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高三总复习67-选修4-5:不等式选讲


课时作业(六十八)
一、选择题 1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是 A.两个圆 C.一个圆和一条射线 B.两条直线 D.一条直线和一条射线 ( )

解析:原方程等价于 ρ=1 或 θ=π,前者是半径为 1 的圆,后者是一条射线. 答案:C 2.(2012 年深圳一模)在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ=2cos θ,则

下列 各点在圆 C 上的是 π? ? A.?1,-3? ? ? 3π? ? C.? 2, 4 ? ? ? π? ? B.?1,6? ? ? 5π? ? D.? 2, 4 ? ? ? ( )

? π? 解析:代入验证 ρ=2cos ?-3?=1,故 A 正确. ? ? 答案:A π 3.直线 ρcosθ=2 关于直线 θ=4对称的直线方程为 A.ρcosθ=-2 C.ρsinθ=-2 B.ρsinθ=2 D.ρ=2sinθ ( )

解析:∵直线 x=2 关于直线 y=x 的对称直线是 y=2, ∴ρsinθ=2. 答案:B ?x=2+3cos θ, 4.设曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的方程为 x ?y=-1+3sin θ 7 10 -3y+2=0,则曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的点的个数为 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

?x=2+3cos θ, 解析:∵曲线 C 的方程为? (θ 为参数), ?y=-1+3sin θ ∴(x-2)2+(y+1)2=9.而 l 为 x-3y+2=0, ∴圆心(2,-1)到 l 的距离 d= |2+3+2| 7 7 10 = = 10 . 10 1+9

7 10 ∴曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的点的个数为 2. 答案:B ?x=1+3t, 5.若直线 l 的参数方程为? (t 为参数),则直线 l 的倾斜角的余 ?y=2-4t 弦值为 4 A.5 3 C.5 4 B.-5 3 D.-5 ( )

?x=1+3t, 解析:由? (t 为参数)得直线方程为 4x+3y-10=0,且斜率为 k ?y=2-4t 4 4 3 =-3,令直线 l 的倾斜角为 α,则 tan α=-3,所以 cos α=-5. 答案:D ?x=3cos θ, 6.已知点 P 是曲线 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上一点,O 为原 ?y=4sin θ π 点.若直线 OP 的倾斜角为4,则点 P 坐标为 ?12 12? A.? 5 , 5 ? ? ? 5? ?5 C.?12,12? ? ? 12? ? 12 B.?- 5 ,- 5 ? ? ? 5? ? 5 D.?-12,12? ? ? ( )

?x=3cos θ, 解析:由? (0≤θ≤π), ?y=4sin θ x2 y2 可得 9 +16=1(0≤y≤4),由于直线 OP 的方程为 y=x,

x2 y2 ? ? + =1?0≤y≤4?, 那么由? 9 16 ? ?y=x, 答案:A 二、填空题

12 ? ?x= 5 , 得? 12 y = ? ? 5.

7.(2012 年陕西)直线 2ρcos θ=1 与圆 ρ=2cos θ 相交的弦长为________. 解析:直线 2ρcos θ=1,即为 2x=1,且 ρ=2cos θ,即为(x-1)2+y2=1,如 图可得弦长为 3. 答案: 3 8.(2012 年湖北)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 ?x=t+1, π 极轴建立极坐标系.已知射线 θ=4与曲线? 2 (t 为参数)相交于 A,B 两 ?y=?t-1? 点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________. ?x=t+1, π 解析:由极坐标方程可知,θ=4表示直线 y=x,而? 2 表示 y=(x ?y=?t-1? ?y=x, 2 -2)2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0).联立? 2 可得,x ?y=?x-2? x1+x2 5 ?5 5? -5x+4=0,可得 x1+x2=5.即 x0=y0= 2 =2,故 M?2,2?. ? ? ?5 5? 答案:?2,2? ? ? 9.(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别 ?x= 2cos θ, ?x=t, 为? (t 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标 ?y= t ?y= 2sin θ 为________.

解析:由 C1 得 y= x,即 y2=x(y≥0). 由 C2 得 x2+y2=2.
2 ?y =x, ?x=1, ? 由①②联立 2 2 得? ?x +y =2, ?y=1.

① ②

答案:(1,1) 三、解答题 10.(2012 年辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2 +y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的 极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ. ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± 3. ?ρ=4cos θ π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?. ? ? ? ? ?x=ρcos θ (2)由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρsin θ ?x=1. 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t 11.(2012 年东北三校联考)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sin θ,直线 l 3 ? ?x=-5t+2, 的参数方程是? 4 y = ? ? 5t

(t 为参数).

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 解:(1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ2=2ρsin θ, 又 x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0.

4 (2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y=-3(x-2), 令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1), 半径 r=1,则|MC|= 5, 所以|MN|≤|MC|+r= 5+1. 2 ? ?x=3- 2 t, 12. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? 2 ? y = 5 + t ? 2

(t 为参数),

在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 解:(1)由 ρ=2 5sinθ,得圆的直角坐标方程为 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t2-3 2t+4=0. 由 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两根, ?t1+t2=3 2, 所以? t2=4. ?t1· 又直线 l 过点(3, 5),故结合 t 的几何意义得,|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2 =3 2. [热点预测] 13. 在极坐标系中, 和极轴垂直且相交的直线 l 与圆 ρ=4 相交于 A、 B 两点, 若|AB|=4,则直线 l 的极坐标方程为______. 解析:设极点为 O,由该圆的极坐标方程为 ρ=4,知该圆的半径为 4,又直 线 l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以∠AOB=60° ,∴极点到直线 l 的距离为 d =4×cos 30° =2 3,所以该直线的极坐标方程为 ρcos θ=2 3. 答案:ρcos θ=2 3 π? ? 14.在极坐标系中,点 A?2,2?关于直线 l:ρcos θ=1 的对称点的一个极坐 ? ?

标为________. π? ? 解析:求点 A?2,2?关于直线 l:ρcos θ=1 的对称点,即求点(0,2)关于直线 ? ? π? ? x=1 的对称点,即(2,2),化为极坐标是?2 2,4?. ? ? π? ? 答案:?2 2,4? ? ? 15.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同,已知直线 l 的参数方程为 ?x=-1+tcos α ? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. ?y=1+tsin α (1)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (2)若直线 l 与曲线 C 的相交弦长为 2 3,求直线 l 的参数方程. 解:(1)直线 l 的普通方程为 y-1=-1(x+1),即 y=-x,① 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0.② ①代入②得:2x2-4x=0,解得 x=0 或 x=2. 7π? ? ∴A(0,0),B(2,-2),极坐标为 A(0,0),B?2 2, 4 ?. ? ? (2)由题意可得,圆心 C(2,0)到相交弦的距离为 22-? 3?2=1,设直线 l 的 斜率为 k,则 l 的方程为 y-1=k(x+1),则 y=kx+k+1, ∴ |2k+k+1| 3 =1,∴k=0 或 k=-4. 2 k +1

4 x=-1-5t, ? ? x =- 1 + t , ? ∴l:? (t 为参数)或? 3 ?y=1 ?y=1+5t ?

(t 为参数).


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