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函数图像


2013-12-28

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一、情景引入
信息1:如下图是一心电图。

信息2:下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春 季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了 哪些信息?

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二、自主探究
我们先来思考这样一个问题:
正方形的边长x与面积S的

s?x, 函数 关系为
2

其中自变量 x的取值范围是

x>0



你能解释x>0这个范围是怎样确定的吗? 因为x表示的实际含义是正方形的边长, 边长只能为正。
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计算并填写下表:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2.25 4 6.25 9

S=x2( x>0) 0 0.25 1

如果我们在直角坐标系中,将你所填表格
中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的 横坐标与纵坐标,即可在坐标系中得到一些点。
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表 示 与 的 对 应 关 系 的 点 有 无 数 个

同 时 根 据 描 出 的 点 想 象 出 其 他 点 的 位 置

x S=x2 (x>0)

但 实 际 上 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 我 们 描 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 … 出 的 S 点 9 S=x2(x>0) 只 能 6.25 是 用空心圈表 有 限 示不在曲线 4 多 上的点 2.25 个
1 0.25 0
1 325 3 212 2

x s

x

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这样我们就得到了一幅表示S与x关系的图.

图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系。
如点(2,4)表示x=2时 S=4。

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14.1.3 函数图象(一)

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八年级 数学

第十四章 函数的图象 第十一章 函数

函数的图象

你记住了吗?

对于一个函数 , 如果把 自变量 与 函数 的 每对对应值 分别作为点的 横、纵坐标 ,那么坐标 平面内由这些点 组成的图形,就是这 个函数的图象。 上图中的曲线即为函数
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s?x

2

(x>0)的图象.
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函数图象可以数形结合地研究函数,给我们带来便利 。

活动一
下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京
的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你

从图象中得到了哪些信息?

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T/℃ 8

-3

0

4

14 时间

24

t/时

横坐标表示 时间 ,纵坐标表示 温度 温度T 随 时间t 的变化而变化?
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北京的春季某天气温 T 随时间 如图所示:

t 变化而变化的规律

1.哪个时间温度最高?是多少度? 2.哪个时间温度最低?是多少度? 3.什么时间段温度在下降?什么时间段温度 在上升? 4.曲线与x轴的交点表示什么? 4.温度在零度以下的时间长呢?还是在零度以 上的时间长?

T/℃

8
O

4

14
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?3

24

t/h
12

活动结论:
1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为, 气温T是时间t的函数. 2.这天中凌晨4时气温最低为一3℃,14时气温最高为8℃.

3.从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下 降.从4时至14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下 降状态.
4.我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任 一时刻的气温大约是多少. 5.如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息, 掌握更多气温变化规律.
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思考:P104练习2
7 12 1.在___点和___点的时候,两地气温相同; 0 7 12 24 2.在___点到___点和___点到___点之间, 上海的气温比北京的气温要高. 7 12 3.在__点到__点之间,上海的气温比北京的气温要低.

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活动二
下图反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地

锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家
的距离.小明家,菜地,玉米地在同一条直线 上。
从家到菜地 从玉米地回家 从菜地到玉米地

y/千米
2

1.1

o

15

25

37

55

80

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x/分

15

从玉米地回家
在菜地浇水 从家到菜地 从菜地到玉米地 给玉米地锄草

y/千米
2

1.1

小 明
15 25 37 55 80

o

x/分
16

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你能回答下列问题了吗?
1.从家到菜地用了多少时间? 菜地离小明家有多远? 2.小明给菜地浇水用了多少时间? 3.从菜地到玉米地用了多少时间? 菜地离玉米地有多远? 4.小明给玉米地锄草用了多少时间?

y/千米
2

5.玉米地离家有多远? 小明从玉米地回家的平均速度是多少?

1.1

小 明
15 25 37 55 80

o

x/分

17

活动结论
1.由纵坐标看出,菜地离小明家1.1千米;由横坐标看出, 小明走到菜地用了15分钟. 2.由平行线段的横坐标可看出,小明给菜地浇水用了10 分钟 3.由纵坐标看出,菜地离玉米地0.9千米.由横坐标看出, 小明从菜地到玉米地用了12分钟. 4.由平行线段的横坐标可看出,小明给玉米地锄草用了18 分钟. 5.由纵坐标看出,玉米地离小明家2千米.由横坐标看出, 小明从玉米地走回家用了25分钟.所以平均速度为: 2÷25=0.08(千米/分钟).
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我们通过两个活动已学会了如何观察 分析图象信息.现在我们进行巩固练习,

看你能否快速、全面而准确地读出函数图
象中的信息。

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根据表中数值描点(x,y),并用光滑曲线连结这些点.

从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x 由小变大时,y=x+0.5随之增大.
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例3:在下列式子中,对于x的每个确定的值。y有 唯一的对应值,即y是x的函数.请画出这些函数的 图象。 6 (2)y= (x>0) (1)y=x+0.5 x
解:

(1)y=x+0.5

x取值范围是全体实数值, 列表如下:

x y

… …

-3
-2.5

-2
-1.5

-1
-0.5

0
0.5

1
1.5

2
2.5

… …
21

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6 (2)y= (x>0) x
自变量的取值范围x>0 列表:

x y

… 0.5 1 1.5 2 2.5 3 2.4 … 12 6 4

3 4 … 2 1.5 …

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据表中数值描点(x, y)并用光滑曲线连结这些点,就得 到图象.

从函数图象可以看出,曲线从左向右下降,即当x 由小变大时, y= 6 随之减小.
x
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我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般

步骤
第一步:列表.在自变量取值范围内选定一些值.通过 函数关系式求出对应函数值列成表格. 第二步:描点.在直角坐标系中,以自变量的值为横 坐标,相应函数值为纵坐标,描出表中对应各点. 第三步:连线.按照坐标由小到大的顺序把所有点用 平滑曲线连结起来.

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(一)、选择题:
1.如果A、B两人在一次百米赛跑中,路程s(米) 与赛跑的时间t(秒)的关系如图所示,则下列说 法正确的是( C ) (A) A比B先出发 (B) A、B两人的速度相同 (C) A先到达终点 (D) B比A跑的路程多 2.某人早上进行登山活动,从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回,若 用横轴表示时间t,纵轴表示与山脚距离h,那么下列四个图中反映全程 h与t的关系图是( D )

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3.小芳今天到学校参加初中毕业会考,从家

里出发走10分到离家500米的地方吃早餐,吃早 餐用了20分;再用10分赶到离家1000米的学校参 加考试.下列图象中,能反映这一过程的是 ( D ) .
y/米 y/米 y/米 y/米

1500

1500

1500

1500

1000

1000

1000

1000

500

500

500

500

x/分 O 10 20 30 40 50 O 10 20 30 40 50

x/分 O 10 20 30 40 50

x/分 O 10 20 30 40 50

x/分

A

B

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C

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D

4.某装水的水池按一定的速度放掉水池的一 半后,停止放水并立即按一定的速度注水,水 池注满后,停止注水,又立即按一定的速度放 完水池的水。若水池的存水量为v(立方米), 放水或注水的时间为t(分钟),则v与t的关 系的大致图象只能是( A )

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5.一枝蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧掉5厘 米,则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃 后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关 系的是( C ).

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(二).小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅 报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后 回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距 离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系. 请你由图具体说明小明散步的情况.
解:

小明先走了约3分钟, 到达离家250米处的 一个阅报栏前看了5 分钟报,又向前走了 2分钟,到达离家 450米处返回,走了 6分钟到家。
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四、中考实战
甲,乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地,已知 乙比甲先出发.他们离出发地的距离s/km和骑行时间 t/h之间的函数关系如图所示,给出下列说法: a.他们都骑了20km; b.乙在途中停留了0.5h; c.甲和乙两人同时到达目的地; d.甲乙两人途中没有相遇过. 根据图象信息,以上说法正确的是 (B )
s/km

20

乙 甲 A.1个 B.2个

O

0.5

1

2

2.5

t/h
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C.3个

D.4个
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龟兔赛跑
领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉, 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但已 经来不及了,乌龟先到达了终点………现在用 S 1和 S 2 分别表示乌龟、兔子所走的路程,t为时间,则下列 图象中,能够表示S 和t之间的函数关系式的是( C )
S/m

S/m

S/m

S/m

s1 s2
X/s
O

s1 s2
X/s
O
O

s1 s2
X/s
O

s1 s2
X/s

A

B
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C

D
31

1、函数图象上点的横、纵坐标分别 对应 自变量 值和 函数 的值。 2、从函数图象中获得的信息来研究 实际问题关键要注意分清横轴和纵 轴表示的 实际含义

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七、作业

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33

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尝试练习:
课本P103思考题。
解答 解:1.由题意可知,开始时壶内有一定量水,最终漏 完,即开始时间z=0时,壶底水面高y≠0.最终漏完即 时间小到某一值时y=0. 故(1)图错. 又因为壶内水面高低影响水的流速,开始漏得快, 逐渐慢下来. 所以(3)图更适合表示这个函数关系.
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2.图(1)曲线表示y是x的函数.
因为过(a,0)画y轴平行线与图形曲线只有一个

交点。即x=a时,y有唯一的值与其对应。符合函数
意义. 图(2)曲线不表示y是x的函数. 因为过点(a,0)画y轴平行线,与图中曲线有三 个交点,即x=a时,y有三个值与其对应,不符合函 数意义.

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