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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测40 直接证明和间接证明]


课时跟踪检测(四十) 直接证明和间接证明 1.用反证法证明: 若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a, b, c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 2.(2014· 银川模拟)设 a,

b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 )

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( ) B.恒等于零 D.无法确定正负

A.恒为负值 C.恒为正值 4.?创新题?在 R 上定义运算:? 恒成立,则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 1 C. 2

?a b?=ad-bc.若不等式?x-1 a-2?≥1 对任意实数 x ? ? ? ?c d ? x ? ? a+ 1
) 3 B.- 2 3 D. 2 )

5. 如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值, 则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 6.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为________.

7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .那么他的反 2 设应该是________.

8.已知点 An(n,an)为函数 y= x2+1图像上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图像上的点, 其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 9.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c.

10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; a 1 (2)试比较 与 c 的大小; a (3)证明:-2<b<-1.





1.选 B “至少有一个”的否定为“都不是”.故选 B. 2.选 C ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c=3, 故正确的判断有 2 个. 3.选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2, f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 4.选 D 据已知定义可得不等式 x2-x-a2+a+1≥0 恒成立,故 Δ=1-4(-a2+a+ 1)≤0, 1 3 3 解得- ≤a≤ ,故 a 的最大值为 . 2 2 2 5.选 D 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角 形,假设△A2B2C2 是锐角三角形.

? ? π ? 由?sin B =cos B =sin? ?2-B ?, ? -C ?, ?sin C =cos C =sin??π 2 ?
2 1 1 2 1 1

π ? sin A2=cos A1=sin? ?2-A1?,

? ? π 得?B =2-B , ? -C . ?C =π 2
2 1 2 1

π A2= -A1, 2

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形.所以△A2B2C2 是钝角三角形. 6.解析:a= 3+2 2,b=2+ 7两式的两边分别平方,可得 a2=11+4 6,b2=11+ 4 7,显然, 6< 7.∴a<b. 答案:a<b 1 7.“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 8.解析:由条件得 cn=an-bn= n2+1-n = 1 , n +1+n
2

∴cn 随 n 的增大而减小.∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9.证明:要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a)2<( b+ c)2, 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc, 即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立. 10.解:(1)证明:∵f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根, c 1 1 ? ≠c , 又 x1x2= ,∴x2= ? a a?a ? 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根. a

1 1 (2)假设 <c,又 >0, a a 由 0<x<c 时,f(x)>0, 1? ?1? 知 f? ?a?>0 与 f?a?=0 矛盾, 1 1 1 ∴ ≥c,又∵ ≠c,∴ >c. a a a (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac.又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图像的对称轴方程为 b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < .又 a>0,∴b>-2, 2a a ∴-2<b<-1.


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