当前位置:首页 >> 数学 >>

10.2.1排列与排列数公式(第一课时)好


1、掌握排列的概念; 2、正确理解排列的意义; 3、学会判断某些问题是否是排列问题; 4、理解排列数的定义; 5、理解排列数公式的推导思想; 6、掌握排列数、全排列和阶乘公式; 7、正确应用排列数公式。

复习提问:
1.什么是分类计数原理,分步计数原理? 2.从甲村到乙村有2条旱路,一条水路,从乙村 到丙村有南、北两条路,当从甲村走水路到乙村 时,再从乙村到丙村就只能走南路,问从甲村经 过乙村到丙村共有多少种不同的走法? 解:不同的走法分为两类:第一类由甲村走水 路到乙村,再由乙村到丙村:只有1种走法。 第二类由甲村走旱路到乙村,再由乙村到丙村: 有2×2=4种走法。 由分类计数原理:1+4=5 答:共有5种不同的走法。

问题引入:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天 的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同 学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 探索研究 解决这个问题需分2个步骤:
第一步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人 有3种方法; 第二步,确定参加下午的同学,只能从余下的 2人中选, 有2种方法; 根据分步计数原理,共有3×2=6种不同的方法. 相应的排法:
甲 甲 乙 丙 乙 乙 甲 丙

丙 丙

甲 乙

我们把上面问题中被选的对象 (同学)叫做元素。

上述问题就是从3个不同的元素a, b,c中任取2个,然后按照一定的顺 序排成一列,求一共有多少种不同的 排列方法。 不同的排列为: ab,ac,ba,bc,ca,cb

问题2:从a、b、c、d这4个字母中,取出3个按 照顺序排成一列,共有多少种不同的排法?
解决这个问题,需分3个步骤: 第一步,先确定左边的字母,在4个字母中任取1个, 有4种方法; 第二步,确定中间的字母,从余下的3个字母中去取, 有3种方法; 第三步,确定右边的字母,只能从余下的2个字母中 去取,有2种方法. 根据分步计数原理,共有4×3×2=24种不同的排法

不同排法如下图所示:

cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
b c a
所有的排列为:
abc cad acd cda bac dac bcd dca cab acb cbd adc dab bca dbc bdc abd cba adb cdb bad dba bda dcb

d

a c b

d

a b c

d

a b d

c

我们把上面问题中被取的对象 (字母)叫做元素。于是,所提出 的问题就是从4个不同的元素a、b、 c、d中任取3个,然后按一定的顺 序排成一列,求一共有多少种不同 的排列方法。

一、排列的定义:
一般地说,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列。
排列的定义中包含两个基本内容: 一是“取出元素”;二是“按照一定顺序排 列”. “一定顺序”就是与位置有关,这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标 志.

注 意: 1、我们研究的排列问题中,不能有重复元素 的排列,也不能重复抽取相同的元素; 2、两个排列相同的充要条件是什么? 1)元素全相同

2)元素排列顺序也完全相同 3、概念中,如果m<n,这样的排列只是选一部 分元素作排列,叫做选排列;如果m=n,这样的 排列是取出所有元素作排列,叫做全排列; 4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏, 最好采用上面两题中的方法——“树形图”.

例题讲解:
例1:判断下列几个问题是不是排列问题?
①从班级5名团员中选出3人参加下午的团委会; ②③从2、3、5、7、11中任取两个数相除; ③20位同学互通话一次; ④20位同学互通一封信; ⑤以圆上的10个点为端点作弦; ⑥以圆上的10个点为起点,且过另一点的射线.

排列问题的有:② 、③ 、④ 、 ⑥

例2:在甲、乙、丙、丁四位候选人中,选举出 正、副班长各一人,共有几种不同的选法?写 出所有可能的选举结果.

解:选举过程可以分为两个步骤: 第一步,先选出正班长,4人中任何一人都可能当选, 有4种选法; 第二步,选出副班长,余下3人中任何一人都可能当选, 有3种选法. 根据分步计数原理,不同选法共有:4×3=12(种). 其选举结果是: 甲乙 丙甲 甲丙 丙乙 甲丁 丙丁 乙甲 丁甲 乙丙 丁乙 乙丁 丁丙

课堂练习:
1:下列问题中属于排列问题的是 ①、③、④、⑤ . ①有10个车站,共需准备多少种车票? ②有10个车站,共有多少种不同的票价? ③平面内有10个点,共可作多少条射线? ④10个同学,每两人互通信一次,通信多少次? ⑤从10名学生中选出2名分别参加数学和物理竞 赛,有多少种选派方案?

2:北京、上海、广州 三个民航站之间的直达 航线,需要准备多少种不同的飞机票?

3 ? 2 ? 6(种)
不同排法如下图所示:
上海 北京 上海 广州 上海 上海 北京 广州 广州 广州 广州 北京 上海 北京 上海

北京
北京 北京

广州 上海 广州

3: 下列问题是排列问题吗?
(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法, 其不同结果有多少种? 不是排列
(2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法, 其不同结果有多少种? 是排列 (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标, 可得多少个不同的点的坐标? 是排列 (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最 多可确定多少条射线?可确定多少条直线? 是排列 不是排列 (5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种?

是排列

二、排列数:
1、排列数的定义:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元 m 素的排列数. 用符号 A 表示 n
问题1:求从3个不同的元素中取出2个元素的排 列数. 记为 A2 ? 3 ? 2 ? 6
3

问题2:求从4个不同的元素中取出3个元素的排 列数. 记为 A3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
4

排列和排列数的不同 :
“一个排列”是指:从n个不同元 素中,任取m个元素按照一定的顺序排 成一列,不是数; “排列数”是指从n个不同元素中, 任取m个元素的所有排列的个数,是一 个数 .

思考:从n个不同的元素中取出2个元素的排列

数 A 是多少? A 呢? 假定有排好顺序的2个空位,从n个不同元素 a1,a2,……,an中任意取2个去填空,一个空位 填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反过 来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到。 就是说“一个排列”和“一种填法”是一一对应 2 的。所以不同填法的种数就是排列数 . An

2 n

3 n

A :

2 n

第 1位

第 2位

n

A ? n (n ? 1) n-1 同理 A ? n (n ? 1) (n ? 2)
n 3 n

2

2、排列数公式的推导: m 求 An :从n个不同的元素中取出m个元素
的排列数.
第一位 第二位 第 m位

……

假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素 a1,a2,……,an中任意取m个去填空,一个空位 填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反过 来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到。 m 所以不同填法的种数就是排列数 An .

求A

m n

第一位 第二位

第 m位

……
n n-1 … n-m+1

分m步:

第一步:从n个元素中任选一个元素填第一位, 有n种填法;
第二步:从余下的(n-1)个元素中任选一个元 素填第二位,有(n-1)种填法; …… 第m步:从余下的(n-m+1)个元素中任选一个 元素填第m位,有(n-m+1)种填法;

N ? n ? n ?1?? n ? 2? ??? ? n ? m ?1? ? A

m n

排列数公式:

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2)

(n ? m ? 1)

注:
1、n,m∈N*,m≤n; 2、特征:公式右边中第一个因数是n,后面的 每个因数都比它前面一个因数少1,最后一个 因数为n-m+1,共有m个因数相乘.

3、全排列:

n个不同元素全部取出的一个
排列,叫做n个不同元素的全排列。

此时在排列数公式中, m = n

A ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ????? 3 ? 2 ?1
n n

4、阶乘:

正整数1到n的连乘积,叫做n的 n 阶乘。记作 n! 即:An ? n!

A

m n

? n ( n ? 1) ( n ? 2)

( n ? m ? 1)

n (n ? 1) (n ? 2) ? (n ? m ? 1) ? (n ? m) ? ? ? 2 ?1 ? ( n ? m) ? ? ? 2 ? 1 n! n! m ? 即: n ? (n ? m) !

A

(n ? m) !

(1)规定 0! ? 1 (2)此公式常用于计算器计算或对含 有字母的排列数的式子变形或论证。

n! A ? (n ? m)!
m n

排列数公式: m An ? n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1)

点评:①排列数公式的推导是“建构”框图填
空来解决的,这是一种简单的建模方法; ②一般情况下,第一个公式常用于计算,第二个 公式常用于化简、证明; ③对于“m、n∈N+ ,m≤n”这个条件要留意,往 往是一些含有未知数的排列数计算、解方程等问 题的隐含条件.

练习:化简 () 1 5? 4 !

答: ?1? 5!

? 2 ?? 5 ? 4 ?!
(3) 42 ? 5 !

(2)20!

(3)7!
(4)( n ? m)!

? 4( ? n ? m)(n ? m ? 1)!

2 1 1 1 n ? 2 n (5) ? ? (5) n ! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)!

例3:计算:
(1) A16 (2) A6
6 3

16?15?14 ? 3360

6! ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720
12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ?5 12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6

A (3) A

8

12 7 12

例4:求下列各式中n 的值
(1)A
4 2 n ?1

? 140 A (2)3A ? 4 A
3 n

n 8

n ?1 9

解: (1)由排列数公式得
(2n ? 1)2n(2n ?1)(2n ? 2) ? 140n(n ?1)(n ? 2)

整理得4n ? 35n ? 69 ? 0
2

23 (舍去) 解得 n ? 3 或 n ? 4

?n ? 3

解: (2)由排列数公式得
3 ? 8! 4 ? 9! ? (8 ? n)! (10 ? n)! 4?3 约分得 1 ? (10 ? n)(9 ? n)

即n ? 19n ? 78 ? 0
2

解得 n ? 6 或 n ? 13

n ? 8 ?n ? 6

m 例5求证: n?1

A

? A ? mA
m n

m?1 n

n! n! ? m? 证明:右边= (n ? m)! (n ? m ? 1)!

(n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ? (n ? m ? 1)! (n ? 1)n ! (n ? 1)! ? ? (n ? m ? 1)! ?(n ? 1) ? m?!

?A

m n?1

? 左边.

即证.

注:n· (n-1)!=n! , (m+3)·(m+2)!=(m+3)! ……

A 例6求值:

n? 3 2n

?A

n?1 4

?n ? 3 ≤ 2n 解: ? ?n ? 1 ≤4 ?n ? N ?

? n ? 3.

?A

n ?3 2n

?A

n?1 4

?A ?A
6 6

4 4

? 720 ? 24 ? 744

练习:应用公式解以下各题:
(1) A ? 56,求n
2 n

(2) A84 ? 2 A82 ? ? A ?A (3)已知 ? 89,求n 5 An
7 n 5 n

2A ? A (4) ?? 6!? 5! 4 5 4 A8 ? 2 A8 (5) 8 ?? 5 A8 ? A9
5 7 6 6

(6)3 A ? 2 A
3 x

2 x ?1

? 6 A ,求x
2 x

课堂小结:
1、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列; 2、当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同时称两个排列相同; 3、解题时要深挖具体题目中的“有序”条件; 4、排列、排列数、全排列和阶乘; 5、掌握排列数公式,并能利用它计算排列数。


相关文章:
10.2 排列与组合
· 2· 1=n!.排列数公式写成阶乘的形式为 An =...排列方法共有 A.12 种 答案 A 解析 先排第一列...(组合)或进行分组,再 对取出的元素或分好的组进行...
10.2 排列与组合
10.2 排列与组合_设计/艺术_人文社科_专业资料。1...数,用___表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 ...待整个问题排好 之后,再考虑它们“内部”的排列. ...
第十章 10.2排列与组合
第十10.2排列与组合_高三数学_数学_高中教育_...排成一列 为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数...组合数,用 Cm n 表示. 3.排列数、组合数的公式...
组合(第一课时)优质课教案
组合(第一课时)教学目标: 1、理解组合的概念,正确区分排列、组合问题; 2、...m 3、排列数计算公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)(m ? ...
10.2排列与组合10.21
10.2排列与组合10.21_数学_高中教育_教育专区。排列(1)教学目标: 1. 理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导; 2. 能用“树型图”写出一个排列中所有...
§10.2 排列与组合
§ 10.2 排列与组合 1.排列与组合的概念 名称 ...组合数,用 Cm n 表示. 3.排列数、组合数的公式...先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A3...
第一课时 排列组合问题的解题方法(一)
1 若 7 位同学站成一排 (1)甲、乙两同学...一个元素,时一共有 2 个元素,∴一共有排法种数...解: (1)先将男生排好,有 A5 种排法;再将 5 ...
10.2排列与组合讲义
三、排列数、组合数的公式及性质 1.排列数公式: ...8 名学生 2 位老师站成一排合影,2 位老师不...“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有...
《排列》第一课时参考教案
1.2.1 排列(第一课时) 教学目标: 理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导 教学重点: 理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导 教学过程 一、复习...
2016_2017学年高中数学1.2.1.1排列与排列数公式学案
第 1 课时 排列与排列数公式 1.理解排列的概念,...(4)选 10 人组成一个学习小组; (5)选 3 个人...【提示】 An的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,...
更多相关标签: