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2011复旦大学千分考部分试题解析


2011 复旦大学千分考部分试题解析 1、对一切实数 x,都有 x?5 + x+7 >a,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a<12 答案: A 解析:由绝对值的意义,可知 x?5 + x+7 ≥12 2、 设 集 合 S= ?x log x ?3x 2?4x? ≥2, x>0? , B. a<7 C. a<5 D. a<2
<

br />T= ?x log x ?3x 2?k 2x? ≥2, x>0? ,满足 S?T 的实数 k 的取值范围是 ( ) A. k 2≥2 答案:B
? k2 2? 解析:S= ?x x≥2 ? ,T= ?x x>1, x≥k ? ∪ x 0<x<1, ≤x≤k ? ? ? 2 ?

B. k 2≤2

C. k≥ 2

D. k≤ 2

2

? ? ? ? ? ?

3、设正整数 n 可以等于 4 个不同的正整数的倒数之和,则这样的 n 的个数是 ( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

答案:B 1 1 1 25 解析:由于 n≤1+ + + = ,所以 n≤2 2 3 4 12 1 1 1 1 1 1 1 又 1= + + + ,2=1+ + + ,满足要求,故 n 的个数是 2 2 3 8 24 2 3 6 4、函数 sinx 2,cosx 2, xsinx, xcosx 中周期函数的个数是 ( ) A. 0 答案: A 解析:四个函数都不是周期函数 5、设 x1>0, x n+1= 3?1+x n ? ?n=1,2,3,??,则 ( 3+x n ) B. 1 C. 2 D. 3

A. ?x n ? 是单调递增的;

B. ?x n ? 是单调递减的; C. ?x n ? 或是单调递增的或是单调递减的; D. 以上说法都不正确 答案: D 解析:不动点方程为 x ?3+x?=3 ?x+1?,解得 x=± 3 ,当 x= 3 时, 数列为常数列 6、将复数 z= ?cos75°+isin75°? 所对应的向量按顺时针方向旋转 15°,
3

则所得的向量对应的复数是 ( ) A. ? 3 1 + i 2 2 B. ? 3 1 ? i 2 2 3 1 i C. ? + 2 2 3 1 D. ? ? i 2 2

答案:B 解析: ?cos75°+isin75°? ? cos ??15°?+isin ??15°?
3

=cos ?225°?15°?+isin ?225°?15°?=?

3 1 ? i 2 2

7、“以复数 z1, z 2, z 3和 w1,w 2,w 3为对应顶点的复平面上的两个 三角形相似”是“等式 A. 必要但不充分 C. 充分必要 答案: A 解析:只说明不充分,比如作△ z1z 2z3 关于直线 z 2z3 对称的三角形, 记为△w1w 2w3,显然它们相似,但 w ?w z 2?z1 =? 2 1 ,所以不充分 w 3?w 2 z 3? z 2 z 2?z1 w 2?w1 = 成立”的 ( ) z3?z 2 w 3?w 2 B. 充分但不必要 D. 既不充分也不必要

8、从 1 到 100 这 100 个整数中任取两个不同的整数,要求其和大于 100,则取法总数为 ( ) A. 2450 B. 2500 C. 2525 D. 5050

答案:B 解析: 当较小的数 k≤50 时, 对于指定的较大的数 k, 有 101?k, 102?k,?,共 k 种可能,总共 ? k =25×51 种取法
k=1 2 =25×49 种取法 当较小的数 k>50 时,总共有 C50 50

因此,总的取法数位 2500 9、在半径为 1 的圆周上随机取三点,它们构成一个锐角三角形的概 率是 ( A. 1 2 ) B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5

答案:C
?x>0 ? ? ? x, y,2π? ?x+y?三段,则样本空间为 y>0 ? ? π ?x+y<2

解析:设三点把圆周

?0<x<π ? ? 1 若它们构成锐角三角形,则 ?0<y<π ,所求概率为 ? 4 ? ?x+y>π

10、设 n 是一个正整数,则函数 y=x+ A. n?1 n B. n+2 n+1 C. n+1 n D.

1 在正半轴上的最小值是 ( ) nx n

n n+1

答案:C 解析:取 n=1,验证即可,对选项 C 的证明: x+
? 1 1 x x x xn ? ? ? ? + +?+ + = ≥ n + 1 ? n+1 n n nx n nx n n n x ? n ? ? ? ? ?

1 n+1

=

n+1 n

2 2 x2 y 11、椭圆 + =1 上的点到圆 x 2+ ? y?6? =1 上的点的距离的最大 25 16

值是 ( ) A. 11 答案: A 解析: 设椭圆上一点的坐标为 P ?x0 , y0 ?, 则 P 到圆心 M 的距离 为 PM,则
2 ? y0 9 2 ? 2 PM =x + ? y0 ?6? =25 1? ? +y 0 ?12y0 +36=? y0 ?12y0 +61 ? 16 16 ? 2 2 0 2
? ? ? ? ?

B. 74

C. 5 5

D. 9

对称轴为 y0 =?

32 , 而 y0 ∈ ?4,4 , 故 y0 =?4 时, PM 取得最大 3

值 10,于是所求最大值为 10+1=11 12、极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 ( A. ρ 2+2ρ ?cosθ+ 3 sinθ ?=5 C. ρ 2?ρcosθ=1 答案: D 解析:转化为直角坐标系下的曲线方程即得 13、 设 直 线 族 和 椭 圆 族 分 别 为
2
? ? ? ? ? ?

)

B. ρ 2?6ρcosθ?6ρsinθ=0 D. ρ 2cos2θ+2ρ ?cosθ+sinθ ?=1

x=t y=mt+b

?m,b∈R,t 为参数? 和

?x?1? +y 2=1 ?a 是非零实数?, 若对于所有的 m, 直线都与椭圆相 2
a 交,则 a,b 应满足 ( A. a 2 ?1?b 2?≥1 答案:B 解析:直线过定点 ?0,b?,根据题意,该点在椭圆内部,于是 ) C. a 2 ?1?b 2?<1 D. a 2 ?1?b 2?≤1 B. a 2 ?1?b 2 ?>1

?0?1? +b 2<1?1+a 2b 2<a 2?a 2 ?1?b 2?>1 2
2

a

14、已知一个直圆柱体的底面半径为 R,一斜面与其圆周相交且只

交于一点,且与底面成夹角θ ? ? ? 0<θ<
?

?

π? ? ? ? ,则直圆柱的面和所截的有界
2?

部分组成的几何体的体积是 ( A. 2πR 3cosθ 答案: D B. 2πR 3tanθ

) C. πR 3cosθ D. πR 3tanθ

Sh πR 2?2Rtanθ =πR3tanθ 解析:V= = 2 2 a n+1?b n+1 15、已知 a,b 是两个不相等的正数,若数列 a n ?b n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

总有极限

5,则下列的关系式成立的是 ( ) A. 0<a+b≤10 答案:B a n+1?b n+1 解析:不妨设 a>b,则 lim = lim n n n→+∞ a ?b n→+∞ 所以 a=5,b<5,a+b<10 16、设 n 为一个正正数,记 P ?n?=1 4 +2 4 +?+n 4 ,则 P ?n? 是 n 的一 个多项式,下列结论正确的是 ( A. P ?n?的最高项系数为 1 C. P ?n?是 n 的一个 4 次多项式 答案: D 解析:由于 k5? ?k?1? =5k 4 ?10k3+10k 2?5k+1,
5

B. 0<a+b<10

C. a+b>10

D. a+b≥10

b a? b? a b 1? a
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?
n

n

=a

) B.P ?n?的常数项系数为?3 D. P ?n?的 3 次项系数为 1 3

所 以 k4=

5 1 5 1 k ? ?k?1? +2k3?2k 2 ?k? , 对 k=1, 2, 3, ?, n 求 5 5 2

1 5 n 2+ ?n+1? 1 n ?n+1? n ? ?2? n ?n+1? ?2n+1?? 和,有 P ?n?= n +2? 5 5 6 2 4

3 17、设 a= 4 大小关系为 ( A . a<b<c 答案:C

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

x

4 ,b= 3

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

x?1

,c=log 3 x,若 x>1,则 a,b,c 之间的
4

) B. b<c<a C. c<a<b D. c <b<a

解析:b>1>a>0>c 18、设 a 为正数, f ( x ) =x3?2ax 2+a 2,若 f ( x ) 在区间 ?0,a?上大于 0,则 a 的取值范围是 ( A. ?0,1? 答案: A 解 析: 当 x∈ ?0,a? 时, f' ?x?=3x 2?4ax=x ?3x?4a?<0, 故 f ( x ) 在 B. ?0,1? ) C. ?1,+∞? D. ?1,+∞?

?0,a?上单调递减,因此
A. 530 答案: D B. 531 C. 532

f ( a ) =a 2 ?1?a?≥0,解得 0<a≤1

19、小于 1000 的正整数中不能被 3 和 5 整除的整数的个数是 ( ) D. 533

解析:被 3 或 5 整除的整数的个数为

999 999 999 + + =466, 3 5 15

故不能被 3 或 5 整除的个数为 999?466=533 20、下列函数中,在其定义域上不是奇函数的是 ( ) A. y=ln x+ x 2+1
1 3 2 3 2 3

?

?

B. y=x ? ? ?

?

1 1? ? + ? x ? 2 ? ? 1 2? ? ?

C. y=ln

1+x +x 1?x +x
1 3

D. y=ln ?secx+tanx?

答案:B 解析:求 f ( ?x ) 进行验证即可

21、设有四个数的数列为 a1,a 2,a 3,a 4 ,前三个数构成一个等比数 列,其和为 k;后三个数构成一个等差数列,其和为 9,且公差非 零,对于任意固定的 k,若满足条件的数列的个数大于 1,则 k 应满 足( ) B. 12k<27 C. 12k=27 D. 其它条件

A. 12k>27 答案: D

?3?d ? ,3?d,3,3+d, 解析:设这四个数位
2

3

?3?d ? +3?d+3=k,整理的 d 2?9d+27?3k=0 于是
2

3

因为公比 q=

3 不唯一,所以上述方程有两个不同的实数解,且 3?d

d≠3,d≠0,而 d≠3?k≠3,d≠0?k≠9,△=81?4 ?27?3k ?>0,解得 12k>27 且 k≠3,9 22、平面上有 100 条直线,其中无两条直线相互平行,无三条直线 交于一点,则这些直线将平面分成的互异区域的个数为 ( A. 5050 答案:B n 2+n+2 解析:用递推公式 a n =a n?1+n,a1=2,求得 a n = 2 3 1 2π 2π i, w 2=cos +isin ,令 w=w1w 2,则 23、设有复数 w1=? + 2 2 5 5 复数 w+w 2+?+w 2011= ( ) A. w 答案: A 解析:w1=cos 2π 2π +isin , 3 3 B. w 2 C. w1 D. w 2 B. 5051 C. 5025 D. 5053 )

故 w=cos ? ? ?

? 2π 2π ? π 2π ? 16π 16π ? ? 2 + ? + i sin + = cos + i sin ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 15 15 ? ? ? ? ?

因此 w15=1, 于是 w+w +?+w
2 2011

w ?1?w 2011? w ?1?w134×15+1? = =w = 1?w 1?w

24、用字母 a,b,c 组成 5 个字母的码字,要求每个码字中 a 至多 出现 2 次,b 至多出现 1 次,c 至多出现 3 次,则这种码字的个数为 ( ) A. 50 答案:C
1 解析: ( 1 ) 1 个 a,1 个 b,3 个 c,共有 C1 5?C 4 =20 2 ( 2 ) 2 个 a,0 个 b,3 个 c,共有 C5 =10 2 ( 3 ) 2 个 a,1 个 b,2 个 c,共有 C5 ?C1 3=30

B. 52

C. 60

D. 62

综上,共有 60 个 25、设 S 是由任意 n ?≥5? 个人组合的集合,如果 S 中任意 4 个人当 中都有至少 1 个人和其余 3 个人相互认识,那么下面正确的是 ( A. S 中没有人认识 S 中的所有人; B. S 中至少有 1 个人认识 S 中所有的人; C. S 中至多有 2 个人不认识 S 中所有的人; D. S 中至多有 2 个人认识 S 中所有的人 答案:B 解析:S 中所有人都相互认识,排除 A, D;S 中有 3 人不认识其他 所有人,但是其他 n?3 人都相互认识,排除 C 26、设直线 l 过点 M ?2,1?,且抛物线 y 2=2x 相交于 A, B 两点, M 是线段 AB 的中点,则直线 l 的方程是 ( A. y=x?1 B. y=?x+3 C. 2y=3x?4 ) D. 3y=?x+5 )

答案: A 解析:设 A ?x1, y1?,B ?x 2, y 2 ?,代入抛物线方程作差可得

?y1+y2? ?y1?y2?=2 ?x1?x2?,斜率为 1
27、设 a,b∈R,b≠0,α,β,γ 是三次方程 x3+ax+b=0 的三个根, 则总以 1 + 1 , 1 1 1 1 + , + 为根的三次方程是 ( )

α

β

β

γ

γ

α

A. a 2x 3+2abx 2+b 2x?a=0 C. a 2x3+2ab 2x 2+bx?a=0 答案:B

B. b 2x 3+2abx 2+a 2x?b=0 D. b 2x 3+2a 2bx 2+ax?b=0

解析:因为α+β+γ=0,αβ+βγ+αγ=a,αβγ=?b,所有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1

α
1

+ +

β β

1? ? ?
? ?

? +? ? ?

?

1

β
+

+

? 1 1? 2?αβ+βγ+αγ ? 2a ? ?= +? + ? =? ? ? ? b γ ? ?γ α ? αβγ

1? ? ?

α

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

β

γ

1? ? ?
? ?

? +? ? ?

?

1

β

+

γ

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

γ

+

α

1? ? ?
? ?

? +? ? ?

?

1

γ

+

α

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

α

+

β

1? ? ?
? ?

=
2

1

α

2

+

1

β

2

+

1

γ2

α 2β 2+β 2 γ 2+α 2 γ 2 = ?αβ+βγ+αγ ? ?2?α+β+γ ?αβγ = a = α 2β 2γ 2 α 2β 2γ 2 b2
2
? ? ? ? ?

1

α

+

β
1

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

β

+ 1 b

γ

? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

γ

+

α

1? ? ?
? ?

=

?α+β ? ?β+γ ? ?α+γ ? = ??γ ? ??α ? ??β ? ?αβγ ? 2 ?αβγ ? 2

=?

αβγ

=?

28、圆锥曲线ρ= A. ρsinθ=1 答案: D

4sinθ 的准线方程是 ( cos 2θ

) D. ρsinθ=?1

B. ρcosθ=?1

C. ρcosθ=1

解析:曲线转化为直角坐标系: x 2=4y,对应准线为 y=?1 29、设椭圆的长短半轴分别为 a 和 b,从椭圆的中心 O 依次引 n ?≥3? 条射线交椭圆于 A1, A 2 , ?, A n , 且相邻两条射线的夹角都等于

?2 2π ,则 ? ?OA k ? = ( k=1 2

n

) C. n ? 2 2? a +b 2 D. n ? 2 2? a ?b 2

A.

n ? ?2 ?2? a +b 2

B.

n ? ?2 ?2? a ?b 2

答案: A
2 OA1? cos 2θ ?OA1? sin θ ? 解析:设 A1 ?OA1cosθ,OA1sinθ ?,则 + =1, 2 2 2 2

a

b

解得 ?OA1? =
?2

cos 2θ sin 2θ 1+cos2θ 1?cos2θ + 2 = + a2 b 2a 2 2b 2

=? ? ?

?

1 1 ? 1? 1? ? ? 1 ? ? cos2 θ + + ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? a ? ? 2a ? 2 2 b b ? ? ? ?
? ?
? ?

?θ+ 由 Ak ? ? ? ?OA k ?cos ?

? ? 2?k?1? ? 2?k?1? ? ? ? ? π? , OA ? sin θ + π ? ? ? k ? ?? ? ? n n ? ?? ?
? 1 1 ? 4?k?1? ? 1? 1? ? ? 1 ? ? ? ? cos 2 θ + π + + ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2a ? n 2 2 b a b ? ? ? ? ? ?
?

类似可得 ?OA k ? = ? ? ?
?2

而 ? cos ? θ+ ? ?2
k=1

n

? ?

4?k?1? ? π? ? ? =0 n ?
?2

因此 ? ?OA k ? =
k=1

n

1? n? ? 1 ? + 2 2 ? ? ? a ? 2? b ? ? ?

30、S 是三维空间中的一个任意点集,S 的任意四个不同的点都不在 一个平面上,则下列结论一定不对的是 ( A. S 的元素个数有限; B. S 的元素个数无穷; C. S 的任意三个不同的点都不在一条直线上; D. S 的任意三对点所在的直线都不共面 答案: D 解析:取三对点为 ?A,B?, ?B,C ?和 ?C, A?,可知 D 不对 )

31、平面π 与球体 V 的表面相交于一个圆,圆上三个点构成一个等 1 边三角形,边长为 s,球心到平面π 的距离等于球半径的 ,则球的 3 半径是 ( A. 3 s 答案:C r 解析:设球的半径为 r,则 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

) B. 1 s 3 C. 1 6s 4 D. 1 3s 2

+

? ? ? ? ? ?

s 3

? ? ? ? ? ?

2

=r 2,解得 r=

6 s 4

32、给定三个向量 v1 = ?1,0,1?, v 2 = ?1,1,0?, v3 = ?1,1,k 2+k?1? 其中 k 是一个实数,若存在非零向量同时垂直于这三个向量,则 k 的取值为 ( A. ) B. ?1? 5 ?1+ 5 , 2 2 ?1? 5 1+ 5 , 2 2

1? 5 1+ 5 , 2 2 1+ 5 ?1+ 5 , 2 2

C.

D.

答案:B
?x+y= 1 ? ? 解析:这三个向量共面,设 v3 =xv1 +yv 2 ,则 ? y=1 ? ? 2 ?x=k +k?1

解得 k=

?1± 5 2


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