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2013年高一上学期数学月考试题及参考答案


2013 年高一上学期数学试题及答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={a,b,c},下列可以作为集合 A 的子集的是( A. a
2



B. {a,c} )

C. {a,e}


D.{a,b,c,d} B. {0} 不是空集 D. ) B. f ( x) ? 1 , g ( x) ? x
0

2.下列命题正确的是(

A. 方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 的解集为 {2,2} C. 1 是自然数集 N 中最小的数 3.下列各组函数表示同一函数的是( A. f ( x) ? C. f ( x) ?
3

? ?0

x

2

, g ( x) ? ( x )
3

2

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2


D. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

x2 ?1 x ?1

4.函数 f(x)=|x|+2 的图象是( y y

y

y

2
O A

2

x

2

O B

x

O C

x

O D

x

-2

5. 已知 f ( x) = ? A. 2

? x ? 5( x ? 6) ,则 f (3) 的值为( ? f ( x ? 4)( x ? 6)
B. 3 C. 4 D. 5



6.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是( ? ? A. 8 B. 7
2



C. 6

D. 5 )

7.设二次函数 y ? 3x ? 2(a ? 1) x ? b 在区间 (??,1] 上是减函数,那么( A. a ? ?2 B. a ? 2 C. a ? 2 ) D. [8,9] D. a ? ?2

8.函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 5(1 ? x ? 4) 的值域是( A. [5,8] B. [1,8] C. [5,9]

9.已知 f (x) 是偶函数,且其图象与 x 轴仅有 4 个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实根
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之和为( A. 4

) B. 2 C. 1 D. 0 )

10.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2 , 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是( A. [?5, 3] B. [ ?1, 4] C. [ 0, ]

5 2

D. [ ?3, 7]

11.集合 A={x x ? 2k , k ? Z } ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z } ,C={ x x ? 4k ? 1, k ? Z } 又 a ? A, b ? B, 则有( A.(a+b) ? A ) C. (a+b) ? C D. (a+b) ? A、B、C 任一个 )

B. (a+b) ? B

12.已知 f (x) 在实数集 R 上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)]

B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在对应题号后的横 线上) 。 13.函数 y= x+1 的定义域是__________。 x+2
2

14. 已知 x ? 1,2, x ,则实数 x =__________。 15.设函数 y ? ax ? a ? 1 ,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围是 16.函数 f ( x ) 对任何 x ? R 恒有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,已知 f (8) ? 3 ,
?

?

?



则 f ( 2) ?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (10 分)已知全集为实数集 R,集合 M ? x ? 2 ? x ? 2 , N ? x ? 1 ? x ? 3 , 分别求 M ? N 、 C R ( M ? N ) .

?

?

?

?

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18. (12 分)证明:函数 f ( x) ?

5x ? 3 在区间 (??,0) 上是增函数. x

19. (12 分) A={x| 2≤ x ≤6}, 设 B={x| 2a ≤ x ≤ a+3}, A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。 若 20. (12 分) (1)已知 f ( x) 是二次函数,若 f (0) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 , 求 f ( x) 的解析式; (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x) 的解析式。 21. (12 分)已知函数 y ? f ( x)( x ? 0) 是奇函数,且当 x ? (0,??) 时是增函数, 若 f (?1) ? 0 , f (a ? ) ? 0 , (1)求 f (1) 的值; (2)求实数 a 的取值范围。 22.(12 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有

1 2

f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (1)证明: 当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? 1 ; (2)证明: f ( x) 在 R 上是减函数。

参考答案
一、选择题:BBADA
CACDC BD 14. 0 或 2 15. (??,? ) 二、填空题 13. [?1,??)

1 2

16.

1 2

三、解答题
17.解: M ? x ? 2 ? x ? 2 , N ? x ? 1 ? x ? 3 ,
两个解集在数轴上的表示如下图:
x -- 0123 21

?

?

?

?

因此 M

? N ? {x ? 1 ? x ? 2} ,

M ? N ? {x ? 2 ? x ? 3} ,
C ( M ? N ) ? {x x ? ?2 或 x ? 3 } . R
18.证明:任取 x1 , x2 ? (??,0) 且 x1 ? x2 则

5 x1 ? 3 5 x2 ? 3 3( x1 ? x2 ) ? = x2 x1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

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?函数 y ?

f (x) 在 (??,0) 上是增函数.

19. 解:因为 A ? B ? A ,所以 B ? A 则 ①当 B= ? 时,2a>a+3,解之得 a>3。

?2 a ? a ? 3 ? 2a ? 2 ②当 B≠ ? 时,则有 ? ,解之得 1≤a≤3, ?a ? 3 ? 6 ? 20. 解: (1)设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 由 f (0) ? 0, 得 c=0

综合①②得 a≥1。

由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 得 a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax 2 ? bx ? c ? x ? 1 整理得 ax 2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ? ax 2 ? (b ? c) x ? c ? 1
1 ? ?a ? 2 ? 2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? 0 ? ? 1 2 1 ? f ( x) ? x ? x 2 2



(2) (法一配凑法)由题知 x ? 0 因为 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 令 t ? x ? 1 ,则 t ? 1 所以 f (t ) ? t 2 ? 1 即 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 1) (法二换元法) 令 t ? x ? 1 ( t ? 1)则 x ? t ? 1 x ? (t ? 1) 2 得 ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1 即 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 1) 21. 解: (1)?函数 y ? f ( x)( x ? 0) 是奇函数 ? f (?1) ? ? f (1) ? 0 即 f (1) ? 0 (2)?当 x ? (0,??) 时 f (x) 是增函数 a?1 ?0 ? a?1 ?0 ? 1 2 2 或? ? f (a ? ) ? 0 可化为 ? f (a ? 1 ) ? f (1) ? f (a ? 1 ) ? f (?1) 2 2 2 ? 即0 ? a ?
1 2

? 1 或 a ? 1 ? ?1 2
3 2

1 2 22.解:(1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1)

解得 1 ? a ? 2

或a ? ?

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∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 , ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ∴当 x ? 0 时, ?x ? 0 ,则
f ( ? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

(2)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ? 1] f ( x1 )

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1,故 f ( x2 ? x1 ) ? 1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0, ∴ [ f ( x2 ? x1 ) ? 1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数.

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