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高中数学必修4


高中数学必修4

第一章 三角函数 复习小结
酉阳县第一中学校 文晓祥

一、学习目标
1、了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与度的互化。 2、借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。 3、理解同角三角函数的两个基本关系式。 4、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质。 5、会用“五点法”画正弦函数、余弦函数、正切函数和 正弦型函数的简图。 6、会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数 是描述周期变化现象的重要函数模型。

二、知识网络
应用 弧长与扇形 面积公式 应用 任意角 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 应用 计算与化简、 证明恒等式

三角函数的 应用 三角函数模型 图象和性质 的简单应用

三、知识回顾
1、三角函数的定义
设P( x, y )是角 ?终边上任意一点, r ? OP ? x 2 ? y 2

y y sinα= r P(x,y) x O cosα= r x y tanα= x 三角函数的几何意义是什么?

·

三、知识回顾
2、三角函数线
y

正弦线:
余弦线: 正切线:

MP OM o AT

P
正弦线

T
正切线

1
余 M 弦 线 A

x

三、知识回顾
3、同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin
2

? ? cos ? ? 1
2

sin ? 商数关系: cos ? ? tan ?

两个基本关系式有哪些运用?

三、知识回顾
4、诱导公式
本章学习了哪些诱导公式?有何用途? ? 如何记忆诱导公式?

k? 诱导公式是针对角 ? ?的各三角函数的化简 2

口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”.

三、知识回顾
5、三角函数的图象与性质
函数 一周期 图象 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期 y=sinx y 1 ? 2? O x -1 R y=cosx 1 O -1 R ? 2? y=tanx

x

? -2

y O

? 2

x

? ? [2k?- 2 ,2k?+ 2 ]↑在[2k?-?,2k?]↑在(k?- ? ,k?+ ?) 2 2

[-1,1]

[-1,1]

{x|x?R且x≠ ? k?+ ,(k?Z)} 2

R

(k?Z) (k?Z) ? 3? 在[2k?,2k?+?]↓ (k?Z)上都是 [2k?+ 2 ,2k?+ 2 ]↓ 增函数 (k?Z) (k?Z)

奇函数
2?

偶函数
2?

奇函数
?

四、考点突破
? ? 例1(1) 比较 sin 20 、 cos (- 65 )、 tan

7? 的大小。 5

7? 答案: sin 20 ? cos (- 65 ) ? tan 5
? ?

5 已知角A是?ABC的内角,且tan (? - A) ? , (2) 12 12 则 cos A ? ____. 答案: ?
13

四、考点突破
1 例2 已知在△ ABC 中, sinA+ cosA= . 5 (1)求 sinAcosA 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tanA 的值. 1 【思路分析】 可先把 sinA+cosA= 两边平方 5

得出 sinA· cosA,然后借助于 A∈(0, π)及三角 函数符号法则可得 sinA 与 cosA 的符号,从而 进一步构造 sinA-cosA 的方程, 最后联立求解.

四、考点突破
例3 【2012山东】

函数y ? 2 sin( x - )(0 ? x ? 9)的最大值与 6 3 A 最小值之和为()

?

?

A.2 ?
C. ? 1

3

B .0
D. - 1 ? 3

四、考点突破
例4 【2012重庆】
设函数f ( x ) ? A sin (?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0,-? ? ? ? ? ) 在x ?

?
6

处取得最大值2, 其图像与x轴的相邻两个交点的

距离为 。( 1)求f ( x )的解析式。( 2)略。 2
解:由条件知 f ( x )的周期T ? ?,即 2? 由f ( x )在x ? 所以

?

?
6

?

? ?,解得? ? 2.

处取得最大值2,得A ? 2.从而 sin ( 2 ? ? 2k? , k ? Z .又由 - ? ? ? ? ?得? ?

?
6

? ? ) ? 1,

?
3

?? ?

?
2

?
6

故f ( x )的解析式为f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

).

四、考点突破
练习1

已知y ? 2 sin(?x ? ? )为偶函数( 0 ? ? ? ? ),其图像 与直线y ? 2的某两个交点横坐标为 x1、x2 , 若 x1 - x2
D 的最小值为?,则()

A.? ? 2;? ?

?
4

1 ? B.? ? ;? ? 2 2
D.? ? 2;? ?

1 ? C .? ? ;? ? 2 4

?
2

四、考点突破
练习2

已知函数f ( x ) ? sin(?x ?

?

4 为?,若将y ? f ( x )的图像向左平移 ? 个单位,所得

), ( x ? R, ? ? 0)最小正周期

图像关于y轴对称,则?的一个值是() B

A.

?
2

B.

?
8

C.

?
4

3? D. 8

四、考点突破
练习3
函数y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? x ? 6?时,y有最小值 - 3. (1)求此函数解析式 . (2)求该函数单调递增区间 . (3)是否存在实数 m满足不等式 A sin(? - m 2 ? 2m ? 3 ? ?) ? A sin(? - m 2 ? 4 ? ?)? 若存在,求出m的值(或范围),若不 存在,请说明理由 .

?

2 一个最大值和一个最小 值,且当x ? ?时,y有最大值3,当

)在x ? (0,7? )内取到

五、章末寄语
三角函数是高中阶段学习的基本初 等函数之一,蕴含丰富的函数思想和 数形结合思想,是高考必考的重点内 容之一。其中三角函数的概念、三角 函数的图像和性质是本章中的重要知 识点,须要理解并掌握。 作业:P71章末复习参考题B组1-8题。

再见!


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