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云南师大附中2015届高考适应性月考卷(二)理科数学-答案


云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(二) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.由 A ? {0, 2} , B ? {0, 1, 2} ,所以 A
B ? {0, 2} ,故选 C.

1 C

2

A

3 D

4 D

5 C

6 B

7 B

8 C

9 A

10 C

11 D

12 B

2.由 z ? i 4 ? i 2015 ? 1 ? i ,则 z ? 1 ? i ,其对应点为 (1, 1) ,在第一象限,故选 A. 3.由 {an } 为等差数列,故而 a6 ?

a3 ? a9 ? 6 ,又 S11 ? 11a6 ? 66 ,故选 D. 2

?k ? 1, ?k ? 3, ?k ? 5, ? ? ? 4.框图的运行如下: 第一步 ? 第二步 第三步 π π π π π 2π ? ? S ? cos ; S ? cos cos ; S ? cos cos cos . ? ? ? 6 3 6 6 3 3 ? ? ?

π π 2π 第 三 步 结 束 跳 出 循 环 , 即 最 后 输 出 的 S ? cos cos cos , 又 由 6 3 3
π S ?c o s 6 π 2π 3 c o s c ? o? s ,故选 D. 3 3 8

5.①错,因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面; ②错,因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面; ③错,因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面; ④对,直线 m 、 n 的方向向量分别是两互相垂直平面 ? 、 ? 的法向量,故而 m ? n ,所以 有 3 个命题是假命题,故选 C. 6.如图 1 所示,由椭圆的第一定义知, PF1 ? PF2 ? 14 , 又有 PF1 ? PF2 ? 2 ,故而 PF1 ? 8 , PF2 ? 6 ,而

F1F2 ? 2 49 ? 24 ? 10 ,所以 PF1 ? PF2 ? F1F2 ,
故 △PF1 F2 为 Rt△ ,则 S△PF1F2 ? 故选 B. 7.由于 A1 、 A2 串联,故其能通过电流的概率为 0.81, 则 A1 、 A2 不能通过电流的概率为 1 ? 0.81 ? 0.19 ,
图2

2

2

2

1 PF1 ? PF2 ? 24 , 2

图1

理科数学参考答案·第 1 页(共 8 页)

由 A1 、 A2 串联后与 A3 并联,如图 2,故 A, B 之 间能通过电流的概率为 1 ? (1 ? 0.81)(1 ? 0.9) ? 0.981 ,又由于电路再与 A4 串联,故而电流能 在 M , N 之间通过的概率是 0.981 ? 0.9 ? 0.8829 ,故选 B. 8.由双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点重合,则 c ? 5 ,由 a 2 b2

b 点到线的距离公式可知焦点 (c, 0) 到双曲线渐近线 y ? ? x 的距离 d ? b ,所以 b ? 4 ,故 a

5 而 a ? c2 ? b2 ? 3 ,故其离心率 e ? ,故选 C. 3
9.由题意知, B ? 2n ,令 x ? 1 ,则 4n ? A ,故而 4n ? 2 n ? A ? B ? 72 , 解之得: n ? 3 ,故选 A. 10.由题意可知该三棱锥为如图 3 所示的边长为 1 的正方体中以 A, B, C, D 为顶点的正四面体,故而其体积 V ?
2 1 ( 2)3 ? ,故选 C. 12 3
图3

11 . 由 ( xf ( x))? ? xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则 函 数 xf ( x ) 为 R 上 的 增 函 数 . 由 于 0 ? a ? b ? 1 , 则
ab ? a0 ? 1 ,ba ? b0 ? 1 ,log a b ? log a a ? 1 , o g ba? l o g 而l
b

b 1? , 则 logb a ? f (logb a) 最大,

故选 D.
? π? 12.必要条件,若 △ ABC 是锐角三角形,则 A, B, C ? ? 0, ? ,tan A ? 0, tan B ? 0, tan C ? 0 , ? 2?

所以 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,必要性成立; 充分条件,由 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,即 tan A, tan B, tan C 有意义, △ ABC 不是直角三 角形. 又在 △ ABC 中, 由 A? B?C ? π, 得:A ? B ? π ? C , 所以 tan( A ? B) ? tan( π ? C ) ?

tan A ? tan B 由 tan A ? tan B ? tan C ? 0 , ?? tanC ? tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C , 1 ? tan A tan B
则 tan A tan B tan C ? 0 ,所以 △ ABC 是锐角三角形,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 13 14 15 16

理科数学参考答案·第 2 页(共 8 页)

答案 【解析】

2

4 5

9000

1

13.由 2a ? b ? 2 3 ,得 (2a ? b)2 ? 12 ,即 4(a)2 ? 4a ? b ? (b)2 ? 12 ,
2 1 所以 4 ? 4 ? 1? b ? ? b ? 12 ,解得 b ? 2 . 2

14. x, y 满足的线性区域如图 4 阴影部分所示,

x2 ? y2 ? ( ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 )2 ,由两点间距离公式知,
x2 ? y 2 的最小值的几何意义是点 (0, 0) 到阴影区域

中点的最小距离的平方,如图可知点 (0, 0) 到阴影区域 的最小距离为点 (0, 0) 到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d, 故d ?
2?0 ? 0 ? 2 5 ? 2

4 ? 2 ? ,所以 ( x 2 ? y 2 )min ? ? ? ? . 5 5 ? 5?

2

图4

15.经观察可知,由两位的“和谐数”有 9 个,而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增 加 0 至 9 中任意一个数,故而三位的“和谐数”有 9 ? 10 ? 90 个,而四位的“和谐数”相 当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次,则四位的“和谐数”有 90 个;同理, 五位的“和谐数”有 90 ? 10 ? 900 个,六位的“和谐数”有 900 个,七位的“和谐数”有
900 ? 10 ? 9000 个,八位的“和谐数”有 9000 个.

16.记三个球心分别是 O1 , O2 , O3 ,球 I 与桌面的切点为 O , 反过来看图,由题意可知:三棱锥 IO1O2O3 是以 I 为顶点
O1O2O3 为底面的正三棱锥,三棱锥 OO1O2O3 是以 O 为顶点 O1O2O3 为底面的正三棱锥. 如图 5 所示,记 A 为底面 O1O2O3
图5

的中心,则 OIA 三点共线且 OA 垂直底面 O1O2O3 ,由题意知 O1O2 ? 6 ,
OA ? 3 , O1 A ? 2 3 ,设球 I 的半径为 r ,则 AI ? 3 ? r ,

IO1 ? 3 ? r ,有 ( AO1 )2 ? ( AI )2 ? ( IO1 )2 ,即 (3 ? r )2 ? (3 ? r )2 ? 12 ,

解得 r ? 1,所以球 I 的半径为 1. 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

理科数学参考答案·第 3 页(共 8 页)

证明: (Ⅰ)由 an ? 2an?1 ? 1(n ≥ 2) ,知 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)(n ≥ 2) , 所以 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 为首项,2 为公比的等比数列, 故而 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2 n?1 ,即 an ? 1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? log2 (a2n?1 ? 1) ? 2n ? 1 ,
cn ? 1 1 ? ? b ? 1 4n ( n ? 1)
2 n

????????(6 分)

1 1? ? 1 ? ? ?, n ? 1 ?4 n ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 所以 Sn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4 ?? 2 ? ? 2 3?

1 ?? 1 ? 1 ? 1 ?1 ?? ? ? ? ? ?1 ? ?? . n n ? 1 4 n ?1? 4 ? ?? ?

?????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 6,取 BC 的中点 O , 因为 △ PBC 为等边三角形,所以 PO ? BC , 又因为侧面 PBC ? 底面 ABCD,所以 PO ? 平面 ABCD , 如图 6,以 O 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,直线 OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1, ? 2, 0) , B(1, 0, 0) , D(?1, ? 1, 0) , P(0, 0,
图6

3) ,

所以 BD ? (?2, ? 1, 0) , PA ? (1, ? 2, ? 3) , BD ? PA ? 0 , 则 BD ? PA , 即B D ? P A . ????????????????????? (6 分)

(Ⅱ)解:因为 PF ? ? PA , PA ? (1, ? 2, ? 3) ,所以 PF ? (?, ? 2?, ? 3? ) , 又 DP ? (1, 1,

3) ,所以 DF ? DP ? PF ? (1 ? ?, 1 ? 2?,

3(1 ? ? )) ,

又平面 ABCD 的一个法向量 n ? (0, 0, 1) ,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30 ? .
sin 30? ? DF ? n DF n

,所以

3(1 ? ? ) (1 ? ? ) ? (1 ? 2? ) ? 3(1 ? ? )
2 2 2

?

1 , 2

所以 4? 2 ? 16? ? 7 ? 0 ,则 ? ? 当? ?

1 7 或 ? ? (舍). 2 2
?????????? (12 分)

1 时, 直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30 ? . 2

19. (本小题满分 12 分)

1 解: (Ⅰ)由甲同学 3 次测试每次合格的概率组成一个公差为 的等差数列, 8
理科数学参考答案·第 4 页(共 8 页)

又甲同学第一次参加测试就合格的概率为 P,

1 1 故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是 P ? 、 P ? , 8 4
1? 9 1 5 ? 由题意知, (1 ? P ) ? P ? ? ? ,解得 P ? 或 P ? (舍) , 8 ? 32 4 8 ?

所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为

1 . 4

???????????? (4 分)

3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是 、 , 2 8
由题意知, ? 的可能取值为 2, 3, 4, 5, 6 ,由题意可知

1 2 1 P(? ? 2) ? P(m ? 1, n ? 1) ? ? ? , 4 3 6
P(? ? 3) ? P(m ? 1, n ? 2) ? P(m ? 2, n ? 1) ? 1 ? 1 2 ? ? 3 3 ? 2 35 ?? ? ? ? ? ? ?? ? , 4 ? 3 3 ? ? 4 8 ? 3 144

P(? ? 4) ? P(m ? 1, n ? 3) ? P(m ? 2, n ? 2) ? P(m ? 3, n ? 1)

1 ? 1 1 ? ? 3 3 ?? 1 2 ? ? 3 5 ? 2 58 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 3 3 ? ? 4 8 ?? 3 3 ? ? 4 8 ? 3 144 , ? 3 3 ? ? 1 1 ? ? 3 5 ? ? 1 2 ? 13 P(? ? 5) ? P(m ? 2, n ? 3) ? P(m ? 3, n ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 4 8 ? ? 3 3 ? ? 4 8 ? ? 3 3 ? 96

? 3 5? ?1 1? 5 P(? ? 6) ? P(m ? 3, n ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 4 8 ? ? 3 3 ? 96

所以 ? 的分布列为:

?

P

2 1 6

3

35 144

4 58 144

5

6

13 96

5 96

??????????????????????????(12 分) 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F2 ( 3, 0) ,故可设椭圆的方程为
2 ? ? y ? 4 3x, 解方程组 ? 解得 C( 3, 2 3) , D( 3, ? 2 3) , ? ? x ? 3,

x2 y2 ? ?1 , b2 ? 3 b2

理科数学参考答案·第 5 页(共 8 页)

由抛物线与椭圆的对称性,可得:

F2C F2 S

?

CD ST

? 4 3 ,所以 F2 S ?

1? 1 ? ,所以 S ? 3, ? . 2? 2 ?

1 3 ? 4 ? 1 ,解得 b 2 ? 1 ,故而 a 2 ? 4 , 因此 2 b ? 3 b2

所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

???????????????????? (4 分)

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设其为 k . ①当 k ? 0 时, OA ? OB ? 0 ? tOP ,所以 t ? 0 ; ②当 k ? 0 时,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,
? x2 2 ? ? y ? 1, 联立 ? 4 消去 y 并整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0 , ? y ? k ( x ? 3), ?

1 由Δ ? (24k 2 )2 ? 4(1 ? 4k 2 )(36k 2 ? 4) ? 0 ,得 0 ? k 2 ? , 5
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,则 x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 . , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

因为 OA ? OB ? tOP ,所以 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x0 , y0 ) ,
1 24k 2 所以 x0 ? ( x1 ? x2 ) ? , t t (1 ? 4k 2 )
1 1 ?6k y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 6k ] ? . t t t (1 ? 4k 2 )

? 24k 2 ? ? ?6k ? 因为点 P 在椭圆上,所以 ? ? 4? ? 4, 2 ? 2 ? ? t (1 ? 4k ) ? ? t (1 ? 4k ) ?
解得 t 2 ?

2

2

36k 2 9 , ?9? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

1 由于 0 ? k 2 ? ,故而 0 ? t 2 ? 4 ,所以 t ? (?2, 0) (0, 2) , 5
综合①②可知, t ? (?2, 2) . ????????????????????(12 分) 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由题意知, f ?( x) ? ln x ? 2( x ? 0) ,所以 F ( x) ? ax2 ? ln x ? 2( x ? 0) ,

? F ?( x )? 2 ax ?

1 2 ax2 ? 1 ? x(? x x

. 0 )

理科数学参考答案·第 6 页(共 8 页)

①当 a ≥ 0 时,恒有 F ?( x) ? 0 ,故 F ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,得 2ax 2 ? 1 ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 令 F ?( x) ? 0 ,得 2ax 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?
1 . 2a 1 , 2a

综上所述,当 a ≥ 0 时, F ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增;

? 当 a ? 0 时, F ( x) 在 ? ? 0, ?

?

? ? 1 ? 1 上单调递增;在 ? ? , ? ?? ? ? ? ? 上单调递减. 2a ? 2a ? ?

??????????????????????????? (5 分) (Ⅱ)证明:由题意知, k ?
f ?( x2 ) ? f ?( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? , x2 ? x1 x2 ? x1

x2 ?1 x2 ? x1 x1 x 1 ? x2 ? 1 ? ? 2, 要证 x1 ? ? x2 ,即要证 x1 ? x ln x2 ? ln x1 x1 k ln 2 x1



x2 t ?1 ? t ? 1 ,则只需要证明 1 ? ? t ,由 ln t ?0 ,即等价证明: ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1) . x1 ln t

1 ①设 g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ≥1) ,则 g ?(t ) ? 1 ? ≥ 0(t ≥1) ,故而 g (t ) 在 [1, ? ?) 上单调递增, t
而当 t ? 1 时, g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0 ,即 ln t ? t ? 1(t ? 1) ; ②设 h(t ) ? t ln t ? (t ? 1)(t ≥1) ,则 h?(t ) ? ln t ≥ 0(t ≥1) ,故而 h (t ) 在 [1, ? ?) 上单调递增, 而当 t ? 1 时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0(t ? 1) ,即 t ? 1 ? t ln t (t ? 1) . 综上①②知,ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1) 成立, 即 x1 ?

1 ? x2 . k

??????? (12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 7,连接 DG,AB, ∵AD 为⊙ M 的直径, ∴ ?ABD ? ?AGD ? 90? , 在⊙O 中, ?ABC ? ?AEC ? ?ABD ? 90? , ∴AC 为⊙O 的直径.
图7

?????????????????????? (5 分)

(Ⅱ)∵ ?AEC ? 90? ,∴ ?CEF ? 90? , ∵点 G 为弧 BD 的中点,∴ ?BAG ? ?GAD ,
理科数学参考答案·第 7 页(共 8 页)

在⊙O 中, ?BAE ? ?ECB ,∴ △ AGD ∽△CEF , ∴ AG ? EF ? CE ? GD . ?????????????????????? (10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? x ? ? cos ? , 解: (Ⅰ)由 ? 故而 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2ax. y ? ? sin ? , ?

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 .

????????????????? (4 分)

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)由题意可知直线 l 的标准参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
代入 y 2 ? 2ax 得到 t 2 ? 2 2(4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a), t1 ? t2 ? 8(4 ? a) , 由 ? ? 8(4 ? a)2 ? 4 ? 8(4 ? a) ? 0 ,即 a ? 0 或 a ? ?4 .

2 t, 2 ( t 为参数) , 2 t, 2

因为 | MN |2 ?| PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 , 解得 a ? 1 或 a ? ?4 (舍) , 所以 a ? 1 . ???????????????????????? (10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 证明: (Ⅰ)因为 m ? 0, n ? 0 , 则 m2 ? n4 ≥ 2mn 2 , m4 ? n2 ≥ 2m2 n , 所以 (m2 ? n4 )(m4 ? n2 ) ≥ 4m3n3 , 当且仅当 m ? n ? 1 时, 取等号. ???????????????? (5 分)

(Ⅱ)由柯西不等式知: (a2 ? b2 )(m2 ? n2 ) ≥ (am ? bn)2 , 即 5(m2 ? n2 ) ≥ (5)2 ,所以 m2 ? n 2 ≥ 5 , 当且仅当

a b ? 时取等号. m n

???????????????? (10 分)

理科数学参考答案·第 8 页(共 8 页)


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