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江苏南通四所名校2011届新课标高中数学第一轮总复习课件及学案15章优化总结


本章优化总结

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高考热点探究
热点一 圆锥曲线的定义及应用

(1)椭圆的定义中 (1)椭圆的定义中,平面内动点与两焦 椭圆的定义中, 的距离之和大于|F 点F1、F2的距离之和大于 1F2|这一条件 这一条件 不可忽视.若这个距离之和小于|F 不可忽视.若这个距离之和小于 1F2|, , 则这个动点轨迹不存在; 则这个动点轨迹不存在;若距离之和等于 于|F1F2|,则动点轨迹是线段 1F2. ,则动点轨迹是线段F

(2)双曲线的定义中,要注意条件2a<|F1F2|, 双曲线的定义中,要注意条件 双曲线的定义中 , 这一条件可以用“ 这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三 来理解. 边”来理解.若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条 = , 射线; 射线;若2a>|F1F2|,则无轨迹. ,则无轨迹. 双曲线定义中,M是双曲线上一点 是双曲线上一点, 双曲线定义中,M是双曲线上一点,若|MF1| <|MF2|时,则动点 的轨迹仅为双曲线的一个分 时 则动点M的轨迹仅为双曲线的一个分 靠近F 支(靠近 1的一支 ,又若 靠近 的一支),又若|MF1|>|MF2|,则动点 ,则动点M 的轨迹又为另一支, 的轨迹又为另一支,而双曲线是由两个分支组成 故在定义中应为“差的绝对值” 的,故在定义中应为“差的绝对值”.

(3)抛物线定义中,条件“点F不在 抛物线定义中,条件“ 抛物线定义中 不在 直线l上 不能忽视,否则轨迹是过F且 直线 上”不能忽视,否则轨迹是过 且 与直线l垂直的直线 而不是抛物线. 垂直的直线, 与直线 垂直的直线,而不是抛物线.

例1

已知F是椭圆 已知 是椭圆5x2+9y2=45的左 是椭圆 的左 焦点, 是此椭圆上的动点 是此椭圆上的动点, 焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1) 是一定点. 是一定点. (1)求|PA|+ 3 |PF|的最小值, 的最小值, 求 + 的最小值 2 并求此时点P的坐标 的坐标; 并求此时点 的坐标; (2)求|PA|+|PF|的最大值和最小 求 + 的最大值和最小 值.

【思路点拨】 此题与椭圆的焦点有 思路点拨】 关,两小题很相近,仅差一个常数,考虑 两小题很相近,仅差一个常数, 2 .因此第一问可以转 到椭圆的离心率为 .因此第一问可以转 3 化到点P到左准线的问题 到左准线的问题, 化到点 到左准线的问题,而第二问不能 转化到左准线,我们试一下右焦点. 转化到左准线,我们试一下右焦点.

x2 y2 【解】 由椭圆方程为 9 + 5 =1, , 2 得 a=3,b= 5,c=2,∴e=3,2a=6. = , = , = , = = (1)如图所示,过 P 向椭圆左准线作垂线, 如图所示, 向椭圆左准线作垂线, 如图所示 |PF| 2 垂足为 Q,则由椭圆定义知:|PQ|=3, ,则由椭圆定义知:

3 ∴|PQ|=2|PF|. = 3 从而|PA|+ |PF|=|PA|+|PQ|. 从而 +2 = + 最小, 当 A、P、Q 共线时,|PA|+|PQ|最小, 、 、 共线时, + 最小 9 11 6 最小值为2+1= 2 ,此时 P(-5 5,1). = - , .

(2)如图所示,设椭圆右焦点为F1, 如图所示,设椭圆右焦点为 如图所示 则|PF|+|PF1|=6,∴|PA|+|PF|=|PA|- + = , + = - |PF1|+6.利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1| 利用- + 利用 - (当P、A、F1共线时等号成立 , 当 、 、 共线时等号成立),

∴|PA| + |PF|≤6 + ≤ |PF|≥6- 2. ≥ -

2 , |PA| +

故|PA|+|PF|的最大值为 6+ 2,最小值 + 的最大值为 + , 为 6- 2. -

【点评】 一般地,遇到有关焦点 或准 点评】 一般地,遇到有关焦点(或准 问题时, 线)问题时,首先应考虑用定义来解题,椭圆 问题时 首先应考虑用定义来解题, 上的点到两焦点的距离问题应考虑第一定 义,椭圆上的点到焦点及到准线的距离问题 应考虑第二定义. 应考虑第二定义.即平面内一个动点到一个 定点的距离和它到一条定直线的距离的比是 小于1的正常数时 这个动点的轨迹叫椭圆, 的正常数时, 小于 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆, 定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线. 定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线.

热点二

圆锥曲线中的范围问题

(1)平面几何法 平面几何法 涉及到最值问题的几何意义主要有三个: 涉及到最值问题的几何意义主要有三个: 两点间的任意折线段长之和, 两点间的任意折线段长之和,以两点间直 线段长为最短. 线段长为最短. ||AB|-|AC||≤|BC|,当且仅当 、B、C三 - ,当且仅当A、 、 三 点共线, 外侧时取“ 点共线,且A在B、C外侧时取“=”. 在 、 外侧时取

(2)目标函数法 目标函数法 建立目标函数与圆锥曲线有关的最 值问题,是常规方法, 值问题,是常规方法,关键是选取适当 的变量建立目标函数, 的变量建立目标函数,然后运用求函数 最值的方法确定最值. 最值的方法确定最值.

(3)判别式法 判别式法 主要是由条件得到一个相关的一元 二次方程,该方程有解必须满足?≥0,从 二次方程,该方程有解必须满足 , 而得到某个不等式. 而得到某个不等式.

例2

x2 y 2 已知点M在椭圆 已知点 在椭圆 2+ 2 =1(a>b>0) a b 为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右 上,以M为圆心的圆与 轴相切于椭圆的右 为圆心的圆与

焦点F. 焦点 (1)若圆 与y轴相交于 、B两点,且 若圆M与 轴相交于 轴相交于A、 两点 两点, 若圆 是边长为2的正三角形 △ABM是边长为 的正三角形,求椭圆的方 是边长为 的正三角形, 程; (2)若点 若点F(1,0),设过点 的直线 交椭 的直线l交椭 若点 ,设过点F的直线 圆于C、 两点 若直线l绕点 两点, 绕点F任意转动时 圆于 、D两点,若直线 绕点 任意转动时 恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,求a的取值范围. 的取值范围. 恒有 的取值范围

【思路点拨】 (1)利用相切的知 思路点拨】 利用相切的知 转化为∠ 识;(2)|OC|2+|OD|2<|CD|2转化为∠COD 为钝角,找限制条件. 为钝角,找限制条件. 【解】 (1)∵△ABM是边长为 的 是边长为2的 ∵ 是边长为 正三角形, 正三角形, 的半径r= , ∴圆M的半径 =2, 的半径 轴的距离d= ∴点M到y轴的距离 = 3. 到 轴的距离

轴相切, 又圆 M 与 x 轴相切,∴当 x=c 时, = b4 b2 得 y2= 2,∴r= a . = a b2 ∴ a =2,c= 3. , = ∵a2-b2=c2,∴a2-3=2a, = , =-1(舍去 解得 a=3 或 a=- 舍去 ,则 b2= = =- 舍去), 2a=6. = x2 y2 故所求的椭圆方程为 9 + 6 =1.

(2)法一:设C(x1,y1),D(x2,y2). 法一: 法一 , . 当直线CD与 轴重合时 轴重合时, ①当直线 与x轴重合时, 有|OC|2+|OD|2=2a2,|CD|2=4a2. ∵c=1,∴a2=b2+c2>1, = , , 恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2. 恒有 当直线CD不与 轴重合时, 不与x轴重合时 ②当直线 不与 轴重合时, 设直线CD的方程为 的方程为x= + , 设直线 的方程为 =my+1,代入 x2 y 2 =1(a>b>0), , a2+b2 整理得(a 整理得 2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0. +

b2-a2b2 2b2m ∴y1+y2=- 2 ,y y =- 2 , a +b2m2 1 2 a +b2m2 恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,∴∠ ∴∠COD 恒为钝角, 恒为钝角, ∵恒有

→ → 恒成立. 则OC·OD=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2<0 恒成立. = ∴x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2 + =(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1 + (m2+1)(b2-a2b2) 2b2m = - 2 +1 a2+b2m2 a +b2m2
-m2a2b2+b2-a2b2+a2 <0. = 2 2 2 a +b m

又a2+b2m2>0. 恒成立, ∴-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立, 对 ∈ 恒成立 即m2a2b2>a2-a2b2+b2对m∈R 恒成立. ∈ 恒成立. 的最小值为0, 当m∈R时,a2b2m2的最小值为 , ∈ 时 ∴a2-a2b2+b2<0. ∴a2<a2b2-b2,即a2<(a2-1)b2=b4. ∴a>0,b>0,∴a<b2,即a<a2-1, , , , a2-a-1>0, - ,

1+ 5 + 1- 5 1+ 5 - + 解得 a> 2 或 a< 2 ,即 a> 2 . 1+ 5 + ①②可知 可知, 的取值范围是( ,+∞ . 由①②可知,a 的取值范围是 2 ,+∞). 法二:①当直线 l 垂直于 x 轴时, 法二: 轴时, b2(a2-1) . 把 x=1 代入,得 yA2= = 代入, a2 恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2, ∵恒有 a2 - 1 ∴2(1+yA)<4yA2,yA2>1,即 a >1, + , , 1+ 5 1- 5 1+ 5 + - + 舍去), 解得 a> 2 或 a< 2 (舍去 ,即 a> 2 . 舍去

不垂直x轴时 ②当l不垂直 轴时, 不垂直 轴时, 设C(x1,y1),D(x2,y2), , , 直线AB的方程为 的方程为y= - , 直线 的方程为 =k(x-1),代入 x2 y 2 1(a>b>0), , a2+b2 = (b )x 2a 0, 得( 2+a2k2) 2-2 2k2x+a2k2-a2b2=0, +
2a2k2 a2k2-a2b2 . 则x1+x2= b2 a2k2 ,x1x2= 2 + b + a2 k2 恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2, ∵恒有 ∴x12+y12+x22+y22<(x2-x1)2+(y2-y1)2, 恒成立. 得x1x2+y1y2<0恒成立. 恒成立

∴x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1) =(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2 + + (a2-a2b2+b2)k2-a2b2 . = b2 + a2 k2 由题意得, 恒成立. 由题意得,(a2-a2b2+b2)k2-a2b2<0对k∈R恒成立. 对 ∈ 恒成立 当a2-a2b2+b2>0时,不合题意; 时 不合题意; 1+ 5 + 2-a2b2+b2=0时,a= 成立; 当a 时 = ,成立; 2 当a2-a2b2+b2<0时,a2-a2(a2-1)+a2-1<0, 时 + , ∴a4-3a2+1>0, ,

3+ 5 + - 2 3- 5 舍去), 解得 a > 2 或 a < 2 (舍去 ,进而 舍去 1+ 5 + 解得 a> 2 , 1+ 5 + ∴a≥ 2 . ≥ 1+ 5 + +∞ 综合①② a 的取值范围是( ①②, + . 综合①②, 的取值范围是 2 , ∞).
2

【点评】 求范围问题,要从题目 点评】 求范围问题, 中寻找到起限制范围作用的条件, 中寻找到起限制范围作用的条件,而这 些条件有些是隐藏的, 些条件有些是隐藏的,有些是题目直接 给出较为明显的,利用这些条件, 给出较为明显的,利用这些条件,灵活 转化为与所求的问题有关联的代数式, 转化为与所求的问题有关联的代数式, 继而解之. 继而解之.

考点三

直线与圆锥曲线的关系

判断直线l与圆锥曲线 的位置关系 判断直线 与圆锥曲线C的位置关系 与圆锥曲线 可将直线l的方程代入曲线 的方程代入曲线C的方 时,可将直线 的方程代入曲线 的方 消去y(或 得一个关于变量 得一个关于变量x(或 的 程,消去 或x)得一个关于变量 或y)的 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0. + =

(1)当a≠0时,若?>0,则直线 与曲线 当 时 ,则直线l与曲线 C相交;若?=0,则直线 与曲线 相切; 相交; 与曲线C相切 相交 = ,则直线l与曲线 相切; 与曲线C相离 若?<0,直线 与曲线 相离. ,直线l与曲线 相离. (2)当a=0时,即得到一个一次方 当 = 时 相交, 程,则l与C相交,且只有一个交点.此 与 相交 且只有一个交点. 为双曲线, 平行于双曲线的 时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的 为双曲线 渐近线; 为抛物线, 平行于抛物 渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物 为抛物线 线的对称轴. 线的对称轴.

例3

x2 y2 如图所示,椭圆Q: 如图所示,椭圆 :a2+b2 =1(a>b> 0)的右焦点 的右焦点F(c,0),过点 的一动直线 绕 的一动直线m绕 的右焦点 ,过点F的一动直线 转动, 两点, 是 点F转动,并且交椭圆于 、B两点,P是 转动 并且交椭圆于A、 两点 线段AB的中点 的中点. 线段 的中点. (1)求点 的轨迹方程; 求点P的轨迹方程 求点 的轨迹方程;

(1)求点 P 的轨迹方程; 求点 的轨迹方程; (2)在 Q 的方程中,令 a2=1+cosθ+ 在 的方程中, + + π 2 sinθ,b =sinθ(0<θ≤ ),确定 θ 的值,使 的值, , ≤2 , 最远,此时, 原点距椭圆的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴的交点为 D, , 当直线 m 绕点 F 转动 到什么位置时, 的面积最大? 到什么位置时,△ABD 的面积最大?

用点差法; 利 【思路点拨】 (1)用点差法;(2)利 思路点拨】 用点差法 用三角函数的知识,先求a, , , 用三角函数的知识,先求 ,b,c,再联 系根与系数的关系转化为求最值问题. 系根与系数的关系转化为求最值问题.

【解】 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则 设 , , , ,
?b2x12+a2y12=a2b2, ? ? 2 2 2 2 2 2 ?b x2 +a y2 =a b . ?

?b2(x2+x1)(x2-x1)+a2(y2+y1)·(y2-y1)=0, + = , 不垂直于x轴时 ①当AB不垂直于 轴时,x1≠x2, 不垂直于 轴时, y2-y1 b2 x y 可得 , =- a2y= x2-x1 x-c - 于是b 于是 2x2+a2y2-b2cx=0; = ;

垂直于x轴时 即为点F, ②当AB垂直于 轴时,点P即为点 , 垂直于 轴时, 即为点 满足上述方程. 满足上述方程. 故所求点P的轨迹方程为 的轨迹方程为: 故所求点 的轨迹方程为:b2x2+a2y2 -b2cx=0. =
(2)因为椭圆 Q 的右准线 l 的方程是 x= 因为椭圆 = a2 a2 ,所以原点距 l 的距离为 c ,由于 c2=a2 c π 2 2 2 a b -b , =1+cosθ+sinθ, =sinθ(0<θ≤2), + + , ≤ , + + a2 1+cosθ+sinθ θ π 则c= =2sin(2+4)≤2, ≤ , 1+cosθ +

π 上式取最大值. 当 θ=2时, = 上式取最大值. 此时 a2=2, , b2= 1,c=1,D(2,0),|DF|=1,则椭圆 Q , = , , = , x2 2 y 、 B(x 的方程为 2 +y =1, , 已知点 A(x1, 1)、 2, 1 1 1 y2), S△ABD= |y1|+ |y2|= |y1-y2|, , ∴ , 设直线 2 +2 =2 x2 2 m 的方程为 x=ky+1,代入 +y =1 中, = + , 2 得(2+k2)y2+2ky-1=0, + - = , 由根与系数的关系 2k 1 ,y y =- , 得 y1+y2=- 2+k2 1 2 2+k2 + +

8(k2+1) 4S2= (y1- y2)2= (y1+y2)2- 4y1y2= 2 , (k +2)2 8t 8 8 令 t=k +1≥1, 4S = = ≥ , 得 ≤4 2= 1 (t+1) + t+ t +2 +
2 2

=2,当 t=1,k=0 时取等号.因此,当直 , = , = 时取等号.因此, 轴的位置时, 线 m 绕点 F 转到垂直于 x 轴的位置时, 的面积最大. △ABD 的面积最大.

【点评】 解决圆锥曲线中与弦的中 点评】 点有关的问题的常规思路有三种: 通过 点有关的问题的常规思路有三种:(1)通过 方程组转化为一元二次方程, 方程组转化为一元二次方程,结合根与系 数的关系及中点坐标公式进行求解; 点 数的关系及中点坐标公式进行求解;(2)点 差法,设出弦的两端点, 差法,设出弦的两端点,利用中点坐标公 式求解; 中点转移法 中点转移法, 式求解;(3)中点转移法,先设出一个端点 的坐标, 的坐标,再借助中点设出另一个端点的坐 而后消二次项. 标,而后消二次项.


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