当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省黄冈市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题 1.总体编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( ) 7816 6572 0802 6314 0702 436

9 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01 2.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 3.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是( )

A.7 B.8 C.9 D.15 4.下列说法错误的是( ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 5.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 6 7 8 9 年龄 x 118 126 136 144 身高 y 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( )
第 1 页(共 22 页)

A.154 B.153 C.152 D.151 6.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 7.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( 一年级 二年级 x 女生 373 370 男生 377 A.24 B.18 C.16 8.已知双曲线 ﹣ ) 三年级 y z D.12

=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

9.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,

,则 AA1 与平面

AB1C1 所成的角为(



A.

B.

C.

D.

10.如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若 ∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为( )

A. B. C. D. 11.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

第 2 页(共 22 页)

A.

B.

C.

D.

12.过原点的直线与双曲线

(a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异

N 的一点, 于 M, 若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 , 则双曲线的离心率为 ( A. B. C. D.2



13.椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB 过 F1,若△ ABF2 的内切圆周长为 )

4,A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则|y2﹣y1|的值为( A. B. C. D.

二、填空题 14.三进制数 121(3)化为十进制数为 . 2 15.若命题“?x∈R,使 x +(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为 16.在区间[﹣2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m= 17.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点;

. .

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有两条.

第 3 页(共 22 页)

⑤过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 迹为椭圆 其中真命题的序号为

,则动点 P 的轨

(写出所有真命题的序号)

三、解答题 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 20 醉酒驾车的驾驶员共 人,检测结果如表: [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 酒精含量 (mg/100ml) 3 4 1 4 2 3 2 1 人数 (1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

19.p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长分别为 的三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ) 第四次射击时,该运动员瞄准△ ABC 区域射击(不会打到△ ABC 外) ,则此次射击 的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) 21.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值; (2)是否存在实数 p,使得以线段 AB 为直径的圆过 Q 点?若存在,求出 p 的值;若不存 在,说明理由.

第 4 页(共 22 页)

22.在直角梯形 PBCD 中,

,A 为 PD 的中点,如图.将 ,如图.

△ PAB 沿 AB 折到△ SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的正切值.

23.已知点 P 是圆 C: (x+ )2+y2=16 上任意一点,A( ,0)是圆 C 内一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 CP 交于点 Q,O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的动直线与 E 交于 M,N 两点,当△ OMN 的面积最大时,求此 时直线的方程.

第 5 页(共 22 页)

2015-2016 学年湖北省黄冈市高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.总体编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01 【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论. 【解答】 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小 于 20 的编号依次为 08,02,14,07,02,01, .其中第二个和第四个都是 02,重复. 可知对应的数值为 08,02,14,07,01, 则第 5 个个体的编号为 01. 故选:D. 2.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④

B.①②④ C.②④

D.①③④

【分析】由茎叶图数据,求出甲、乙同学成绩的中位数,平均数,估计方差,从而解决问题. 【解答】解:根据茎叶图数据知, ①甲同学成绩的中位数是 81,乙同学成绩的中位数是 87.5, ∴甲的中位数小于乙的中位数; ②甲同学的平均分是 乙同学的平均分是 ∴乙的平均分高; ③甲同学的平均分是 =81 乙同学的平均分是 =85, = = =81, =85,

第 6 页(共 22 页)

∴甲比乙同学低; ④甲同学成绩数据比较集中,方差小,乙同学成绩数据比较分散,方差大. ∴正确的说法是③④. 故选:A. 3.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是( )

A.7

B.8

C.9

D.15

【分析】 由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,将 x=﹣4,代入可得答案. 【解答】解:由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= ∵x=﹣4<3, 故 y=(﹣4)2﹣1=15, 故选:D 4.下列说法错误的是( ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 【分析】通过对选项判断命题的真假,找出错误命题即可. 【解答】解:若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题,满足命题的真假的判断,是正确 的. 命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为:“若方程 x2+x﹣m=0 有实数根,则 m>0”,方程 x2+x﹣m=0 有实数根只要△ =1+4m≥0,所以不一定得到 m>0,所以 B 错. 命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为:若 a≤b,则 ac2≤bc2,显然是真命题. 若命题“¬p∨q”为假命题,则 p 是真命题,¬q 是真命题,则“p∧¬q”为真命题,正确. 故选:B. 5.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 6 7 8 9 年龄 x 118 126 136 144 身高 y 的值,

第 7 页(共 22 页)

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( ) A.154 B.153 C.152 D.151 【分析】先计算样本中心点,进而可求线性回归方程,由此可预测该学生 10 岁时的身高. 【解答】解:由题意, =7.5, =131 代入线性回归直线方程为 ∴ ∴x=10 时, 故选 B. 6.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 【解答】解:a≠5 且 b≠﹣5 推不出 a+b≠0,例如:a=2,b=﹣2 时 a+b=0, a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠﹣5,例如:a=5,b=﹣6, 故“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件, 故选:D. 7.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( 一年级 二年级 x 女生 373 370 男生 377 A.24 B.18 C.16 ) 三年级 y z D.12 =153 ,131=8.8×7.5+ ,可得 =65,

【分析】根据题意先计算二年级女生的人数,则可算出三年级的学生人数,根据抽取比例再 计算在三年级抽取的学生人数. 【解答】 解: 依题意我们知道二年级的女生有 380 人, 那么三年级的学生的人数应该是 500, 即总体中各个年级的人数比例为 3:3:2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 . 故选 C.

8.已知双曲线



=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

第 8 页(共 22 页)

【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为(﹣1,0) ,从而得出左焦点为 F(﹣1,0) ,再设 出双曲线的方程,利用离心率的公式和 a、b、c 的平方关系建立方程组,解出 a、b 的值即 可得到该双曲线的方程. 【解答】解:∵抛物线方程为 y2=﹣4x,∴2p=4,得抛物线的焦点为(﹣1,0) . 2 ∵双曲线的一个焦点与抛物 y =﹣4x 的焦点重合, ∴双曲线的左焦点为 F(﹣1,0) , 设双曲线的方程为 (a>0,b>0) ,可得 a2+b2=1…①

∵双曲线的离心率等

,∴

=

,即

…②

由①②联解,得 a2= ,b2= , ∴该双曲线的方程为 5x2﹣ 故选 B.

=1.

9.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,

,则 AA1 与平面

AB1C1 所成的角为(



A.

B.

C.

D.

【分析】建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】解:∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ,

∴建立以 A 为坐标原点,AC,AB,AA1 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: 则 A1(0,0, ) ,A(0,0,0) ,B1(0,2, ) ,C1(2,0, ) , 则 =(0,2, ) , =(2,0, ) , =(0,0, ) ,

设平面 AB1C1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ? =2y+ z=0, ,y=﹣ ? , =2x+ z=0,

令 z=1,则 x=﹣

第 9 页(共 22 页)

即 =(﹣

,﹣

, 1) , , >

则 AA1 与平面 AB1C1 所成的角 θ 满足 sinθ=|cos< |= = ,

则 θ=



故选:A.

10.如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若 ∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】用空间向量解答. 【解答】解:∵ ∴ 即 ?
2

= ﹣ + ?

+





=( = ? )

+

)2; ﹣ ? + ? + ? ﹣ ? ﹣( ? + ? ﹣

2

=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣(3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9) ; =1﹣ +1 ∴A1C= . 故选 A. ﹣ ﹣ +9=5,

第 10 页(共 22 页)

11.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数,由于输出的数为 4,故问 题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 4 的概率,计算出从 5 个数中取三个的取法总数 和所取的数最大为 4 的取法个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解:由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数, 由于输出的数为 4, 故问题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 4 的概率, 从集合 A 中任取三个数有 =10 种取法, =3 种取法,

其中最大数为 4 时,表示从 1,2,3 中任取 2 两个数,有 故概率 P= 故选:C. .

12.过原点的直线与双曲线

(a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异

N 的一点, 于 M, 若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 , 则双曲线的离心率为 ( A. B. C. D.2



【分析】设 P(x0,y0) ,M(x1,y1) ,则 N(x2,y2) .利用 kPMkPN= ,化简,结合平方 差法求解双曲线 C 的离心率. 【解答】解:由双曲线的对称性知,可设 P(x0,y0) ,M(x1,y1) ,则 N(x2,y2) .

第 11 页(共 22 页)

由 kPMkPN= ,可得: ,

,即

,即

又因为 P(x0,y0) ,M(x1,y1)均在双曲线上, 所以 , ,所以 ,

所以 c2=a2+b2= ,所以双曲线 C 的离心率为 e= =

= .

故选:A.

13.椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB 过 F1,若△ ABF2 的内切圆周长为 )

4,A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则|y2﹣y1|的值为( A. B. C. D.

【分析】求出椭圆的焦点坐标,结合椭圆的定义,通过三角形的面积转化求解即可. 【解答】解:椭圆: ,a=5,b=4,∴c=3,左、右焦点 F1(﹣3,0) 、F2( 3,0) ,

△ ABF2 的内切圆面积为 π,则内切圆的半径为 r= , 而△ ABF2 的面积=△ A F1F2 的面积+△ BF1F2 的面积= ×|y1|×|F1F2|+ ×|y2|×|F1F2|= × (|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2﹣y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧) 又△ ABF2 的面积= ×r(|AB|+|BF2|+|F2A|)= 所以 3|y2﹣y1|=5,|y2﹣y1|= . 故选:D. 二、填空题 14.三进制数 121(3)化为十进制数为 16 . 【分析】利用累加权重法,即可将三进制数转化为十进制,从而得解. 【解答】解:由题意,121(3)=1×32+2×31+1×30=16 故答案为:16 15.若命题“?x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为 ﹣1≤a≤3 . 【分析】先求出命题的否定,再用恒成立来求解
第 12 页(共 22 页)

(2a+2a)=a=5.

【解答】解:命题“?x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”的否定是:““?x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1≥0” 即:△ =(a﹣1)2﹣4≤0, ∴﹣1≤a≤3 故答案是﹣1≤a≤3

16.在区间[﹣2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m= 【分析】画出数轴,利用 x 满足|x|≤m 的概率为 ,直接求出 m 的值即可.

3 .

【解答】解:如图区间长度是 6,区间[﹣2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率 为 ,所以 m=3. 故答案为:3.

17.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有两条. ⑤过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 迹为椭圆 其中真命题的序号为 ①②④ (写出所有真命题的序号) 【分析】①根据椭圆和双曲线的 c 是否相同即可判断. ②根据抛物线的性质和定义进行判断. ③根据双曲线的定义进行判断. ④根据抛物线的定义和性质进行判断. ⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断. 【解答】解:①由 得 a2=16,b2=9,则 c2=16+9=25,即 c=5, ,则动点 P 的轨

由椭圆

得 a2=49,b2=24,则 c2=49﹣24=25,即 c=5,则双曲线和椭圆有相同的焦

点,故①正确, ②不妨设抛物线方程为 y2=2px(p>0) , 取 AB 的中点 M,分别过 A、B、M 作准线的垂线 AP、BQ、MN,垂足分别为 P、Q、N, 如图所示:
第 13 页(共 22 页)

由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|, 在直角梯形 APQB 中,|MN|= (|AP|+|BQ|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故圆心 M 到准线的距离等于半径, ∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,故②正确, ③平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线, 当 0<k<|AB|时是双曲线的一支,当 k=|AB|时,表示射线,∴故③不正确; ④过抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0)作直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点, 当直线 l 的斜率不存在时,横坐标之和等于 2,不合题意; 当直线 l 的斜率为 0 时,只有一个交点,不合题意; ∴设直线 l 的斜率为 k(k≠0) ,则直线 l 为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 2 代入抛物线 y =4x 得,k x ﹣2(k +2)x+k =0; ∵A、B 两点的横坐标之和等于 5, ∴ =5,解得 k2= ,

∴这样的直线有且仅有两条.故④正确, 2 2 2 + =r , y0) b+rsinθ) ⑤设定圆 C 的方程为 (x﹣a) (x﹣b) 其上定点 A (x0, , 设B (a+rcosθ, , P(x,y) ,



= (

+

)得

,消掉参数 θ,得: (2x﹣x0﹣a)2+(2y﹣y0﹣b)

2

=r2,即动点 P 的轨迹为圆,故⑤错误; 故答案为:①②④

三、解答题 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表: [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 酒精含量 (mg/100ml)
第 14 页(共 22 页)

3 4 1 4 2 3 2 1 人数 (1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

【分析】 (1)计算酒精含量(mg/100ml)在各小组中的

,绘制出频率分布直方图即可;

(2)计算检测数据中酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上的频率, 根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数, 再计算数据的平均数值. 【解答】解: (1)酒精含量(mg/100ml)在[20,30)的 在[30,40)的 在[40,50)的 在[50,60)的 在[60,70)的 在[70,80)的 在[80,90)的 在[90,100]的 为 为 为 为 为 为 为 =0.020, =0.005, =0.20, =0.010, =0.015, =0.010, =0.005; 为 =0.015,

绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示:



(2)检测数据中醉酒驾驶(酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上时)的频率是 ;…
第 15 页(共 22 页)

根据频率分布直方图,小矩形图最高的是[30,40)和[50,60) , 估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55;… 估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55 +0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55.…

19.p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且 p∧q 为真,求实数 x 的取值 范围; (2) 利用¬p 是¬q 的充分不必要条件, 即 q 是 p 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由 x2﹣4ax+3a2<0,得(x﹣3a) (x﹣a)<0.又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由 得

得 2<x≤3, 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p?¬q,且¬q 推不出¬p. 即 q 是 p 的充分不必要条件, 则 ,解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 20.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长分别为 的三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ) 第四次射击时,该运动员瞄准△ ABC 区域射击(不会打到△ ABC 外) ,则此次射击 的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) 【分析】 (Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3,从 这 6 次射击成绩中随机抽取两个,利用列举法求出基本事件个数,并找出可使|a﹣b|>1 发 生的基本事件个数.由此能求出事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ)因为着弹点若与 x1、x2、x3 的距离都超过 y1、y2、y3cm,利用几何概型能求出此次 射击的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率. 【解答】解: (Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3, 从这 6 次射击成绩中随机抽取两个,
第 16 页(共 22 页)

基本事件是:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},{y1,y3},{y2,y3}, {x1,y1},{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1},{x2,y2},{x2,y3}, {x3,y1},{x3,y2},{x3,y3},共 15 个,… 其中可使|a﹣b|>1 发生的是后 9 个基本事件. 故 .…

(Ⅱ)因为着弹点若与 x1、x2、x3 的距离都超过 y1、y2、y3cm, 则着弹点就不能落在分别以 6 为中心, 半径为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3}cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外的部分… 因为 满足题意部分的面积为 故所求概率为 .… ,… ,…

21.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值; (2)是否存在实数 p,使得以线段 AB 为直径的圆过 Q 点?若存在,求出 p 的值;若不存 在,说明理由.

【分析】 (1)求出 p=4,可得抛物线方程,与直线 y=2x+2 联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,利用韦达定理,通过|AF||BF|=(y1+2) (y2+2)求解即可. 2 (2)假设存在,由抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 通过△ >0,以及韦达定理推出 P(2p,4p+2) ,Q(2p,2p) , 方法一利用弦长公式 方法二:通过 ,求出 p.

化简,结合韦达定理,求解 p 即可. 【解答】解: (1)∵F(0,2) ,p=4,∴抛物线方程为 x2=8y,… 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x2﹣16x﹣16=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)… 则 x1+x2=16,x1x2=﹣16,… ∴|AF||BF|=(y1+2) (y2+2)=(2x1+4) (2x2+4)=80;… 2 (2)假设存在,由抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x2﹣4px﹣4p=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,△ >0,则 x1+x2=4p,x1x2=﹣4p,… P(2p,4p+2) ,Q(2p,2p) ,…
第 17 页(共 22 页)

方法一∴|PQ|=2p+2,… … , ∴4p2+3p﹣1=0, … 故存在 p= 且满足△ >0… 方法二:由 得: (x1﹣2p) (x2﹣2p)+(y1﹣2p) (y2﹣2p)=0… 即(x1﹣2p) (x2﹣2p)+(2x1+2﹣2p) (x2+2﹣2p)=0,… ∴ 代入得 4p2+3p﹣1=0, 故存在 p= 且满足△ >0, ∴p= … . ,…

22.在直角梯形 PBCD 中,

,A 为 PD 的中点,如图.将 ,如图.

△ PAB 沿 AB 折到△ SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的正切值.

【分析】 (法一) (1)由题意可知,翻折后的图中 SA⊥AB①,易证 BC⊥SA②,由①② 根据直线与平面垂直的判定定理可得 SA⊥平面 ABCD; (2) (三垂线法)由 考虑在 AD 上取一点 O,使得 ,从而可得 EO∥SA,

所以 EO⊥平面 ABCD,过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH,∠EHO 为二面角 E﹣AC ﹣D 的平面角,在 Rt△ AHO 中求解即可 (法二:空间向量法) (1)同法一 (2) 以 A 为原点建立直角坐标系, 易知平面 ACD 的法向为 的法向量,代入公式求解即可
第 18 页(共 22 页)

, 求平面 EAC

【解答】解法一: (1)证明:在题平面图形中,由题意可知,BA⊥PD,ABCD 为正方形, 所以在翻折后的图中,SA⊥AB,SA=2,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB⊥BC,AB⊥BC,SB∩AB=B 所以 BC⊥平面 SAB, 又 SA?平面 SAB, 所以 BC⊥SA, 又 SA⊥AB,BC∩AB=B 所以 SA⊥平面 ABCD, (2)在 AD 上取一点 O,使 因为 ,所以 EO∥SA ,连接 EO

因为 SA⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥平面 ABCD, 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH, 则 AC⊥平面 EOH, 所以 AC⊥EH. 所以∠EHO 为二面角 E﹣AC﹣D 的平面角, 在 Rt△ AHO 中, ∴ , .

即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为 解法二: (1)同方法一 (2)解:如图,以 A 为原点建立直角坐标系,A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) , D(0,2,0) ,S(0,0,2) ,E(0, ∴平面 ACD 的法向为 设平面 EAC 的法向量为 =(x,y,z) , )





所以

,可取

所以 =(2,﹣2,1) . 所以

所以
第 19 页(共 22 页)

即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为

23.已知点 P 是圆 C: (x+ )2+y2=16 上任意一点,A( ,0)是圆 C 内一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 CP 交于点 Q,O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的动直线与 E 交于 M,N 两点,当△ OMN 的面积最大时,求此 时直线的方程. 【分析】 (1)直接由题意可得|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2 ,符合椭圆定义,且得到长半轴和半 焦距,再由 b2=a2﹣c2 求得 b2,则点 Q 的轨迹方程可求; (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由题意可设直 l 的方程为:y=kx﹣2,与椭圆的方程联 立可得根与系数的关系,再利用三角形的面积计算公式即可得出 S△ OMN.通过换元再利用 基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)由题意知|PQ|=|AQ|, 又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4… ∴|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2 由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,a=2,c= … ∴b=1, ∴点 Q 的轨迹 E 的方程 =1.…

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为:y=kx﹣2,M(x1,y1) ,N (x2,y2) , 联立方程组,将 y=kx﹣2 代入 =1 得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0…
第 20 页(共 22 页)

当△ >0 时,即 k2> 时,x1+x2=

,x1x2=

,…

则△ OMN 的面积 S= |OB||x1﹣x2|= 设 =t>0,





,最大值为 1… ,满足△ >0… x﹣2…



=2,k=±

∴直线的方程为 y=±

第 21 页(共 22 页)

2016 年 4 月 9 日

第 22 页(共 22 页)


相关文章:
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题 ...
湖北省黄冈中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
(共 26 页) 2015-2016 学年湖北省黄冈中学高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出...
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省黄冈市2015-2016学年高二()期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(...
2015-2016学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题...
湖北省荆门市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省荆门市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省荆门市高二(上)期末数学试卷(理科)一...
湖北省部分重点中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省部分重点中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省部分重点中学高二(上)期末 数学...
湖北省随州市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省随州市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷(理科)一...
高二数学-2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)
(3)若△ ABF1 的面积为 ,求椭圆 C 的标准方程; ,求椭圆 C 的标准方程. 2015-2016 学年高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、填空题(本大...
(新课标)2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷(理)
(新课标)2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷(理)_高中教育_教育专区。2015-2016 学年度学期(期末)考试高二数学理试题【新课标】试卷说明: 1、本试卷满分...
更多相关标签:
2016年湖北省理科状元 | 湖北省黄冈市 | 湖北省黄冈市蕲春县 | 湖北省黄冈市浠水县 | 湖北省黄冈市黄梅县 | 湖北省黄冈市麻城市 | 湖北省黄冈市黄州区 | 湖北省黄冈市天气预报 |