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重庆市万州高级中学高2005级月考(九月号)数学检测题(答案)


重庆市万州高级中学高 2005 级“月考(九月号) ”检测题

数学试卷(参考答案)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 A ? B ? {1,2,3} , A ? {1} ,则 B 的子集最多可能有( D A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 )

2.函数 y ? ? 1

? x 2 (?1 ? x ? 0) 的反函数是( C ) . A. y ? 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) C. y ? ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 3. 设 f ( x) ? log2 ( x ? A. B. y ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) D. y ? ? 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) ( B ) D.2 )

x 2 ? 1) ,则 f ?1 (0) ?
B. 0 C. 1

?1

4.设集合 M ? {x | A. ?

x n ?1 ? Z } , N ? {n | ? Z } ,则 M ? N ? ( C 2 2
B.M C.Z D.{0}

5.用反证法证明命题:“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为 ( B ) A. a,b 都能被 5 整除 B. a,b 都不能被 5 整除 C. a,b 不都能被 5 整除 D. a 不能被 5 整除 6.方程 mx ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,则( A )
2

A. m ? 1

B. 0 ? m ? 1

C. m ? 1 B )

D. 0 ? m ? 1 或 m ? 0

2 7.“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ? 1 或 x ? 4 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.点( a, b )在函数 y ? f (x) 的图象上,则下列各点必在其反函数图象上的是( D ) A. a, f (
?1

( ( ( (a) ) B. f ?1 (b), b ) C. f ?1 (a), a ) D. b, f ?1 (b) )

9. 已知方程 10 ? x ? 3, lg x ? x ? 3 的根分别为 ? 和 ? , ? + ? 的值是( A ) 则
x

A.3

B.6

C.12

D.0

第 1 页 共 6 页

10.已知 f (x) 是定义在(0,3)上的函数, f (x) 的图象如图 所示,则不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是( C ) A. (0,1) ? (2,3) C. (0,1) ? ( B. (1,

y

?

?
2

) ? ( ,3) 2 2

?

1 O

.2 . 3

.

x

,3) 1 2

D. (0,1) ? (1,3)

11.函数 f ( x) ? ? 2 x ? 1( x ? ? ) 的反函数( D) . A.在 [?

1 ,+∞)上是增函数 2

B.在 [?

1 ,+∞)上是减函数 2

C.在 (?? , 0] 上是增函数

D.在 (?? , 0] 上是减函数

12.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x>2 时,f(x)单调 递增.如果 x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值( C) . A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
2

D.可正可负

13.已知 f(x+199)=4x +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为__2__. 14.若 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 3

2 (0, ) ? (1, ??) . 3
的图象关于直线 y=x 对称, 则

15. 函数 f (x) 的图象与 g ( x ) 的递减区间是 (0,1]

1 ? ( ) 2x 2


f (? x 2 ? 2x)

16.对于函数 f ( x) ? x 2 ? lg( x ?

x 2 ? 1) 有以下四个结论:

① f (x) 的定义域为 R; ② f (x) 在(0,+∞)上是增函数;
2 ③ f (x) 是偶函数;④若已知 a, m ? R ,且 f (a) ? m ,则 f (?a) ? 2a ? m .

其中正确的命题的序号是____①②④______.

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重庆市万州高级中学高 2005 级“月考(九月号)”检测题

数学试卷(答题卷)
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13.

2

; 14.

2 (0, ? ) 3

(?? 1,

)
; 15.

(0,1]

;16.

①②④_ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (12 分)求函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? lg(3 ? ax) 的定义域.

解: x 需满足

?x ? 1 ? ?3 ? ax

4分

?x ? 1 ? 当 a ? 3 时,得不等式组 ? 此时原函数的定义域为 ? ;…6 分 3 x ? ?1 ? a ? ?x ? 1 3 ? 当 0 ? a ? 3 时,得不等式组 ? 3 此时原函数的定义域为 x ? (1, ) ;…8 分 a ?x ? a ?
当 a ? 0 时,得不等式组 ?

?x ? 1 此时原函数的定义域为 x ? (1,??) ; 10 分 ?3 ? 0

?x ? 1 ? 当 a ? 0 时,得不等式组 ? 3 此时原函数的定义域为 x ? (1,??) ; 12 分 ?x ? a ?
18. (12 分)已知函数 f(x)=a+ x2 ? ax ? b (a,b 为实常数) (I) 若 a=2,b=-1,求 f(x)的值域. (II) 若 f(x)的值域为[0,+∞),求常数 a,b 应满足的条件. 解:(I).∵ x +2x-1=(x-1) -2≥-2,∴ x ? 2x ?1 ≥0,∴ f(x)的值域为[2,+∞].
2 2

2

第 3 页 共 6 页

(II).当 a=0 时,则须 x +b 的最小值≤0,∴b≤0 ; 当 a≠0 时,只须 a<0,且 x +ax+b= ? x ?
2 2 2

2

? ?

a2 a? a2 2 的最小值 b ? =a , ? ?b? 4 2? 4

2

即 4b=5a .∴ a=0,b≤0 或 a<0,4b=5a . 19. 12 分) ( 已知 c ? 0. 设 P: 函数 y ? c x 在 R 上单调递减. Q: 不等式 x ? | x ? 2c |? 1

的解集为 R。如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围. 解:函数 y ? c x 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1.

的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上恒大于 . 1 不等式 x? | x ? 2c |? 1

? 2 x ? 2c, x ? 2c, ? x ? | x ? 2c |? ? x ? 2c, ? 2c, ?函数y ? x ? | x ? 2c | 在R上的最小值为2c. ? 不等式 | x ? x ? 2c |? 1 的解集为R 1 ? 2c ? 1 ? c ? . 2 1 如果P正确, 且Q不正确, 则0 ? c ? . 2 如果P不正确, 且Q正确, 则c ? 1. 1 所以c的取值范围为(0, ] ? [1, ??). 2
20.(12 分)生产某种产品 x 吨时,所需费用是 1000 ? 5 x ?

1 2 x 元,当出售这种产品 10

x x 吨时,每吨价格是 a ? ( a, b 是常数)元,如果生产出来的这种产品能全部出售, b
那么当产量是 150 吨时,利润最大,并且这时每吨的价格是 40 元,求 a, b 的值. 解:当 x ? 150 时, a ?

150 ? 40 ①……2 分 b 设出售 x 吨时,利润是 y 元,则

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x x2 y ? (a ? ) x ? (1000? 5 x ? ) …………5 分 b 10
10 ? b 2 x ? (a ? 5) x ? 1000 ……………6 分 10b 10 ? b 当 b ? 0 或 b ? 10 时, <0……………8 分 10b 5b(a ? 5) ? 150 ② y 有最大值,………10 分 ∴x ? b ? 10
= 解①②得 a ? 45, b ? ?30 .………………12 分 21.(12 分)设 f (x) 是定义在 ?0,??)? 上的函数,且满足关系 f ( x) ? f ? ? lg x ? 1 . (Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)当 x 取何值时, f (x) 有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少? 解:(Ⅰ)? f ( x) ? f ? ? lg x ? 1 ………………①

?1? ? x?

?1? ? x?



1 1 1 1 代 x 得: f ( ) ? f ( x) lg ? 1 ,即 f ( ) ? ? f ( x ) lg x ? 1 ……………② x x x x

以②代入①得: f ( x) ? [? f ( x) lg x ? 1] lg x ? 1 , 整理得: f ( x) ?

lg x ? 1 。 (lg x) 2 ? 1
t ?1 。 t2 ?1

(Ⅱ)令 t ? lg x, 则函数变为: y ?

去分母得: yt 2 ? y ? t ? 1,整理得: yt 2 ? t ? ( y ? 1) ? 0

? t ? R,? ? ? 1 ? 4 y( y ? 1) ? 0 ,
解得:

1? 2 1? 2 , ?y? 2 2
1 1 ? ? ?( 2 ? 1) , 2y 1? 2
第 5 页 共 6 页

所以,当 t ?

即 x ? 10?(

2 ?1) 时,

y min ?

1? 2 ; 2
2 ?1 时,

当 t ? lg x ?

1 1? 2

? 2 ? 1 ,即 x ? 10

y max ?

1? 2 。 2

22. (14 分)定义在 (0,?? )上的函数 f (x) ,对于任意的 m, n ? (0, ??) ,都有

f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n)成立,当 x ? 1 时, f (x) ? 0 .
(Ⅰ)计算 f (1) ; (Ⅱ)证明 f (x)在 (0, ??) 上是减函数; (Ⅲ)当 f (2) ? ? 解: (Ⅰ) f (1) ? 0 . (II)设 0 ? x1 ? x 2 , 因为 f (m ? n) ? f ( m) ? f ( n) 即 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,所以
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 . ) x1

1 时,解不等式 f(x 2 -3x) ? ?1 . 2

因为 0 ? x1 ? x 2 ,则

x2 ? 1 ,而当 x ? 1 时, f (x) ? 0 , 从而 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x1

于是 f (x) 在 (0, ??) 上是减函数. (Ⅲ)因为 f (4) ? f (2) ? f (2) ? ?1 , 所以 f ( x 2 ? 3x) ? f (4) , 因为 f (x) 在 (0, ??) 上是减函数,所以 0 ? x 2 ? 3x ? 4 , 解得
?1 ? x ? 0 或 3 ? x ? 4 ,

故所求不等式的解集为 {x ?1 ? x ? 0 或 3 ? x ? 4} .

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