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关于球的内切外接问题


一、直接法 1. 求正方体的外接球的有关问题 例1. 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 答案: 27? 变式题:一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 24,则该球的 体积为 . 2. 求长方体的外接球的有关问题 例 2.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则此 球的表面积为 . 14 ? 答

案: 变式题:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为 ( ) A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 球与棱柱的组合体问题 例 1.甲球内切于正方体的各面,乙球内切于该正方体的各条棱,丙球外接于该正方体,则三 球表面面积之比为( ) A. 1: 2 : 3 答案:选择 A B. 1: 2 : 3 C. 1: 3 4 : 3 9 D. 1: 8 : 27

二、构造法 1. 构造正方体 例 4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 答案: 9?

变式题(浙江高考题)已知球 O 的面上四点 A、B、C、D, DA ? 平面ABC , AB ? BC ,

DA ? AB ? BC ? 3 则球 O 的体积等于
答案:

9 ? 2

例 5.求棱长为 a 的正四面体 P ? ABC 的外接球的表面积。

变式题:1.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( A. 3? 答案:选 A ) B. 4? C. 3 3? D. 6?

o 2.在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2,?DAB ? 60 ,E 为 AB 的中点, 将 ADE 与 BEC

分布沿 ED、 EC 向上折起, 使 A、 B 重合于点 P, 则三棱锥 P ? DCE 的外接球的体积为 ( A.



4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24

答案:C

2. 构造长方体 例.已知点 A、 B、 C、 D 在同一个球面上,AB ? 平面BCD ,BC ? DC , AB=6, AC= 2 13 , AD=8,则 B、C 两点间的球面距离是 答案:

4 ? 3

三、确定球心位置法 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,AC 沿将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,则 四面体 ABCD 的外接球的体积为( ) A.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 ? 3

答案:C

四、公式法 一个六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直于底面, 已知该六棱术的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 答案:

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

五、构造直角三角形 例 13.求棱长为 1 的正四面体外接球的体积.

答案:

六、寻求轴截面圆半径法 例 14.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 则此球的体积为 .

,点 S,A,B,C,D 都在同一球面上,

解 设正四棱锥的底面中心为 O1 ,外接球的球心为 O,如图 3 所示.∴由球的截面的性质, 可得 OO1 ? 平面ABCD ,又 SO1 ? 平面ABCD ∴球心 O 必在 SO 所在的直线上. ∴ ASO 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径. 在 ASC 中,由 SA ? SC ?

2 , AC ? 2 得 SA2 ? SC 2 ? AC 2 .

? ASC 是以 AC 为斜边的 RT AC 4 ? ? 1 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故 V球 ? ? 2 3
【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面 体高的四等分点,即内切球的半径为 (h 为正四面体的高),且外接球的半径 , 从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。 七、 (2012 年东北三校联考 12 题)在底面半径为 3,高为 4 ? 2 3 的圆柱形有盖容器中,放 入一个半径为 3 的大球后再放入与球面、 圆柱侧面及上底面均相切的小球, 则放入的小球的 个数最多的为( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D.7 个 答案:C


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