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2009年全国高中数学联赛一试(经典试题参考答案及评分标准)


2009 年全国高中数学联赛一试 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设 7 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照 本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适 当划分档次评分,解答题中至少 4 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(

共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x 99 1. 若函数 f ( x ) = 且 f ( n ) ( x ) = f ? f ? f L f ( x ) ? ? ,则 f ( ) (1) = . . ? ? ?4 2 144 2444? 3 1+ x
n

【答案】 答案】

1 10
x

1 【解析】 f ( ) ( x ) = f ( x ) = 解析】

1 + x2


x

f(

2)

( x) = ( x) =

f ? f ( x )? = ? ?

1 + 2x2

……
1 + 99 x 2 1 故 f (99 ) (1) = . 10
f(
99 )

x



已知直线 L : x + y ? 9 = 0 和圆 M : 2 x 2 + 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 = 0 , A 在直线 L 上,B ,C 为圆 M 上 点 两点,在 ?ABC 中, ∠BAC = 45° , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为 . 6 答案】 【答案】 [3 , ] 2. .
9 【解析】设 A ( a , ? a ) ,则圆心 M 到直线 AC 的距离 d = AM sin 45° ,由直线 AC 与圆 M 相交,得 解析】 34 . 2 解得 3 ≤ a ≤ 6 . d≤

3.

?y≥0 ? 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 ?y≤2 ? x ?

t ≤ x ≤ t + 1 所确定,t 的取值范围是 0 ≤ t ≤1 , M 和 N 的公共面积是函数 f ( t ) = 则
1 2 解析】 【解析】 由题意知 f ( t ) = S阴影部分面积



【答案】 ?t 2 + t + 答案】

y _

= S?AOB ? S?OCD ? S ?BEF 1 1 2 = 1 ? t 2 ? (1 ? t ) 2 2 1 = ?t 2 + t + 2

A _ C _ D _ F _ E _ B _ x _

O _

4.

使 不等 式

1 1 1 1 + +L + < a ? 2007 对 一切 正整数 n 都 成立 的最 小正 整数 a 的值 n +1 n + 2 2n + 1 3

为 答案】 【答案】 2009



【解析】设 f ( n ) = 解析】

1 1 1 1 + +L + . 显然 f ( n ) 单调递减, 则由 f ( n ) 的最大值 f (1) < a ? 2007 , n +1 n + 2 2n + 1 3 可得 a = 2009 .

5. .

椭圆

为 2 a 2b 2 答案】 【答案】 2 a + b2 解析】 【解析】 设 P ( OP cosθ ,OP sin θ ) ,

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 上 任 意 两 点 P , Q , 若 OP ⊥ OQ , 则 乘 积 OP ? OQ 的 最 小值 a 2 b2 .

? π? π ?? ? ? Q ? OQ cos ? θ ± ? ,OQ sin ? θ ± ? ? . 2? 2 ?? ? ? ? 由 P , Q 在椭圆上,有

1 OP 1 OQ
2 2

= =

cos 2 θ sin 2 θ + 2 a2 b sin 2 θ cos 2 θ + a2 b2

① ②

①+② 得 1 1 1 1 + = 2+ 2. 2 2 a b OP OQ 于是当 OP = OQ = 2a 2 b 2 2 a 2b 2 时, OP OQ 达到最小值 2 . a 2 + b2 a + b2 .

6.

若方程 lg kx = 2lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

【答案】 k < 0 或 k = 4 答案】 ? kx > 0 ? ? 解析】 【解析】 ? x + 1 > 0 ? 2 ? kx = ( x + 1) ? 当且仅当 kx > 0 x +1 > 0 x2 + ( 2 ? k ) x + 1 = 0

① ② ③

对③由求根公式得 1 x1 , x2 = ? k ? 2 ± k 2 ? 4k ? ④ ? 2? ? = k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ)当 k < 0 时,由③得 ? x1 + x2 = k ? 2 < 0 ? ? x1 x2 = 1 > 0 所以 x1 , x2 同为负根. ?x +1 > 0 又由④知 ? 1 ? x2 + 1 < 0 所以原方程有一个解 x1 .

k ?1 =1 . 2 ?x + x = k ? 2 > 0 (ⅲ)当 k > 4 时,由③得 ? 1 2 ? x1 x2 = 1 > 0 所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 ≠ x2 ,不合题意,舍去.

(ⅱ)当 k = 4 时,原方程有一个解 x =

综上可得 k < 0 或 k = 4 为所求. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最 后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 答案】 【答案】 101 × 298 解析】 【解析】 易知: (ⅰ)该数表共有 100 行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 = 1 , d 2 = 2 , d3 = 22 ,…, d 99 = 298 (ⅲ) a100 为所求. 设第 n ( n≥ 2 ) 行的第一个数为 an ,则
an = an ?1 + ( an?1 + 2n?2 ) = 2an ?1 + 2n?2 = 2 ? 2 an ? 2 + 2 n ?3 ? + 2 n ? 2 ? ? = 22 ? 2an ?3 + 2n?4 ? + 2 × 2n?2 + 2n?2 ? ? = 23 an ?3 + 3 × 2n?2

7. .

…… = 2n ?1 a1 + ( n ? 1) × 2n?2
= ( n + 1) 2n?2

故 a100 = 101× 298 .

8.

某车站每天 8 00 ~ 9 00 , 9 00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两 ∶ ∶ ∶ 者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻 概率

8 10 ∶ 9 10 ∶ 1 6

8 30 ∶ 9 30 ∶ 1 2

8 50 ∶ 9 50 ∶ 1 3
(精确到分).

一旅客 8 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 ∶ 【答案】27 答案】 解析】 【解析】 旅客候车的分布列为 候车时间(分) 概率 10 1 2 30 1 3 50 1 1 × 6 6

70 1 1 × 2 6

90 1 1 × 3 6

候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 × + 30 × + 50 × + 70 × + 90 × = 27 2 3 36 12 18 二、解答题

1.

(本小题满分 14 分)设直线 l : y = kx + m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y2 + = 1 交于不同两 16 12

uuur uuu r x2 y2 ? = 1 交于不同两点 C , , D 问是否存在直线 l , 使得向量 AC + BD = 0 , 4 12 若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. ? y = kx + m ? 消去 y 化简整理得 解析】 【解析】 由 ? x 2 y 2 =1 ? + ?16 12

点 A, , B 与双曲线

( 3 + 4k ) x
2

2

+ 8kmx + 4m 2 ? 48 = 0
8km 3 + 4k 2

设 A ( x1 ,y1 ) , B ( x2 ,y2 ) ,则 x1 + x2 = ?
?1 = ( 8km ) ? 4 ( 3 + 4k 2 )( 4m 2 ? 48 ) > 0
2



………………………………………………4


? y = kx + m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 =1 ? ? ? 4 12

(3 ? k ) x
2

2

? 2kmx ? m 2 ? 12 = 0 2km 3 ? k2

设 C ( x3 ,y4 ) , D ( x4 ,y4 ) ,则 x3 + x4 =
2

? 2 = ( ?2km ) + 4 ( 3 ? k 2 )( m 2 + 12 ) > 0 ② ………………………………………………8 分 uuur uuu r 因为 AC + BD = 0 ,所以 ( x4 ? x2 ) + ( x3 ? x1 ) = 0 ,此时 ( y4 ? y2 ) + ( y3 ? y1 ) = 0 .由 x1 + x2 = x3 + x4

得 ? 8km 2km = . 2 3 + 4k 3 ? k2
4 1 = .由上式解得 k = 0 或 m = 0 .当 k = 0 时,由①和②得 2 3 + 4k 3 ? k2

所 以 2km = 0 或 ?

?2 3 < m < 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2 , 3 .当 m = 0 ,由

①和②得 ? 3 < k < 3 .因 k 是整数,所以 k = ?1 , 0 , 1 .于是满足条件的直线共有 9 条.………14 分

2.

(本小题 15 分)已知 p , q ( q ≠ 0 ) 是实数,方程 x 2 ? px + q = 0 有两个实根 α , β ,数列 {an } (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(用 α , β 表示); (Ⅱ)若 p = 1 , q =
1 ,求 {an } 的前 n 项和. 4

满足 a1 = p , a2 = p 2 ? q , an = pan?1 ? qan ?2 ( n = 3 , , ) 4 L

【解析】方法一: 解析】 (Ⅰ)由韦达定理知 α ? β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以
整理得 an ? β an ?1 = α ( an?1 ? β an?2 ) 数列 {bn } 的首项为: 以

an ? pxn ?1 ? qxn ?2 = (α + β ) an ?1 ? αβ an?2 , ( n = 3 , , , ) 4 5 L

令 bn = an+1 ? β an ,则 bn+1 = α bn ( n = 1, , ) .所以 {bn } 是公比为 α 的等比数列. 2 L
b1 = a2 ? β a1 = p 2 ? q ? β p = (α + β ) ? αβ ? β (α + β ) = α 2 .
2



bn = α 2 ? α n ?1 = α n+1
n +1





an+1 ? β an = α n +1

L ( n = 1,2 , )







an+1 = β an + α
2

L ( n = 1,2 , ) .

L ①当 ? = p ? 4q = 0 时, α = β ≠ 0 , a1 = p = α + α = 2α , an+1 = β an + α n+1 ( n = 1,2 , ) 变

a a ?a ? 为 an+1 = α an + α n+1 ( n = 1,2 , ) . L 整理得, nn+11 ? nn = 1 , n = 1,2 , ) . L 所以, 数列 ? nn ? ( + α α ?α ? a 2α 成公差为 1 的等差数列,其首项为 1 = = 2 .所以 α α an = 2 + 1( n ? 1) = n + 1 . αn 于是数列 {an } 的通项公式为

an = ( n + 1)α n ;……………………………………………………………………………5 分

②当 ? = p 2 ? 4q > 0 时, α ≠ β ,
an+1 = β an + α n+1 β ? α n+1 = β an + α β ?α = β an +

β α α n+1 ? α n+1 ( n = 1,2 , ) . L β ?α β ?α

整理得
an+1 + ? α n+ 2 α n+1 ? = β ? an + L ? , ( n = 1,2 , ) . β ?α β ?α ? ?

? α n+1 ? 所 以 , 数 列 ? an + ? 成 公 比 为 β 的 等 比 数 列 , 其 首 项 为 β ?α ? ?

α2 α2 β2 α n+1 β2 =α + β + = .所以 an + = β n?1 . β ?α β ?α β ?α β ?α β ?α n +1 n +1 β ?α 于是数列 {an } 的通项公式为 an = .………………………………………………10 β ?α
a1 +

分 (Ⅱ)若 p = 1 , q =
1 1 ,则 ? = p 2 ? 4q = 0 ,此时 α = β = .由第(Ⅰ)步的结果得,数列 {an } 的 4 2
n

? 1 ? n +1 通项公式为 an = ( n + 1) ? ? = n ,所以, {an } 的前 n 项和为 2 ? 2? 2 3 4 n n +1 sn = + 2 + 3 + L + n ?1 + n 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 sn = 2 + 3 + 4 + L + + 2 2 2 2 2n 2n+1 1 3 n+3 以上两式相减,整理得 sn = ? n +1 2 2 2 n+3 所 以 sn = 3 ? n . ……………………………………………………………………………15 2 分 方法二: (Ⅰ)由韦达定理知 α ? β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以
a1 = α + β , a2 = α 2 + β 2 + αβ .

特征方程 λ 2 ? pλ + q = 0 的两个根为 α , β . ①当 α = β ≠ 0 时,通项 an = ( A1 + A2 n )α n ( n = 1,2 , ) 由 a1 = 2α , a2 = 3α 2 得 L
?( A1 + A2 )α = 2α ? ? 2 2 ?( A1 + 2 A2 )α = 3α ? 解得 A1 = A2 = 1 .故

an = (1 + n )α n .……………………………………………………5 分

②当 α ≠ β 时,通项 an = A1α n + A2 β n ( n = 1,2 , ) .由 a1 = α + β , a2 = α 2 + β 2 + αβ 得 L
? A1α + A2 β = α + β ? ? 2 2 2 2 ? A1α + A2 β = α + β + αβ ? ?α β , A2 = .故 解得 A1 = β ?α β ?α
an = ?α n +1 β n +1 β n+1 ? α n +1 + = . …………………………………………………………10 β ?α β ?α β ?α

分 (Ⅱ)同方法一.

3.

13 【解析】函数的定义域为 [ 0 , ] .因为 解析】

(本小题满分 15 分)求函数 y = x + 27 + 13 ? x + x 的最大和最小值.
y = x + x + 27 + 13 ? x = x + 27 + 13 + 2 x (13 ? x )
≥ 27 + 13

= 3 3 + 13
当 x = 0 时等号成立.故 y 的最小值为 3 3 + 13 .……………………………………………5 分 又由柯西不等式得
y2 =

(

x + x + 27 + 13 ? x

)

2

1? ?1 ≤ ? + 1 + ? ( 2 x + ( x + 27 ) + 3 (13 ? x ) ) = 121 3? ?2 所以 y ≤ 11 . ………………………………………………………………………………10 分 由柯西不等式等号成立的条件, 4 x = 9 (13 ? x ) = x + 27 , 得 解得 x = 9 . 故当 x = 9 时等号成立. 因 此
y











11.…………………………………………………………………………………15 分


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