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一元二次方程判别式与韦达定理


一元二次方程判别式与韦达定理
知识归纳:
1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac 当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根, 当△<0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是 x

1,x2, 那么 x1 ? x2
??

c b, x1 x 2 ? a a

(2)如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=-P, x1x2=q (3)以 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式 ax2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两 个根是 x1,x2,那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).

经典例题:
【例 1】不解方程,判定方程根的情况

(1)16x2+8x=-3

(2)9x2+6x+1=0

(3)2x2-9x+8=0

(4)x2-7x-18=0

【例 2】当 m 取什么值时,关于 x 的方程 x (1) 有两个相等实根;

2

? 2(2m ? 1) x ? (2m ? 2) 2 ? 0 。
(3)没有实根。

(2)有两个不相等的实根;

1

【例 3】求证:无论 m 取何值,方程 9 x

2

? (m ? 7) x ? m ? 3 ? 0 都有两个不相等的实根。

【例 4】当 m 为什么值时,关于 x 的方程 (m

2

? 4) x 2 ? 2(m ? 1) x ? 1 ? 0 有实根。

【例 5】:已知 2x -3x-1=0 的根是 x1,x2 求|x1-x2|的值. 分析:∵由二次根式的性质

2

a 2 ?| a | , 反 之 | a |? a 2 , 因 此 将 | x1 ? x2 | 可 化 为

( x1 ? x 2 ) 2 求.
解: x1 ? x 2 ?

3 1 , x1 , x 2 ? ? 2 2
2 x12 ? 2 x1 x 2 ? x 2 ? 2 x12 ? 2 x1 x 2 ? x 2 ? 4 x1 x 2

| x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ?

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

9 1 9 17 17 ? 4 ? (? ) ? ?2 ? ? 4 2 4 4 2
2

【例 6】 已知关于 x 的一元二次方程.

1 2 x 2 ? 2(m ? ) x ? m 2 ? 2 ? 0的两个根是 x1 , x 2 , 且x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? 12求m的值 2

【例 7】: 已知 m 是正实数,关于 x 的方程 2x -mx-30=0 的两根是 x1,x2,且 5x1+3x2=0 求 m 的 值. 解:由根与系数间的关系可得

2

x1 ? x 2 ?

m ① 2

x1 ? x2 ? ?15 ②
由已知条件 5x1+3x2=0 ③

m 解:①③组成的方程组 2 5 x1 ? 3 x 2 ? 0 x1 ? x 2 ?
3 x1 ? ? m 4 解得: 将方程组的解代入②得 5 x2 ? m 4

3 5 (? m) ? ( m) ? 15 4 4 15 ? m 2 ? ?15 16 m 2 ? 16
m=4 或 m=-4 ∵m 是正实数 ∴m=4

3

探索与创新: 【问题一】已知关于 x 的方程 k 2 x 2 ? (2k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 、 x2 , 问是否存在实数 k ,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在, 请说明理由。

? ?k ? 0 ? 2 2 略解: ?? ? ( 2k ? 1) ? 4k ? 0 ? 2k ? 1 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 0 k ?
∴不存在。

? ?k 2 ? 0 ? 1 ? 化简得 ?k ? 4 ? 1 ? k? ? 2 ?

【问题一】如图,某校广场有一段 25 米长的旧围栏,现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边, 围成一块 100 平方米的长方形草坪(如图 CDEF,CD<CF)已知整修旧围栏的价格是每米 1.75 元,建新 围栏的价格是每米 4.5 元。 (1)若计划修建费为 150 元,能否完成该草坪围栏修造任务? (2)若计划修建费为 120 元,能否完成该草坪围栏修建任务?若能完成,请算出利用旧围栏多少米; 若不能完成,请说明理由。
A C F B

D

E

略解:设 CF=DE= x ,则 CD=EF=

100 x 900 x

问题二图

修建总费用为: 1.75 x ? 4.5 x ? 4.5 ? 2 ? 100 x = 6.25 x ?

条件是:10< x ≤25

900 ? 150 ? x =12 ∴能完成 x 900 ? 120 ? 6.25x 2 ? 120x ? 900 ? 0 (2) 6.25 x ? x
(1) 6.25 x ? ∵△<0 此方程元实根 ∴不能完成

课堂练习

4

1、方程 x ? 2 3x ? 3 ? 0 的根的情况是(
2



A 有两个不等的有理实根 C 有两个不等的无理实根
2

B 有两个相等的有理实根 D 有两个相等的无理实根 )

2、已知 x1 , x2 是方程 2 x ? 3x ? 4 ? 0 的两个根,则( A C

3 , x1 x2 ? 2 2 3 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?2 2 x1 ? x2 ? ?
2

B D

x1 ? x2 ?

3 , x1 x2 ? ?2 2 3 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2


3、已知方程 x ? 2 2 x ? 2 ? 0 ,则此方程( A 无实数根 C 两根之积为 2
2

B 两根之和为 2 2 D 有一根为 2 ? 2

4、已知 x1 , x2 是方程 2 x ? 3x ? 1 ? 0 的两个根,则

1 1 ? 的值为( x1 x2



A 3

B

-3

C

?

3 2

D

3 2


5、若将二次三项式 x2 ? px ? 6 因式分解,分解后的一个因式是 x-3,则 p 的值是( A -5 B -1 C
2

1

D

5 )

6、已知 x1 , x2 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两个根,那么 x1 x2 的值是( A -4 B 4 C
2

-3

D

3 )

7、在一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中,若 a 与 c 异号,则方程( A 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 B D 有两个相等的实数根 根的情况无法确定 )

8、已知一元二次方程的两根分别为 x1 ? 3, x2 ? ?4 ,则这个方程为( A C

( x ? 3)( x ? 4) ? 0 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0

B D
2

( x ? 3)( x ? 4) ? 0 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0

9、关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 ( )

5

A

k?

4 3

B

4 k ? 且k ? 1 3

C

k?

4 3

D

k?

4 3

10、若关于 x 的一元二次方程 (m ? 2)2 x2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围为( A ) B

m?

4 3

m?

4 3

C

4 4 m ? 且m ? 2 D m ? 且 m ? 2 3 3
?

11 、 已 知 一 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a 、 b 、 c , ∠ B=90

,那么关于 x 的方程

a( x2 ?1) ? 2cx ? b( x2 ? 1) ? 0 的根的情况为(
A C 有两个不相等的实数根 没有实数根
2



B 有两个相等的实数根 D 无法确定

12、设 x1 , x2 是方程 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两个根,则

1 1 ? = x1 x2

13、已知关于 x 的方程 x2 ? 2(m ? 2) x ? m2 ? 0 有两个实数根,且两根的平方和等于 16, 则 m 的值为 14、已知方程 x2 ? (1 ? 2) x ? 2 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则 x12 ? x22 的值为 15、关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (3m ? 1) x ? m ? 0 ,其根的判别式的值为 1,求 m 的值及 该方程的根。

课后作业

判别式:
一、填空题: 1、下列方程① 是

x 2 ? 1 ? 0 ;② x 2 ? x ? 0 ;③ x 2 ? x ? 1 ? 0 ;④ x 2 ? x ? 0 中,无实根的方程

2

2、已知关于 x 的方程 x

? m x ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是

。 的取值范围

3、如果二次三项式 3x 是 。
2

2

? 4 x ? 2k 在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,则 k

4、在一元二次方程 x

? bx ? c ? 0 中 (b ? c) ,若系数 b 、 c 可在

1、2、3、4、5 中取值,则其中有

6

实数解的方程的个数是 二、选择题: 1、下列方程中,无实数根的是( A、 x ? 1 ? 1 ? x ? 0



) C、 x ? 1 ? 2 ? 0 D、 x ? 3x ? 2 ? 0
2

B、 2 y ? 6 ? 7

y

2、若关于 x 的一元二次方程 (m ? 2) 是( A、 m )

2

x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,则 m 的取值范围
3 且 m ≠2 4 3 4

?

3 4
2

B、 m ≤

3 4

C、 m

?

D、 m ≥ )

且 m ≠2

3、在方程 ax

? bx ? c ? 0 ( a ≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程(
B、有两个相等实根 C、没有实根

A、有两个不等实根

D、无法确定

三、试证:关于 x 的方程 mx

2

? (m ? 2) x ? ?1必有实根。

四、已知关于 x 的方程 x

2

? m x ? 2m ? n ? 0 的根的判别式为零,方程的一个根为 1,求 m 、 n 的值。

五、已知关于

x

的方程

x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 ? 2 ? 0

有两个不等实根,试判断直线

y ? (2m ? 3) x ? 4m ? 7 能否通过 A(-2,4) ,并说明理由。

六、已知关于 x 的方程 x

2

? 2(m ? 2) x ? m 2 ? 0 ,问:是否存在实数 m ,使方程的两个实数根的平

方和等于 56?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

7

七、已知 n >0,关于 x 的方程 x

2

? ( m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的正实根,求 4 n

的值。

韦达定理: 一、 解答下列问题 1. 已知 x1,x2 是方程 x -2(2m+1)x+3m -4=0 的根,且
2 2

1 1 ? ? 2 .求 m 的值. x1 x 2

2. 已知方程 2x +mx-2m+1=0 的两个根的平方和是 7

2

1 .求 m 的值. 4

3. 已知方程 x +(2k+1)x+k -2=0 的两实根的平方和是 11.求 k 的值.

2

2

4. 已知方程(m+2)x -8mx-(2m-1)=0 的两根互为负倒数.求 m 的值(提示:两根互为负倒数, 是两根之积是-1).

2

8

二、求以下列两数为根的方程 1.

7 ?2 7 ?2 , 2 2

2. ?

3 2 , 2 3

三、不解方程求作一个新的一元二次方程,使它的根分别满足下列条件 2 1. 已知方程 4x -3x-1=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的相反数.

2. 已知方程 6x -3x-2=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的倒数.

2

3. 已知方程 2x -5x=2,求作一个新方程,使它的根是原方程根的平方.

2

4. 已知方程 2x =7-5x,求作一个新方程,使它的根比原方程的根大 3.

2

5. 已知方程 2x -x-7=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的 3 倍.

2

6. 已知方程 x -3x+1=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的平方的倒数.

2

9


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