, ( b 2 ? c 2 ) m ax ? 74 . 注重分类讨论 13.如图,P 是 ? A B C 内一点. (1)若 P 是 ? A B C 的内心,证明: ? B P C (2)若 ? B P C
? 90 ?
?

? ? 3 b ? 8 代入解得 ? 8 ? b ? ? 4



? 90 ?
?

?

1 2

?BAC



1 2

?BAC

且 ?APC

? 90 ?

1 2

?ABC
?

,证明:P 是 ? A B C 的内心.
(1 8 0 ? ? B A C ) ? 9 0 ?
? ?

证明: (1) ? B P C ? 1 8 0 ? ?

1 2

(? A B C ? ? A C B ) ? 1 8 0 ?

1 2

1 2

?BAC

A

P

B

C

第 5 页

这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的平面几何的参考书上都有 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 证明:设
n0 ? ? ? q p
n0 ? ?

为正有理数.

n??

为有理数.
?? ? q p
2 2

,其中 p,q 为互质的正整数,则 n 0



设 k 为任意的正整数,构造 n ? p 2 k 2 ? 2 q k ? n 0 , 则 n?? ?
p k ? 2 q k ? n0 ? ? ?
2 2

p k ? 2qk ?
2 2

q p

2 2

? pk ?

q p

?Q



非常非常常规的一道数论题,不需要数论的预备知识 总结:这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来,出线并不算太难,只要平 时基础好,不粗心,填空题应该可以做满分(笔者错了一个) ,对于没有进行过竞赛辅导的 同学来说,大题的 1、2 两题还是可以做做的。 尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定要写写,写写总是有份的,而且分很多。比 如最后一题,只要把他设出来,就有 8 分。

第 6 页


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