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2005年全国高中数学联赛试题及详细解析


说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准规定的评分档次给分,不要再 增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。
[来源:21 世纪教育网

]

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

2. 空间四点 A、 C、 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD B、 D 的取值( ) A.只有一个

B.有二个

C.有四个

D.有无穷多个

6.记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? {

a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中的元素 7 7 2 73 7 4

按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是(



5 5 6 3 A. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7

5 5 6 2 B. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 将 关 于 x 的 多 项 式 f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x19 ? x 20 表 为 关 于 y 的 多 项 式

g ( y) ?

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a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 ,
a0 ? a1 ? ? ? a20 ?
.





y ? x ? 4.



8.已知 f (x) 是定义在 (0,??) 上的减函数, f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成 立, 若 则 a 的取值范围是 。

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到 大排成一列 a1 , a2 , a3 ,?, 若 a n ? 2005 则 a5 n ? , 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?
2 7an ? 45an ? 36

.

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2

, n ? N.

证明:(1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。 14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上 各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放 法的概率.(注:如果某种 放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同 的放法)

15.过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ?2 , EC FC

且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案

二、(本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ? 三、(本题满分 50 分)

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:

? f (k ) 的值.
k ?1

240

2005 年全国高中数学联赛解答

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代 表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 B. 3 C. )

6? 3

D. 6

2. 空间四点 A、 C、 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD B、 D 的取值( ) A.只有一个 【答案】A

B.有二个

C.有四个

D.有无穷多个

【 解 析 】 注 意 到 32 ? 112 ? 1130? 7 2 ? 9 2 , 由 于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则

?

DA2 ? DA =

2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB2 ? BC2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ?
BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB ) ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
2

BC) ? (BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD2 ? BC2 ? AB2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值得
0,故选 A。 3.?ABC 内接于单位圆, 三个内角 A、 C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 、B1 、C1 。 B、

AA1 ? cos


A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sin B ? sin C
B.4 C.6

) D.8

A.2 【答案 】A

【解析】如图,连 BA1 ,则 AA1 ? 2sin( B ?

A A? B ?C B C ) ? 2sin( ? ? ) 2 2 2 2

? 2 cos(

B C ? ). 2 2

[21 世纪教育网]

? AA1 cos

A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

5.方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(
B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 【答案】C 【 解





? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

?
2

? 2 ? 3?

?
2

?

?
2

,? cos(

?

? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 2 2

?

sin 2 ? sin 3.
又 0?

2?

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 方 程 2 2

表示的曲线是椭圆。

? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin

2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ??(?) 2 2 4

2? 3 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? 2 2 2 2 2? 3 ? ? sin( ? ) ? 0,? (?)式 ? 0. 2 4 ? ?

?

2 ? 3 3? 3? ? ,? ? 2 4 4

2? 3 ? ? ? ?. 2 4

即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 将 关 于 x 的 多 项 式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x 20 表 为 关 于 y 的 多 项 式

g ( y) ?

a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 , 其中 y ? x ? 4. 则 a0 ? a1 ? ? ? a20 ?
5 21 ? 1 【答案】 6

.

【解析】由题设知, f (x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等 比数列的求和公式, 得:f ( x) ?

(? x) 21 ? 1 x 21 ? 1 ( y ? 4) 21 ? 1 ? . 令 x ? y ? 4, 得 g ( y) ? , ? x ?1 x ?1 y?5

取 y ? 1, 有 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

5 21 ? 1 . 6

9. 设

? 、 ? 、 ?

满 足

0 ? ? ? ? ? ? ? 2?

, 若 对 于 任 意

x ? R, cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ?
【答案】 。

4? . 3

【解析】设 f ( x) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ), 由 x ? R , f ( x) ? 0 知,

f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1. ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?
1 2? 4? ? . ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? { , }, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 3 3 2? 4? ? ? ? . 只有 ? ? ? ? ? ? ? ? .?? ? ? ? . 3 3

10. 如 图 , 四 面 体 DABC 的 体 积 为

1 AC , 且 满 足 ?ACB ? 45?, AD ? BC ? ? 3, 则 6 2

CD ?

.

【答案】 3 【解析】?

1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45?) ? VDABC ? , 3 2 6



AD ? BC ?

AC 2

? 1.



3 ? AD ? BC ?

AC 2

? 3 AD ? BC ?
AC 2

AC 2

? 3,

等号当且仅当 AD ? BC ?

? 1 时成立,这时 AB ? 1, AD ? 面 ABC,? DC ? 3 .

2 11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线 y ? x 上.

则该正方形面积的最小值为 【答案】80

.

【解析】设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与抛物线方程
联立,得 x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1. 令正方形边长为 a, 则 a ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 5( x1 ? x2 ) ? 20(b ? 1). ①
2 2 2 2

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5),它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ? ②. ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a ? 80, 或 a ? 1280 ? amin ? 80. .
2 2 2

| 17 ? b | 5

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?
2 7an ? 45an ? 36

2

, n ? N.

【解析】证明:(1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对 任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全 平方数。 证 明 : ( 1 ) 由 题 设 得 a1 ? 5, 且 {an } 严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得
2 2 2 2a n ?1 ? 7a n ? 45a n ? 36 , 两边平方整理得 an?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0 ①

2 2 ? an ? 7an?1an ? an?1 ? 9 ? 0 ②

①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,? an?1 ? an ,?an?1 ? an?1 ? 7an ? 0 ?

an?1 ? 7an ? ab?1 . ③
由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , an 为正整数.

14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上 各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放 法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同 的放法) 【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不 同元素在圆周上的一个圆形排列, 故共有 8! 种放法, 考虑到翻转因素, 则本质不同的放法有

8! 种. ? 2

5分 下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一 条路径,设 x1 , x2 ,?, xk 是依次排列于这段弧上的小球号码,则

| 1 ? x1 | ? | x1 ? x2 | ??? || xk ? 9 |?| (1 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( xk ? 9) |?| 1 ? 9 |? 8.
上式取等号当且仅当 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xk ? 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递 增排列. 因此 S 最小 ? 2 ? 8 ? 16 . 由上知, 当每个弧段上的球号 {1, x1 , x2 ,? xk ,9} 确定之后, 达到最小值的排序方案便唯 一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元
0 1 2 3 素较少的一个子集共有 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 26 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达

到最小的唯一排法,即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P ?
6

26 1 ? . 8! 315 2

15.过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于
2

B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ?2 , EC FC

且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的 轨迹方程.

当 x0 ?

1 1 3 1 1 3 1 时,EF 方程为: ? y ? ( ? 2 ? ?1 ? 3) x ? ? ? 2 , CD 方程为: x ? ,联 2 2 2 4 4 2 4

1 ? ? ?x ? 2 , ? 2 ? ? 立解得 ? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? ? 12 ? ?
∴所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). 3 3

解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. 令? ?

1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2
? P 是 ?ABC 的重心.

2 设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2 2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x0 1 2 ? , ( x ? ), y ? ? , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

x?

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). 3 3

2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案 一、(本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为 半径作圆分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(2)再证 DF 过 △ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(

1 1 ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. 2 2

I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、(本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )=

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? 的最小值. 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC

令 u ? cot A, v ? cot B, w ? cot C, 则 u, v, w ? R ? , uv ? vw ? wu ? 1, 且 u 2 ? 1 ? (u ? v)(u ? w), v 2 ? 1 ? (u ? v)(v ? w), w2 ? 1 ? (u ? w)(v ? w).

cos A ? ? 1 ? cos A

2

1?

u2 u2 ?1 u u2 ?1
u3 u2 ?1

?

u2 u 2 ? 1( u 2 ? 1 ? u )

?

u 2 ( u 2 ? 1 ? u) u2 ?1

? u2 ?

u2 ?

u3 (u ? v)( u ? w)

? u2 ?

u3 1 1 ( ? ), 2 u?v u?w

cos2 B v3 1 1 cos2 C w3 1 1 2 2 ?v ? ( ? ), ?w ? ( ? ). 同理, 1 ? cos B 2 u ? v u ? w 1 ? cosC 2 u?w v?w
1 u 3 ? v 3 v 3 ? w3 u 3 ? w3 1 ? f ? u 2 ? v 2 ? w2 ? ( ? ? ) ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? [(u 2 ? uv ? v 2 ) 2 u?v v?w u?w 2

1 1 (uv ? vw ? uw) ? .(取等号当且仅当 u ? v ? w, 2 2 1 1 此时, a ? b ? c, x ? y ? z ? ), [ f ( x, y, z )] min ? . 2 2
+ (v ? vw ? w ) ? (u ? uw ? w )] ?
2 2 2 2

三、(本题满分 50 分)

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?

(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:

? f (k ) 的值.
k ?1

240

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6 则 * 1 * 2 * * * * 3 * 4 * * 5 * 6 * * *

? f (a) ? ??T ( j) ? n[T (1) ? T (2)] ? (n ? 1)[T (3) ? T (4)] ?? ? [T (2n ? 1) ? T (2n)]
i ?1 i ?1 j ?1

n

n

2k

??② 由此,

? f (k ) ?? (16 ? k )[T (2k ? 1) ? T (k )] ??③
k ?1 k ?1

256

15

记 ak ? T (2k ? 1) ? T (2k ), k ? 1,2,?,15, 易得 ak 的取值情况如下:

k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ak

3

5
16 n

6

6

7

8

6

9

8

8

8

10

7

10

10

因此,

? f (k ) ?? (16 ? k )ak ? 783??④
k ?1 k ?1

15

2005 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨

本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨,供感兴趣的 读者参考。 题目:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a ; az ? cx ? b; 函数 f ( x, y, z ) ?

bx ? ay ? c ,求

x2 y2 z2 的最小值。 ? ? 1? x 1? y 1? z

一.几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较平易, 给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的 惊喜,殊不知,这是一个极大的误区,本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一: 由 Cauchy 不等式知 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 ? ? ? 1? x 1? y 1? z

?

( x ? y ? z) 2 u2 9 ? (记u ? x ? y ? z ) ? u ? 3 ? ?6 3? x ? y ? z 3?u u?3
1 的性质无法得到最小值。 x

到此,在 u>0 的情况下,力图使用函数 f ( x) ? x ?

思路二:考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系,于是,可根据三个条件等式 容易求出 x、y、z 用 a、b、c 表达的式子:

x?

b2 ? c2 ? a2 ; 2bc

y?

c2 ? a 2 - b2 ; 2ca

z?

a 2 ? b2 - c2 2ab

因为 a、b、c;x、y、z 都是正数,所以,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0; b 2 ? c 2 - a 2 ? 0; c 2 ? a 2 - b 2 ? 0

到此, 似乎胜利的曙光就在眼前, 立刻想到在区间 ? 4, ? 内使用函数 f ( x) ? x ? 的性质, x ? 2? 但也无法得到最小值,而此时的最大值正好与题目的最小值

?

9?

1

1 (由于函数 2

f ( x, y, z ) ?
达到

cos2 A cos2 B cos2 C 0 ? ? 的对称性,可以猜测其最小值在 A=B=C=60 时 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC

1 )吻合,实际上,这是一条无用的信息(表明使用 Cauchy 不等式过当!),它是答 2

题人再次陷入不能自拔的困境。 俗话说得好,失败是成功之母,上面的思路也昭示我们,对原式不能直接使用 Cauchy 不等式,需要再对原式做更好的更有用的恒等变形,可能是正确的途径。 二.赛题的解答 为证明本赛题,我们先证明如下一个引理。 引理:在△ABC 中,求证:

tan 2

A B C A B C ? tan 2 ? tan 2 ? 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2



等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。 证明:用向量方法证明如下 设 i , j , k 是平面上的单位向量, j 与k 成角为π -A, k 与i 成角为π -B, i 与 j 成角 且

? ? ?

?

?

? ?

?

?

为π -C,那么,

? A ? B ? C (i tan ? j tan ? k tan ) 2 ? 0 ,所以 2 2 2

A B C ? tan 2 ? tan 2 2 2 2 A B B C C A ? 2 tan tan cos C ? 2 tan tan cos A ? 2 tan tan cos B 2 2 2 2 2 2 A B C B C A ? 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) ? 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) ? 2 2 2 2 2 2 C A B ?2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) 2 2 2 tan 2
A B B C C A? ? ? 2? tan tan ? tan tan ? tan tan ? ? 2 2 2 2 2 2? ? A B C sin sin sin A B C 2 2 2 ? 4 sin sin sin ( ? ? ) B C C A A B 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? 4 sin sin sin ? A B C 2 2 2 2 ? cos cos cos 2 2 2 A B C ? 2 ? 8 sin sin sin . 2 2 2
注意到,在△ABC 中有熟知的等式: tan

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A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 . 2 2 2 2 2 2

从而①得证。 有了上面的引理,本题的解答就容易多了,下面看本题的解法。 解:同思路二得到,以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC, 令 x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC, 从而

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? sin 2 A 1 ? sin 2 B 1 ? sin 2 C f ( x, y , z ) ? ? ? ? ? ? C 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 A A B B C C 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? A B C 2 cos2 2 cos2 2 cos2 2 2 2 A A A A B B B B sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 ? A B 2 cos2 2 cos2 2 2

C C C C ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 ? C 2 cos2 2 3 1 A B C A B C ? ? (tan2 ? tan2 ? tan2 ) ? 2(sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (tan2 ? tan2 ? tan2 ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? 2 sin 2
等号成立的条件显然是 A=B=C=60 时达到,最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以, f ( x, y, z ) ?
0

1 x2 y2 z2 的最小值为 . ? ? 2 1? x 1? y 1? z
0

显然,在 ?A ? ?B ? ?C ? 60 时,等号成立,所以 f ( x, y, z ) 的最小值为 三.背景探索 早在 1994 年,华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题: 在△ABC 中,是否有:

1 . 2

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? ? ? ② 2 2 2 2 2 2 sin B ? sin C sin C ? sin A sin A ? sin B 2

后来,湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明:分两种情况 (1)当△ABC 为钝角三角形时,此时不妨设 A>90 , 于是 a ? b ? c ,
0

2

2

2

所以 再据

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2 ? cos2 B ? cos2 C ,∴ cos2 B ? cos2 C ? 1 ? cos2 A
sin A> sin B , sin A> sin C ,所以,

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 C ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 A ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 B ? cos2 C 1 ? ? 2 sin 2 A 2

即三角形为非钝角三角形时结论也成立,综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法,不难知道,今年的这道赛题 无非是在②的第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序(并由 此判断△ABC 为锐角 三角形)罢了,即今年的这道加试题可以看作是由解方程组(初中知识的要求),判断三 角形种类、与求最值(高中知识的要求)三个问题的简单合成(串联)。 顺便指出,①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结 论。 四.条件等式的几何解释


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