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2015年浙江省数学竞赛模拟卷九


2015 年浙江省高中数学竞赛模拟卷九
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1、已知“ x ? ?m ? 1, m ? 1? ”是“ x ? 8x ? 12 ? 0 ”的必要不充分条件,则 m 的范围是
2

(A) m ? 5 或 m ? 3 (B) m ? 5 或 m ? 3 (C) 3 ? m ? 5 (D) 3 ?

m ? 5 ( 2、在等差数列 ?an ?中,3( a3 + a5 )+2( a7 + a10 + a13 )=24,则此数列前13项的和是 (A)26 (B)13 (C)52 (D)156 (





x2 y2 ? ? 1 上的动点,F2是右焦点,则|MA|+|MF2|的最大值是 3、已知点A(2,2) , M是 25 9
(A)10+2 10 (B)10-2 10 (C)2 2 (D)10+2 2 (

) 4、地面上有两根相距m米的铅直柱,它们的高分别为b米和c米(b>c) ,则在水平面上视它 们上端仰角相等的点的轨迹为 ( ) (A)两个点 (B)一条直线 (C)一个圆 (D)一个椭圆 5、若方程 3 ? 9 x ? 36 、 x ? log3 x ? 2 的根分别是 x1 、 x2 ,则 x1 + x2 =
x





(A)2

(B)4

(C)6

(D)8

6、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A、B 满足 OA ? OB ? OA ? OB ? 2 ,则 点集 P OP ? ? OA ? ? OB , ? ? (A) 2 2 (B) 2 3

?

? ? 1 所表示的区域的面积是
(C) 4 2 (D) 4 3

?





7、将 f ?x? ? 1 ? 2 sin x sin x ? 3 cos x 的图象左移 (A) 2 sin ? 2 x ?

?

?

? 得 g ?x ? 的图象,则 g ?x ? =( 3
? ? 2? ? ? 3 ?
(D) 2 sin ? 2 x ?



? ?

??

? (B) 2 cos 2 x 2?

(C) 2 cos? 2 x ?

? ?

??
? 2?

8、 在矩形 ABCD 中, AB=3, AD=4, P 在 AD 上运动, 将△ABP 沿 BP 折起, 使 ABP⊥BPDC, 则当 AC 长最小时,∠ABP=(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°( ) 9、已知点 P 是双曲线的左支上一点,F1、F2 是双曲线的左、右焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与 两条渐近线相交于 M、N 两点,点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是( ) (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5

10、 连结球面上两点的线段称为球的弦, 半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分别为 2 7 和 4 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上的运动,有下列四个 命题: ①弦 AB、CD 可能相交于点 M; ③MN 的最大值为 5; ②弦 AB、CD 可能相交于点 N; ④MN 的最小值为 1。其中正确的有 ( )
1

(A)①③④

(B)①②③

(C)①②④

(D)②③④

二、填空题(每小题 7 分,共 49 分)
11、 菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E、 F 分别在边 BC、 DC 上, 且 BE ? ? BC ,

2 DF ? ? DC ,若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? _____。 3
12、如图,两个同心圆的半径分别为 2 6 和 4 3 ,矩形 ABCD 的边 AB、CD 分别为两圆的弦,则当矩形 ABCD 的面积最大时, 矩形的周长为______。 13、已知数列 ?an ?满足 a1 ? 33 , an?1 ? an ? 2n ,则 A B D C

an 的最小值为_____。 n

14、已知点 P(3,0)在圆 C: x 2 ? y 2 ? 2mx? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内,动直线过点 P 与圆 C 交于 A、B,若 S ?ABC 的最大值为 16,则 m 的取值范围是_____。 15、方程 sin ? 2 x ?

? ?

??

? 7? ? ? ? m 在 ?0, ? 上有三个根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? 2 x2 ? x3 ? _____。 6? ? 6 ?

16、抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,过AB的中点M作抛物 线的准线的垂线与抛物线交于点P,若 PF ? 17、正数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则

3 ,则 AB ? __________。 2

x2 y2 的最小值是_____。 ? x ? 2 y ?1

三、解答题(每小题 17 分,共 51 分)
18、设函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x 。 (1)若 a ? 3 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若存在 a ? ?? 4,4? ,使得关于 x 的方程 f ?x ? ? tf ?a ? 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围。

x2 ? 3? ? y 2 ? 1 交于 M、N,点 A(0,-1) 19、过点 ? 0, ? 作直线与椭圆 。若△AMN 为等腰直 4 ? 5?
角三角形,求直线 MN 的方程。

20、长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点,将△ADM 沿 AM 折起成直二面角。 点 E 在线段 PB 上,且 3PE=PB。求二面角 E-AM-P 的大小。
2

答案: 1、D;2、A;3、A;4、C;5、B;6、D;7、A;8、B;9、D;10、A; 11、

5 63 ;12、 16 ? 2 2 ;13、 ;14、 3 ? 2 7 ,3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3,3 ? 2 7 ; 6 6 5? 1 15、 ;16、6;17、 ; 3 4
18、 f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ?
2 ? ? x ? ?2 ? a ?x, x ? a 2 ? ?? x ? ?2 ? a ?x, x ? a

?

? ?

?

通过对“对称轴”的讨论,得到如下的单调性: (一) a ? ?? 4,?2? 时, f ? x ? 在 ?? ?, a ? 上增,在 ? a,

? ?

a?2? ?a?2 ? ,?? ? 上增。 ? 上减,在 ? 2 ? ? 2 ?

要使方程 f ?x ? ? tf ?a ? 有三个不相等的实数根,只要

?a ? 2? ? tf ?a ? ? 2at ? f ?a ? ? 2a ?a?2? f? ??? 4 ? 2 ?
2

?

? a 2 ? 4a ? 4 ? t ? 1, 8a

由 a ? ?? 4,?2? ,

? a 2 ? 4a ? 4 1 ? 4 ? ? 9? ? 9? 得 t ? ?1, ? ; ? ? 4 ? a ? ? ? ?1, ? , 8a 8? a ? ? 8? ? 8?

(二) a ? ?? 2,2? 时, f ? x ? 在 R 上增; 要使方程 f ?x ? ? tf ?a ? 有三个不相等的实数根,不可能。 (三) a ? ?2,4? 时, f ? x ? 在 ? ? ?,

? ?

a?2? ?a?2 ? , a ? 上减,在 ?a,??? 上增。 ? 上增,在 ? 2 ? ? 2 ?

要使方程 f ?x ? ? tf ?a ? 有三个不相等的实数根,只要

? a ? 2 ? ?a ? 2? f? ? tf ?a ? ? 2at ? f ?a ? ? 2a ?? 4 ? 2 ?
2

a 2 ? 4a ? 4 ? ? t ? 1, 8a
由 a ? ?2,4? ,

a 2 ? 4a ? 4 1 ? 4 ? ? 9? ? 9? 得 t ? ?1, ? 。 ? ? 4 ? a ? ? ? ?1, ? , 8a 8? a ? ? 8? ? 8?
3

所以 t ? ?1, ? 。 19、 k ? 0,
2

? 9? ? 8?

1 。 5

20、45°。

4


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