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北京市海淀区2016年高三二模数学文试题 及答案解析


海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(文科)2016. 5
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 已知全集 U ={x | x ? 0} , M ? {x | x ? 1} 则 ? UM ? A. {x | x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} D. {x | x ? 0或x ? 1}

2. 数列 {an } 的首项 a1 ? 2 ,且 (n ? 1)an ? nan?1 ,则 a 3 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3. 已知命题 p 和命题 q ,若 p ? q 为真命题,则下面结论正确的是 A. ?p 是真命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 为真命题 D. (?p) ? ( ?q) 为真命题

4. 已知向量 a ? (1,2), b ? (2, t ) , 且 a ? b ? 0 ,则 | b |? A. 5 B. 2 2 C. 2 5 D. 5

5. 函数 f ( x) ? 2 x ? 2 x 的零点个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6. 在 ?ABC 中, cos A ? ,cos B ? , 则 sin( A ? B) ? A.

3 5

4 5

7 25

B.

9 25

C.

16 25

D. 1
y
A

2 2 AB 上 7. 如图, 抛物线 W : y 2 ? 4 x 与圆 C : ( x ? 1) ? y ? 25 交于 A, B 两点,点 P 为劣弧 ?

不同于 A, B 的一个动点,与 x 轴平行的直线 PQ 交抛物线 W 于点 Q ,则 ?PQC 的周长的取 值范围是 A. (10,14) B. (12,14) C. (10,12) D. (9,11)
O

Q

P

C

x

B

8.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,点 P,Q,R 分别是棱 A1 A,A1B1,A1D1 的中点,以
R

D1

C1

?PQR 为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个
正三棱柱的高为 A.

A1

Q

B1

P

D

C

2 2

B. 2

C.

3 3

D.

3 2

A

B

1 / 11

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知

2?i ? i ,其中 i 为虚数单位, a ? R ,则 a ? 1? a i

.
b a

频率 组距

10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况,抽查了 100 名同学, 统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示, 则这 100 名同学 中参加活动时间在 6 ~ 10 小时内的人数为 .

0.12

0.05 0.04
2 4

6

8

10 12 小时

11.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 y ? ? x ? 1 垂直,则该双曲线的焦距为 2 a

.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 12.若点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域内,则原点 O 与点 P 距离的取值范围是 ?y ?1 ?

.

13.在一次调查中,甲、乙、 丙、丁四名同学阅读量有如下关系:同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同, 同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和. 那么这四名同学按阅读量从大 到小的排序依次为 .

π 3 π π ) , B( ,1) ,C ( ,0) ,若这三个点中有且仅有两个点在函数 f ( x) ? sin ? x 的图象上,则正 14. 已知点 A( , 数 ? . . 6 2 2 4
的最小值为 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ,各项都是正数的等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? b3 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Sn .

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ?2sin x ? cos2 x . (Ⅰ)比较 f ( ) , f ( ) 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值.
2 / 11

π 4

π 6

17.(本小题满分 14 分) 已知长方形 ABCD 中 , AD ? 2,AB ? 2 , E 为 AB 中点,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE ,所得四棱锥

P ? BCDE 如图所示.
(Ⅰ)若点 M 为 PC 中点,求证: BM ? 平面 PDE ; (Ⅱ)当平面 PDE ? 平面 BCDE 时,求四棱锥 P ? BCDE 的体积; (Ⅲ)求证: DE ? PC .
D C
P D C E B

A

E

B

18.(本小题满分 13 分) 某家电专卖店试销 A、B、C 三种新型空调,销售情况如表所示: 第一周 第二周 10 12 8 第三周 15 13 12 第四周 第五周

A 型数量(台) B 型数量(台)
C 型数量(台)

11 10 15

A4
B4 C4

A5
B5 C5

(Ⅰ)求 A 型空调前三周的平均周销售量 ; (Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台,求抽到 的空调不是 B 型且不是第一周售出空调的概率? (Ⅲ)根据 C 型空调连续 3 周销售情况,预估 C 型空调连续 5 周的平均周销量为 10 台. 请问:当 C 型空调周销售量的方差最小时, 求 C4 , C5 的值;
2 (注:方差 s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,…, xn 的平均数) n

3 / 11

19.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 , a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 在 [1, ??) 上有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 若存在 x0 既是函数 f ( x ) 的零点,又是函数 f ( x ) 的极值点,请写出此时 a 的值. (只需写出结论)

20.(本小题满分 14 分) 已知曲线 C : 点 B, C . (Ⅰ)当点 B 坐标为 ( ?1,0) 时,求 k 的值; (Ⅱ)记 ?OAD 的面积 S1 ,四边形 ABCD 的面积为 S2 . (i) 若 S1 ?

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) , 直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A, D 两点, A, D 两点在 x 轴上的射影分别为 4 3

2 6 ,求 | AD | 的值; 3
S1 1 ? . S2 2

(ii)求证:

4 / 11

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学(文科) 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 2016.5

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. ?2 12. [1,2]

10. 58 13. 甲丁乙丙

11. 2 2 14. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 设数列 ?bn ? 的公比为 q , 因为 b1 ? a1 ? 2 ,所以 b2 ? b3 ? 2q ? 2q ? a3 ? 2 ? 12 .
2

……………………….2 分 ……………………….4 分 ……………………….7 分

解得 q ? 2 或 q ? ?3 (舍). 所以 bn ? b1qn?1 ? 2n . (Ⅱ)记 ?an ? 的前 n 项和为 Tn , ?bn ? 的前 n 项和为 H n , 所以 Tn ?

a1 ? an 2 ? 4n ? 2 n? n ? 2n 2 . 2 2

……………………….9 分

Hn ?

b1 (1 ? qn ) 2(1 ? 2n ) ? ? 2n?1 ? 2 . 1? q ?1
2 n?1

……………………….12 分

所以 Sn ? Tn ? Hn ? 2n ? 2

?2 .

……………………….13 分

16.解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? ?2sin x ? cos2 x

所以

π π π f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? 2 4 4 4

…………………2 分

π π π 3 f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? 6 6 6 2
5 / 11

…………………4 分

因为 ? 2 ? ?

3 π π , 所以 f ( ) ? f ( ) 2 4 6

…………………6 分

(Ⅱ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? (1 ? 2sin 2 x)

…………………9 分

? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1

1 3 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 所以 y ? 2(t ? ) 2 ? 因为对称轴 t ?

1 2

3 , 2

…………………11 分

1 , 2
…………………13 分

根据二次函数性质知,当 t ? ?1 时,函数取得最大值 3

17 解: (Ⅰ)取 DP 中点 F ,连接 EF , FM 因为在 ?PDC 中,点 F , M 分别是所在边的中点,所以 FM ? 又 EB ?

1 DC . …………………1 分 2
…………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………5 分

1 DC ,所以 FM ? EB , 2

所以 FEBM 是平行四边形,所以 BM ? EF , 又 EF ? 平面 PDE , BM ? 平面 PDE , 所以 BM ? 平面 PDE .

方法二: 取 DC 中点 N ,连接 MN,BN 在 ?PDC 中,点 N , M 分别是所在边的中点,所以 MN ? PD . 又 DN ? BE ,所以 DEBN 是平行四边形, 所以 DE ? BN 因为 NM ? NB ? N , DP ? DE ? D, 所以平面 BMN ? 平面 EDP 因为 BM ? 平面 BMN , 所以 BM ? 平面 PDE . …………………5 分 …………………1 分 …………………2 分 …………………3 分 …………………4 分

(Ⅱ)因为平面 PDE ? 平面 EBCD , 在 ?PDE 中,作 PO ? DE 于 O , 因为平面 PDE ? 平面 EBCD ? DE , 所以 PO ? 平面 EBCD . …………………7 分

6 / 11

在 ?PDE 中,计算可得 PO ?

6 3

…………………8 分 …………………10 分

1 1 1 6 3 所以 VP ? BCDE ? Sh ? ? (1 ? 2) ? 2 ? . ? 3 3 2 3 3
(Ⅲ)在矩形 ABCD 中,连接 AC 交 DE 于 I , 因为 tan ?DEA ? 2, tan ?CAB ? 所以 DE ? AC , 所以在四棱锥 P ? EBCD 中, PI ? DE , CI ? DE , 又 PI ? CI ? I ,所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC .

π 2 ,所以 ?DEA ? ?CAB ? , 2 2
…………………11 分 …………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

方法二: 由 (Ⅱ), 连接 OC . 在 ?DOC 中, cos ?ODC ?

3 2 3 , DC ? 2 , , DO ? 3 3

OC 2 ? DC 2 ? DO2 ? 2DC ? DO cos ?CDO ,得到 OC ?
所以 DC 2 ? DO 2 ? OC 2 ,所以 DO ? OC 又 PO ? OC ? O , 所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC .

2 6 3
…………………11 分 …………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

18 解: (I)(I) A 型空调前三周的平均销售量

x?

11 ? 10 ? 15 ? 12 台 5

…………………2 分

(Ⅱ)设抽到的空调不是 B 型且不是第一周售出的空调为事件 P1 所以 P 1 ?

…………………4 分 …………………7 分

10 ? 15 ? 8+12 3 ? 35 ? 30 ? 40 7

(Ⅲ)因为 C 型空调平均周销售量为 10 台, 所以 c4 ? c5 ? 10 ? 5 ? 15 ? 8 ? 12 ? 15 又s ?
2

…………………9 分

1 [(15 ? 10)2 ? (8 ? 10)2 ? (12 ? 10) 2 ? ( c4 ? 10) 2 ? ( c5 ? 10) 2 ] 5

7 / 11

化简得到 s ?
2

1 15 91 [2( c4 ? ) 2 ? ] 5 2 2
2

…………………11 分

注意到 c4 ? N ,所以当 c4 ? 7 或 c4 ? 8 时, s 取得最小值 所以当 ?

?c4 ? 7 ?c5 ? 8

或?

?c4 ? 8 2 时, s 取得最小值 ?c5 ? 7

…………………13 分

19.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 , 所以 f '( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) , 令 f '( x ) ? 0, 得 x1 ? …………………2 分

2 , x2 ? ?2 , 3

则 f '( x ) 及 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?2)

?2
0

2 ( ?2, ) 3
?

2 3

2 ( , ??) 3

?
?

0 极小值
…………………4 分

?
?

极大值

?

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ?2) , ( , ??) , 函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ? ,2) .

2 3

2 3

…………………6 分

(Ⅱ)要使 f ( x ) ? 0 在 [1, ??) 上有解,只要 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值小于等于 0 . 因为 f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? (3x ? a)( x ? a) , 令 f '( x ) ? 0 ,得到 x1 ? 当

a ? 0, x2 ? ?a ? 0 . 3

…………………7 分

a ? 1 时,即 a ? 3 时, f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增, f (1) 为 [1, ??) 上最小值 3
2 所以有 f (1) ? 0 ,即 1 ? a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 ,

所以有 1 ? a ? 3 ; 当

…………………9 分

a a a ? 1 时,即 a ? 3 时, f ( x ) 在区间 [1, ) 上单调递减,在 [ , ??) 上单调递增, 3 3 3 a 所以 f ( ) 为 [1, ??) 上最小值, 3 a a3 a3 a3 a f ( ) ? ? ? ?1 ? 0 , 所以有 f ( ) ? 0 ,即 3 27 9 3 3
解得 a ? ? 3

27 ,所以 a ? 3 . 5
8 / 11

…………………11 分

综上,得 a ? 1 .

法二: (Ⅱ)要使 f ( x ) ? 0 在 [1, ??) 上有解,只要 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值小于等于 0 . 因为 f (1) ? 1 ? a ? a 2 ? 1 ? a ? a 2 ,
2 所以当 a ? a ? 0 ,即 a ? 1 时 满足题意,

…………………8 分

当 a ? 1 时, 因为 f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? (3x ? a)( x ? a) , 令 f '( x ) ? 0 ,得到 x1 ?

a , x2 ? ?a , 3

因为 a ? 1 ,所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最小值为 f (1) , 所以 f (1) ? 0 ,根据上面得到 a ? 1 ,矛盾. 综上, a ? 1 . (Ⅲ) a ? 1 20.解: (Ⅰ)因为 B( ?1,0) ,所以 A(?1, y0 ) , 代入 …………………1 分 …………………13 分 …………………11 分

3 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ,解得 y0 ? , 2 4 3 1 . 2

…………………2 分

代入直线 y ? kx ? 1 ,得 k ? ?

…………………3 分

(Ⅱ)解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y2 ?1 ? ? ,所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 , 因为 ? 4 3 ? ? y ? kx ? 1
? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
又因为 S1 ?

…………………4 分

…………………6 分

1 1 1 | OE | (| x1 | ? | x2 |) ? ? 1? | x1 ? x2 |? | x1 ? x2 | , 2 2 2

…………………7 分

9 / 11

而 | x ? x |? 1 2 所以 S ? 1 1

96(2k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2
…………………8 分

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 , = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以

2 6 2k 2 ? 1 2 6 , = 3 ? 4k 2 3 2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 , 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3
…………………9 分

所以

所以 | AD |?

…………………10 分

法二: 解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ?1 , 因为 ? 4 ? ? y ? kx ? 1

所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,

…………………4 分

? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

…………………6 分

1 1? k2
2

,

…………………7 分

| AD |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2

2

96(2k 2 ? 1) …………………8 分 3 ? 4k 2

所以 S ? 1 | AD | ?d ? 1 1

2

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 2 6 = = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3
…………………9 分

所以

2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 , 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3
1 2

所以 | AD |?

…………………10 分

(Ⅲ)因为 S2 ? ( y1 ? y2 ) | x1 ? x2 | ,
10 / 11

…………………11 分

1 | x1 ? x2 | S1 1 2 ? ? , 所以 S2 1 ( y ? y ) | x ? x | y1 ? y2 1 2 1 2 2
而 y1 ? y2 ? kx1 ? 1 ? kx2 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ,

…………………12 分

…………………13 分

S1 1 3 ? 4k 2 3 1 ? ? ? ? 所以 S ?8k 6 6 2. 2 k ?2 2 3 ? 4k

…………………14 分

11 / 11


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