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正式--直线与平面平行的判定


普通高中课程标准实验教科书 数学② (必修)

2.2.1直线与平面平行的判定

复习提问
直线与平面有什么样的位置关系?
1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点;

3.直线与平面平行——没有公共点。
a

a

?

a

?

?

直观感知,操作确认

探究问题,归纳结论
如图,平面 ? 外的直线 a 平行于平面 ? 内的直线b。 (1)这两条直线共面吗? (2)直线 a 与平面 ? 相交吗?

?

a

?

b

归纳结论
直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行 .
(线线平行 ? 线面平行)

a

符号表示:
a ? ? ? ? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ? 注意这3个条件缺一不可!

b

感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面

感受校园生活中线面平行的例子:

球场地面

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵E,F是AB,AD的中点
∴EF∥BD(三角形中位线性质)
EF ? 平面 BCD ? ? BD ? 平面 BCD ? ? EF// 平面 BCD ? FE//BD ?

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分 别为AB、AD上的点,若
A
F E B D C
AE EB ? AF FD

,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.

变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.(04年天津高考)
B

A

F
D

E O
C

分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF,
AB ? 平面 DCF ? ? OF ? 平面 DCF ? ? AB// 平面 DCF ? AB//OF ?

A

F
D

E
O
C

B

反思~领悟:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”,缺一不可。

巩固练习:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行

平面BC1 、平面CD1 的平面是___________________.
D A
1
1

C B

1

1

D A B

C

巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D C O B D1 C1

∴BD1//EO.

BD 1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD 1 // 平面 AEC ? BD 1 // EO ?

A

归纳小结,理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

? 线面平行);

a ? ? ? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。

作业:课本P62第3题


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