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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第5讲 双曲线(含解析)新人教A版


第 5 讲 双曲线
一、选择题 1.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9 A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2

).

解析 双曲线 2- =1 的渐近线方程为 3x±ay=0 与已知方程比较系数得 a=2. a 9 答案 C x2 y2 2.已知双曲

线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b ( x y A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20
2 2

x2 y2

).

x y B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80

2

2

解析 不妨设 a>0,b>0,c= a2+b2. 据题意,2c=10,∴c=5. b 2b 双曲线的渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在 C 的渐近线上,∴1= . a a 由①②解得 b2=5,a2=20,故正确选项为 A. 答案 A y2 → → 3. 已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为双曲线右支上一点, 则PA1· PF2的 3 最小值为 A.-2 81 B.- 16 C.1 ( ). D.0 ② ①

y2 解析 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 =x2-1,y2=3(x2 3 → → -1),PA1· PF2=(-1-x,-y)· (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2 1?2 81 → → -x-5=4? PF2取得最小值-2,选 A. ?x-8? -16,其中 x≥1.因此,当 x=1 时,PA1· 答案 A x2 y2 a2 4.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0)作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E, a b 4 → → → 延长 FE 交双曲线右支于点 P,若OF+OP=2OE,则双曲线的离心率为 ( ).

1

A. 2

B.

10 5

C.

10 2

D. 10

→ → → → → → → → 解析 设双曲线的右焦点为 A,则OF=-OA,故OF+OP=OP-OA=AP=2OE,即 OE 1 a = AP.所以 E 是 PF 的中点,所以 AP=2OE=2× =a.所以 PF=3a.在 Rt△APF 中,a2 2 2 5 +(3a)2=(2c)2,即 10a2=4c2,所以 e2= ,即离心率为 e= 2 答案 C x2 y2 5.已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐 4 b 近线的距离等于 A. 5 B.4 2 ( C.3
2 2

5 10 = ,选 C. 2 2

). D.5

x y 解析 易求得抛物线 y2=12x 的焦点为(3,0),故双曲线 - 2=1 的右焦点为(3,0),即 c 4 b 5 =3,故 32=4+b2,∴b2=5,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,∴双曲线的右焦点到 2

其渐近线的距离为

? 5×3? ?2 ?
5 1+ 4

= 5.

答案 A 6.如图,已知点 P 为双曲线 - =1 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,I 16 9 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+λ S△IF1F2 成立,则 λ 的值为( )

x2

y2

5 4 A. B. 8 5 4 3 C. D. 3 4 解析 根据 S△IPF1=S△IPF2+λ S△IF1F2,即|PF1|=|PF2|+λ |F1F2|, a 4 即 2a=λ 2c,即 λ = = . c 5 答案 B 二、填空题 7.双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距离是________. 3 6 解析 由题意得:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x. 3 6

x2 y2

x2 y2

2

∴焦点(3,0)到直线 y=± 2x 的距离为 答案 6

3 2 2+1

= 6.

x2 y2 8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5, 则 m 的值为________. m m +4 解析 由题意得 m>0,∴a= m,b= m2+4. m2+m+4 c ∴c= m2+m+4,由 e= = 5,得 =5, a m 解得 m=2. 答案 2 9. 如图, 已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、 B 为左、 右焦点, 且双曲线过 C、 D 两顶点. 若

AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.

解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由题意得 B(2,0),C(2,3), 4=a +b , ? ? ∴? 4 9 2- 2=1, ? ?a b
2 2 2

x2 y 2 a b

? ?a =1, 解得? 2 ?b =3, ?

∴双曲线的标准方程为 x - =1. 3 答案 x - =1 3 x2 y2 10.如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1, a b A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别 为 A,B,C,D.则 (1)双曲线的离心率 e=________; (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S1 S2 的比值 =________. S2 解析 (1)由题意可得 a b2+c2= bc,∴ a4-3a2c2+ c4= 0,∴ e4-3e2+1=0 ,∴e2=
2

2

y2

y2

3+ 5 1+ 5 ,∴e= . 2 2
3

(2)设 sin θ=

b2+c2 2 1 b c S1 2bc 2bc , cos θ = , = = = =e - = 2 2a2 2 b2+c2 b2+c2 S2 4a sin θcos θ 4a2 bc 2 2 b +c

2+ 5 . 2 答案 1+ 5 2+ 5 (1) (2) 2 2

三、解答题 11.中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1F2|=2 13, 椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 解 (1)由已知:c= 13,设椭圆长、短半轴长分别为 a,b,双曲线半实、虚轴长分别

为 m,n, a-m=4, ? ? 则? 13 13 ? ?7· a =3·m . 解得 a=7,m=3.∴b=6,n=2. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1,双曲线方程为 - =1. 49 36 9 4 (2)不妨设 F1, F2 分别为左、 右焦点, P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14, |PF1| -|PF2|=6, 所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2 13, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| 102+42-?2 13?2 4 = = . 5 2×10×4 12.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e= 2,∴设双曲线方程为 x2-y2=λ.

又∵双曲线过(4,- 10)点,∴λ=16-10=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 法一 由(1)知 a=b= 6,c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),
4

m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 ∴kMF1· kMF2= = , 9-12 -3 又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3, → → ∴kMF1· kMF2=-1,MF1⊥MF2,MF1· MF2=0. → → 法二 ∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)(3-2 3)+m2=-3+m2. ∵M 在双曲线上,∴9-m2=6, → → ∴m2=3,∴MF1· MF2=0. (3)解 ∵在△F1MF2 中,|F1F2|=4 3,且|m|= 3,

1 1 ∴S△F1MF2= · |F F |· |m|= ×4 3× 3=6. 2 1 2 2 2 2 x y 13.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且 PF1 a b ⊥PF2,|PF1|=8,|PF2|=6. (1)求双曲线的方程; → → (2)设过双曲线左焦点 F1 的直线与双曲线的两渐近线交于 A,B 两点,且F1A=2F1B,求 此直线方程. 解 (1)由题意知,在 Rt△PF1F2 中, |F1F2|= |PF1|2+|PF2|2, 即 2c= 82+62=10,所以 c=5. 由椭圆的定义,知 2a=|PF1|-|PF2|=8-6=2,即 a=1. y2 所以 b2=c2-a2=24,故双曲线的方程为 x2- =1. 24 (2)左焦点为 F1(-5,0),两渐近线方程为 y=± 2 6x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在. 设过左焦点的直线方程为 y = k(x + 5) ,则与两渐近线的交点为 ?

? 5k , 10 6k ? ?和 ?2 6-k 2 6-k?

?- 5k , 10 6k ? ? k+2 6 k+2 6?. ? ?
→ → 由F1A=2F1B,得

? 5k +5, 10 6k ? ?- 5k +5, 10 6k ? ?2 6-k ?=2? ?或者 2 6-k? ? k+2 6 k+2 6? ?

5

5k 10 6k ? ? 5k 10 6k ? ? ?-k+2 6+5,k+2 6?=2?2 6-k+5,2 6-k?, ? ? ? ? 2 6 解得 k=± . 3 2 6 故直线方程为 y=± (x+5). 3 x2 y2 14. P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线 E 的 a b 1 左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 → → → 双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值. x2 y2 x2 y2 0 0 解 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1. a b a b y0 y0 1 由题意有 · = , x0-a x0+a 5 c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e= = . a 5
2 2 2 ? ?x -5y =5b , ? (2)联立 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
1 2 2 1 2

5c



? ?x3=λx1+x2, → → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即? ?y3=λy1+y2. ?
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,有

(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得 λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .



又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为 λ2+4λ=0,解得 λ=0 或 λ=-4.

6


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