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2016年浙江经济职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年浙江经济职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? 0 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,则实数 m 的值为 ( )

A

.1

B.-1

C.2

D.-2

2.设全集为实数集 R,集合 A= {x | x ? 2} ,B= {x | x ? 3} ,则





A. A ? B =R

B. A ? B =R

C. A ? B ?

D. A ? B ?

n 3. lim 2 ? 3 的值等于 n ??

5 ? 3n ?1





A. 1

3

B.

2 5

C.-

1 3

D.-

1 8

4.三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c.若 A=60°,B=75°,a=
2 3 ,则

c 的值





A.等于 2

B.等于 4

C.等于 2 2

D.不确定

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5.将直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到直线 l ? ,则直 线 l与l ? 之间的距离为 A. () B.
5 5

7 5 5

C.

1 5

D.

7 5

6.6 名运动员站在 6 条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二 道,乙必须站在第五道或第六道,则不同排法种数为 A.144 B.96 C.72 D.48 ( ) ( )

7.已知直线 m 与平面α 相交于一点 P 则在平面α 内 A.存在直线与直线 m 平行,也存在直线与直线 m 垂直 B.存在直线与直线 m 平行,但不一定存在直线与直线 m 垂直 C.不存在直线与直线 m 平行,但必存在直线与直线 m 垂直 D.不存在直线与直线 m 平行,也不一定存在直线与直线 m 垂直

8.已知抛物线方程为 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, b 、 c ? R) .则“此抛物线顶点在直线 y=x 下方” 是“关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? x 有实数解”的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 ( B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上. 9.圆锥底面半径为 1,其母线与底面所成的角为 60°,则它的侧面积为;它的体积为.

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10.函数 f ( x) ? log1 ( x ? 3) 的定义域为;
2

若 f ( x) ? 1, 则 x 的取值范围是. 11.双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的焦点坐标为;其渐近线方程是. 3
x ? ? ) 的最小正周期为;在区间[-π,π]上.当 y 取得最小值时, 2 6

12.函数 f ( x) ? cos(

x 的值为.
13.不等式 4 x ? 1 ? 0 的解集为;若不等式 4 x ? 1 ? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范 围是. 14.等差数列 {an } 的前3项和为 21,其前 6 项和为 24,则其首项 a1 为;数列

{| an |} 的前 9 项和等于.
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知复平面内点 A、B 对应的复数分别是 z1 ? sin 2 ? ? i, z 2 ? ? cos2 ? ? i cos2? ,其 中

? ? (0,2? ),设AB 对应的复数为 z.
(Ⅰ)求复数 z; (Ⅱ)若复数 z 对应的点 P 在 y=

1 x 上,求 ? 的值. 2

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16.(本小题满分 14 分) 已知等比数 ?an ?的首项 a1 ? 1 ,数列 ?bn ? 满足首项 b1=a(a 为常数).且

bn ? an ? an ?1

(n ? 1,2,3, ?)
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn(写成关于 n 的表达式).

17.(本小题满分 15 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分别为棱 PD、PC 的中点. (1)求证:PD⊥平面 AMN; (2)求三棱锥 P—AMN 的体积; (3)求二面角 P—AN—M 的大小.

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18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在原点,其一条准线方程为 x=-4,它的一个焦点和抛物线 y2=4x 的焦点重合. (1)求该椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点且斜率为 k(k≠0)的直线 l 和椭圆分别交于点 A、B,线段 AB 的垂直平分线和 x 轴相交于点 P(m,0),求实数 m 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 浬/小时,在甲 船 从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛出发,朝北偏东θ (其中θ 为锐角, 且 tg? ?

1 ) 的方向作匀速直线行驶,速度为 10 5 浬/小时.如图所示. 2

(1)求出发后 3 小时两船相距多少浬? (2)两船在航行中能否相遇?试说明理由.

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20.(本小题满分 13 分) 集合 A 是由适合以下性质的函数 f (x) 组成的,对于任意的 x ? 0, f ( x) ? [?2,4) ,

且f ( x)在[0,??) 上是增函数.
1 (1)试判断 f 1 ( x) ? x ? 2及f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0)是否在集合 A中 ?若不在集合 A 2 中,

试说明理由; (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f ( x) ,不等式

f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 是否对于任意的 x ? 0 总成立?证明你的结论.

参考答案及解析
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A 二、填空题(每小题 5 分,其中第一空 3 分,第二空 2 分;共 30 分) 9.2π;

3 ? 3

10. {| x | x ? 3} ;(3, ) 11. (?2,0) ; y ? ? 3x 14.9; 41

7 2

12.4π;-π

13. {x | x ? 0} ; (??,?1] 三、解答题(共 80 分)

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15.(本小题满分 12 分) 解:(1) z ? z 2 ? z1 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? i(cos2? ? 1) ……………………3 分

? ?1 ? 2i sin 2 ? ………………5 分
(2)点 P 的坐标为 (?1,?2 sin 2 ? ) ………………6 分 由点 P 在直线 y ?

1 1 x 上,即 ? 2 sin 2 ? ? ? .………………9 分 2 2

? sin 2 ? ?

1 1 , 则 sin ? ? ? 4 2

?? ? (0,2? ),?? ?

? 5? 7? 11?
6 , 6 , 6 , 6

. ……………………12 分

16.(本小题满分 14 分) 解:(1)? a1 ? 1, b1 ? a, 又b1 ? a1 ? a2 , ? a 2 ?

b1 ?a a1

?{an } 成等比数列,? a ? 0 且公比 q=a.……………………3 分
因此,数列 {an } 的通项公式为: an ? a1q n?1 ? a n?1 (n ? 1,2,?) …………5 分 (2)由(1)知, an ? a n?1 , an?1 ? a n ,

?bn ? an an?1 ? a n?1a n ? a 2n?1 ,……7 分

bn?1 a 2 n?1 ? 2 n?1 ? a 2 (常数) bn a
即 {bn } 是以 a 为首项,a2 为公比的等比数列,……10 分

? ?n (a ? 1) ? ? …………14 分 S n ? ?? n (a ? ?1) ? a(1 ? a 2 n ) ? (a ? ?1) ? ? 1? a2
17.(本小题满分 15 分) (1)证明:∵ABCD 是正方形,∴CD⊥AD

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∵PA⊥底面 ABCD ∴AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影, ∴CD⊥PD……………………3 分 在△PCD 中,M、N 分别是 PD、PC 的中点, 则 MN//CD,∴MN⊥PD 在△PAD 中,PA=AD=2,M 为 PD 的中点. ∴AM⊥PD 则 PD⊥平面 AMN……………………………………5 分 (2)解:∵CD⊥AD,CD⊥PD ∴CD⊥平面 PAD. ∵MN//CD,∴MN⊥平面 PAD 又∵AM ? 平面 PAD ∴MN⊥AM,∠AMN=90°. 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2,M 为 PD 的中点. ∴AM=PM= 2 . 又 MN=

1 CD=1 2

? S ?AMN ?

1 2 AM ? MN ? . ……………………8 分 2 2

∵PM⊥平面 AMN, ∴PM 为三棱锥 P—AMN 的高.

V三棱锥 P ? AMN ?

1 1 S ?AMN ? PM ? .…………………………10 分 3 3

(3)解:作 MH⊥AN 于 H,连接 PH ∵PM⊥平面 AMN,∴PH⊥AN ∴∠PHM 为二面角 P—AN—M 的平面角…………13 分 ∵PM⊥平面 AMN,∴PM⊥MH. 在 Rt△AMN 中, MH ?

AM ? MN 2 ? AN 3

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在 Rt△PMH 中, tg (?PHM ) ?

PM ? MH

2 2 3

? 3

? ?PHM ? 60?

则二面角 P—AN—M 的大小为 60°………………15 分

18.(本小题满分 13 分) 解:(1)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为(1,0).……………………1 分

x2 y2 设椭圆的方程为: 2 ? 2 ? 1 a b

a2 (a ? b ? 0) 由题意得 ? 4 …………2 分 c

又 c ? 1,? a 2 ? 4.从而b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 所求椭圆方程为: (2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 将其代入椭圆方程,得 3x 2 ? 4k 2 ( x ? 1) 2 ? 12

x2 y2 ? ? 1. ……5 分 4 3

整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ……7 分 显然 k 可以是不为 0 的任意实 数 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,AB 中点 M ( x0 , y0 ) 则 x0 ?

4k 2 . 3 ? 4k 2

y 0 ? k ( x0 ? 1) ? k (

4k 2 3k ? 1) ? ? ………………9 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ) k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

AB 的垂直平分线方程为: y ?

k2 k2 ,即m ? 令 y ? 0, 得x ? ……………………11 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
?k ? 0 ? m ? 0且m ? 1 3m 1 ?k 2 ? ? 0,? 0 ? m ? …………13 分 4 1 ? 4m 4

19.(本小题满分 13 分) 解:以 A 为原点. BA 所在的直线为 y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.

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设在 t 时刻甲、乙两船分别在点 P( x1 , y1 ) ,

Q( x2 , y2 ) 的位置.
则 x1 ? 15 2t cos45? ? 15t, y1 ? x1 ? 15t ……2 分
1 2 5 5 由 tg? ? 可得. cos? ? , , sin ? ? 2 5 5

直线 BQ 的方程为 y ? 2 x ? 40 .

? 1 x 2 ?| BQ | cos( ? ? ) ?| BQ | sin ? ? 10 5t ? ? 10t . 2 5

y2 ? 2x2 ? 40 ? 20t ? 40. ………………5 分
(1)令 t ? 3 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
| PQ |? (45 ? 30) 2 ? (45 ? 20) 2 ? 850 ? 5 34 .

即两船出发后 3 小时,相距 5 34 浬.……………………8 分 (2)射线 AP 方程为 y ? x( x ? 0) ,射线 BQ 的方程为 y ? 2 x ? 40( x ? 0) 它们的交点 M(40,40).……………………9 分 若甲、乙两船相遇,则应在 M 点处. 此时 | AM |? 40 2 ? 40 2 ? 40 2 .甲到达 M 点所用时间为:
t甲 ? | AM | 15 2 ? 8 ? (小时).………………10 分 15 2 3 40 2

| BM |? (40 ? 0) 2 ? (40 ? 40) 2 ? 40 5 .乙到达 M 点所用时间为:
t乙 ? 40 5 10 5 ? 4 (小时)……12 分

? t甲 ? t乙 ,?甲、乙两船不会相遇.……13 分

20.(本小题满分 13 分) 解:(1)函数 f1 ( x) ? x ? 2 不在集合 A 中.………………3 分 这是因为当 x ? 49 ? 0, f1 (49) ? 5 ? 4. 不满足条件:…………5 分

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1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x 在集合 A 中. …………………………8 分 2

(2)? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 4 ? 6 ? ( 1 ) x ? 4 ? 6 ? ( 1 ) x ? 2 ? 8 ? 12 ? ( 1 ) x ?1 …10 分
2 2 2

= 6 ? ( 1 ) x [2 ? 1 ? 1 ? ( 1 ) 2 ]
2 2 2

1 1 ? 6 ? ( ) x (? ) ? 0 2 4
? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意 x ? 0 总成立.……………………13 分


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