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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(27)数列的概念与简单表示法)


课时作业(二十七) [第 27 讲

数列的概念与简单表示法]

[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 5 7 9 1.[2011· 阜阳质检] 数列{an}:1,- , ,- ,…的一个通项公式是( ) 8 15 24 + 2n-1 A.an=(-1)n 1 2 (n∈N+) n +n - 2n+1 B.an=(-1)n 1 3 (n∈N+) n +3n + 2n-1 C.an=(-1)n 1 2 (n∈N+) n +2n - 2n+1 D.an=(-1)n 1 2 (n∈N+) n +2n 2.[2010· 安徽卷] 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 a3 3.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则 的值是( ) a5 15 15 3 3 A. B. C. D. 16 8 4 8 1 1 4.[2011· 沈阳模拟] 已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n∈N*),则 a16=________. 2 an 能力提升 5.[2011· 福州质检] 把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数目 的点可以排成一个正三角形(如图 K27-1).则第 7 个三角形数是( )

图 K27-1 A.27 B.28 C.29 D.30 6.[2011· 太原模拟] 已知 Sn 是非零数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an-1,则 S2 011 等于 ( ) A.1-22 010 B.22 011-1 C.22 010-1 D.1-22 011 7.已知数列{an},a1=2,an+1=an+2n(n∈N*),则 a100 的值是( ) A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000 1 1 8.已知数列{an}中,a1=1, = +3(n∈N*),则 a10=( ) an+1 an A.28 B.33 1 1 C. D. 33 28 na 9.[2011· 黄冈中学模拟] 已知数列{an}的通项 an= (a,b,c∈(0,+∞)),则 an nb+c 与 an+1 的大小关系是( ) A.an>an+1 B.an<an+1 C.an=an+1 D.不能确定

10.[2011· 朝阳二模] 已知数列{an}满足 a1=2,且 an+1an+an+1-2an=0(n∈N*),则 a2 =________;并归纳出数列{an}的通项公式 an=________. 11. [2011· 淮南一模] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n-1, 则 a1+a3+a5+…+a25 =________. 12 .若数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n2 - 10n(n = 1,2,3 ,…) ,则数列 {an} 的通项公式为 ________________________________________________________________________; 数列{nan}中数值最小的项是第________项. 13.[2011· 永州四中模拟] 一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆,○表 示空心圆): ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆,那么在前 2 013 个圆中,空心圆的个数为 ________. 14.(10 分)在 2011 年 10 月 1 日的国庆阅兵式上,有 n(n≥2)行、n+1 列的步兵方阵. (1)写出一个数列,用它表示当 n 分别为 2,3,4,5,6,…时方阵中的步兵人数; (2)说出(1)题中数列的第 5、6 项,并用 a5,a6 表示; (3)把(1)中的数列记为{an},求该数列的通项公式 an=f(n); (4)已知 an=9 900,问 an 是第几项?此时步兵方阵有多少行、多少列? (5)画出 an=f(n)的图象,并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是 56,28 吗?

15.(13 分)[2011· 蚌埠调研] 已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn 2 = ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an+1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的单调性; 1 7 (3)当 n≥2 时,T2n+1-Tn< - loga(a-1)恒成立,求 a 的取值范围. 5 12

难点突破 2n? ? 16.(1)(6 分)[2011· 浙江卷] 若数列?n?n+4?3 ?中的最大项是第 k 项,则 k=________.
? ?

(2)(6 分)[2010· 湖南卷] 若数列{an}满足:对任意的 n∈N*,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 m 的个数为(an)*,则得到一个新数列{(an)*}.例如,若数列{an}是 1,2,3,…,n,…,则数列{(an)*}是 0,1,2,…,n-1,….已知对任意的 n∈N*,an=n2,则 (a5)*=________,((an)*)*=________.

课时作业(二十七) 【基础热身】 1.D 3 5 7 9 [解析] 观察数列{an}各项,可写成: ,- , ,- ,故选 D. 1×3 2×4 3×5 4×6 2 2 [解析] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1,则 a8=2×8-1=15,

2.A 故选 A. 3.C [解析] 由已知得 a2=1+(-1)2=2, 1 由 a3· a2=a2+(-1)3,得 a3= , 2 1 1 4 又由 a4= +(-1) ,得 a4=3, 2 2 1 2 3 2 a 3 由 3a5=3+(-1)5,得 a5= ,则 = = ,故选 C. 3 a5 2 4 3 1 1 1 1 1 1 4. [解析] 由题可知 a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = ,a5=1- =- 2 a1 a2 a3 2 a4 1 1,…,则此数列为周期数列,周期为 3,故 a16=a1= . 2 【能力提升】 5.B [解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7 =28,故选 B. 6.B [解析] 当 n=1 时,S1=2a1-1,得 S1=a1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入 Sn=2an-1,得 Sn=2Sn-1+1,即 Sn+1=2(Sn-1+1), - ∴Sn+1=(S1+1)· 2n 1=2n,∴S2 011=22 011-1,故选 B. 7.B [解析] a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)+a1 =2(99+98+…+2+1)+2 99· ?99+1? =2· +2=9 902,故选 B. 2 1 1 1 8.D [解析] 对递推式叠加得 - =27,故 a10= . a10 a1 28 na a 9.B [解析] 把数列{an}的通项化为 an= = , c nb+c b+ n c a ∵c>0,∴y= 是单调递减函数,又∵a>0,b>0,∴an= 为递增数列, n c b+ n 因此 an<an+1,故选 B. 4 2n 2a1 4 10. [解析] 当 n=1 时,由递推公式,有 a2a1+a2-2a1=0,得 a2= = ; 3 2n-1 a1+1 3 2a2 8 2a3 16 2n 同理 a3= = ,a4= = ,由此可归纳得出数列{an}的通项公式为 an= n . a2+1 7 a3+1 15 2 -1 11.350 [解析] 当 n=1 时,a1=S1=12+2-1=2, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(n2+2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1, ?2,n=1, ? 又 a1=2 不适合上式,则数列{an}的通项公式为 an=? ? ?2n+1,n≥2. ?3+51? 所以 a1+a3+a5+…+a25=(a1+1)+a3+a5+…+a25-1= ×13-1=350. 2 12.an=2n-11 3 [解析] n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n

-11; n=1 时,a1=S1=-9 符合上式. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-11. ∴nan=2n2-11n, ∴数列{nan}中数值最小的项是第 3 项. 13.448 [解析] 复制一次得圆总数为 27 个,其中空心圆的个数为 6 个,要得到 2013 个圆,需先复制 74 次,再复制前 15 个圆即可,所以空心圆的个数为 74×6+4=448. 14.[解答] (1)该数列为 6,12,20,30,42,…; (2)a5=42,a6=56; (3)an=(n+1)(n+2)(n∈N*); (4)由 9900=(n+1)(n+2),解得 n=98,an 是第 98 项,此时步兵方阵有 99 行,100 列; (5)f(n)=n2+3n+2, 如图, 图象是分布在函数 f(x)=x2+3x+2 上的孤立的点, 由图可知, 人数可能是 56,不可能是 28.

15.[解答] (1)当 n=1 时,a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2 ,n=1, 3 ∴数列{bn}的通项公式为 bn= 1 ,n≥2. n

? ? ?

? ? 2? ?2? ?k?k+4?? ?3? ≥?k-1??k+3??3?
k

(2)∵cn=T2n+1-Tn, ∴cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 1 1 1 = + +…+ , n+1 n+2 2n+1 1 1 1 ∴cn+1-cn= + - <0, 2n+2 2n+3 n+1 ∴数列{cn}是递减数列. 1 1 1 (3)由(2)知,当 n≥2 时 c2= + + 为最大, 3 4 5 1 1 1 1 7 ∴ + + < - loga(a-1)恒成立, 3 4 5 5 12 5+1 ∴1<a< . 2 【难点突破】 16 . (1)4 (2)2 n2 [ 解 析 ] (1) 设 最 大 项 为 第 2 2 ?k ? ?k+1 k?k+4?? ?3? ≥?k+1??k+5??3? ,
k-1

k

项 , 则 有



?k≥ 10或k≤- 10, ?? ?k=4. ?1- 10≤k≤1+ 10 (2)本题以数列为背景,通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力,属于难 题.因为 am<5,而 an=n2,所以 m=1,2,所以(a5)*=2. 因为(a1)*=0,

?k2≥10, ? ∴? 2 ?k -2k-9≤0 ?

(a2)*=1,(a3)*=1,(a4)*=1, (a5)*=2,(a6)*=2,(a7)*=2,(a8)*=2,(a9)*=2, (a10)*=3,(a11)*=3,(a12)*=3,(a13)*=3,(a14)*=3,(a15)*=3,(a16)*=3, 所以((a1)*)*=1,((a2)*)*=4,((a3)*)*=9,((a4)*)*=16, 猜想((an)*)*=n2.


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