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11-12学年高一上学期期末考试(4)


2011~2012 学年高一数学第一学期期末复习试卷(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题纸相应位置上. ........
1. 2. 3. 4.
tan 600 的值是
?



. ▲ ▲ . .

已知集合 M ?

?? x , y ? | x ? y ? 2? , N ? ?? x , y ? | x ? y ? 4? ,那么集合 M ? N ?
? ? ? ? ? ? 设平面向量 a ? ? 2, ? 1 ? , b ? ? ? 1, m ? , c ? ? ? 1, 2 ? ,若 a ? b / / c ,则 m ?

?

?

函数 y ?

1 x

? log 2 ? x ? 3 ? 的定义域





5.

将 y ? 3 sin 2 x 的图像向右平移
2? 3



? ? 个单位长度得到 y ? 3 sin ? 2 x ? 6 ?

? ? 的图像. ?

6.

已知 e1 , e 2 是夹角为 ▲ .

的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e 2 , b ? k e1 ? e 2 ,若 a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为

7.

已知 0 ? a ? 1, x ? log a ▲ .

2 ? log a

3, y ?

1 2

log a 5, z ? log a

21 ? log a

3 ,则 x , y , z 的大小关系为

8.

函数 f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? 1 ? x ? a ? 2 的一个零点比 1 大,另一个零点比 1 小,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
?? x? ? ?
2

9.

已知函数 f ? x ? ? e ▲

( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且 f ? x ? 是偶函数,则 m ? ? ?



10. 已知函数 f ? x ? ? log 3 x 的定义域为 ? a , b ? ,值域为 ? 0,1? ,若区间 ? a , b ? 的长度为 b ? a ,则 b ? a 的 最小值为 ▲ .

11. 设点 O 为原点,点 A , B 的坐标分别为 ? a , 0 ? , ? 0, a ? ,其中 a 是正的常数,点 P 在线段 AB 上,且

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AP ? t AB ? 0 ? t ? 1? ,则 OA ? OP 的最大值为





?? ? 12. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 其 中 ? 为 实 数 , 若 f ? x ? ? f ? ? 对 x ? R 恒 成 立 , 且 ?6?
?? ? f ? ? ? f ? ? ? ,则 f ? x ? 的单调递增区间是 ?2?





13. 设函数 f ? x ? 满 足:对任意的 x ? R ,恒有 f
1 ? ? x ? 2, 0? x ? 2 ? ,则 f ? 9.9 ? ? f ? x? ? ? 1 ? 5, ? x ? 1 ? ? 2

? x ? ? 0 , f ? x? ?

7? f

2

?

x ? 1 , 当 x ? ? 0 , 1? 时, ?





14. 函数 f ? x ? 的定义域为 D , 若满足: f ? x ? 在 D 内是单调函数; ① ②存在 ? a , b ? ? D , f ? x ? 在 ? a , b ? 使 上的值域为 ? a , b ? ,那么 y ? f ? x ? 叫做闭函数,现有 f ? x ? ? 围是 ▲ .
x ? 2 ? k 是闭函数,那么 k 的取值范

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
? ? ? ? 15. 已知向量 a ? ? sin ? ,1 ? , b ? ?1, cos ? ? , ? ? ? ? , ? . ? 2 2?

(1)若 a ? b ,求 ? 的值; (2)若已知 sin ? ? cos ? ?

? ? ? 2 sin ? ? ? ? ,利用此结论求 a ? b 的最大值. 4? ?

? ? ? 16. 已知 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 ( a 为常数) . 6? ?
(1)求 f ? x ? 的递增区间;
? ?? (2)若 x ? ? 0, ? 时, f ? x ? 的最大值为 4,求 a 的值 ? 2?

(3)求出使 f ? x ? 取最大值时 x 的集合.
??? ? ??? ? ??? ?

17. 如图,在

? OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA ? y ? OB .
B P O A

??? ??? ? ? (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值;

??? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA , OA ? 4, OB ? 2 ,且 O A 与 OB 的夹角为 60 ? (2)若 BP ? 3 ??? ??? ? ? 时,求 OP ? AB 的值.

18. 已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? lg ?1 ? x ? . (1)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性;

? a?b ? (2)求证: f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ?; ? 1 ? ab ? ? a?b ? ? a?b ? (3)已知 a , b ? ? ? 1,1? ,且 f ? ? ? 2 ,求 f ? a ? , f ? b ? 的值. ? ?1, f ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ?

19. 某企业实行裁员增效,已知现有员工 a 人,每人每年可创纯利润 1 万元,据评估在生产条件不变的条 件下,每裁员一人,则留岗员工每年可多创收 0.01 万元,但每年需付给下岗工人 0.4 万元生活费,并 3 且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的 ,设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元。 4 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当 140 ? a ? 280 时,问该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能获得 最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁) .

20. 已知 y ? f ? x ? 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 x ? x .
2

(1)求 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式;
?1 1 ? (2)问是否存在这样的正数 a , b ,当 x ? ? a , b ? 时, g ? x ? ? f ? x ? ,且 g ? x ? 的值域为 ? , ? ?若存 ?b a ?

在,求出所有的 a , b 的值,若不存在,请说明理由.

2011~2012 学年第一学期期末复习试卷(2)

高一数学
一、填空题:
1. 3 ;2.

?? 3, ? 1?? ;3.
1 ;10.

? 1 ; 4.

? ? 3, 0 ? ? ? 0, ?? ? ;5.

?
12

;6.

5 4

;7. y ? x ? z ;

8.

? ? 2,1? 9.
9 4

? 2? ? ? 2 ;11. a ;12. ? k ? ? , k ? ? ? k ? Z ? ;13. 3 6 3 ? ? ?
2

2;

14. ?

? k ? ?2

二、解答题:
? ? ? ? ? 15.解: (1)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? ? 0 ,因此 ? ? ? 4

(2) a ? b ?

? sin ?

? 1 ? ? ? cos ? ? 1 ?
2

2

?

2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ?

? ? ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 3 . 4? ?
2 ?1.

? ? ? ? 当 sin ? ? ? ? ? 1 时, a ? b 有最大值,此时 ? ? ,最大值为 2 2 ? 3 ? 4 4? ?
?
2

16.解: (1)由 2 k ? ?

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,所以 k ? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ? Z

? ?? ? 所以,递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ? k ? Z ? . 3 6? ?
? ?? (2)在 ? 0, ? 的最大值为 a ? 3 , a ? 3 ? 4 ,所以 a ? 1 . ? 2?

(3)由 2 x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,得 x ? k ? ?

?

? ? ? , k ? Z ,所以 ? x | x ? k ? ? , k ? Z ? . 6 6 ? ?

???? ??? ???? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 17.解: (1)因为 BP ? PA ,所以 BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA ,所以
??? ? 1 ??? 1 ??? ? ? 1 1 OP ? OA ? OB ,即 x ? , y ? . 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? (2)因为 OP ? 3 PA ,所以 BO ? OP ? 3 PO ? 3OA ,即 4 OP ? OB ? 3OA . ??? ? 3 ??? 1 ??? ? ? ??? ??? ? 3 ??? 1 ??? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 3 1 所以 OP ? OA ? OB , x ? , y ? . OP ? AB ? ? OA ? OB ? ? OB ? OA 4 4 4 4 4 ?4 ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 1 1 ??? ??? 3 ??? ??? 1 ??? ??? 3 1 1 2 2 OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ? 9 4 4 2 4 4 2 2

18.

解: (1) f ? x ? 为奇函数.因为 x ? 1 ? 0,1 ? x ? 0, 所以 ? 1 ? x ? 1 ,定义域为 ? ? 1,1 ? ,所以定义

域关 于原点对称,又 f ? ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? ? ? lg ?1 ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? ? ? 为奇函数. (2)因为 f ? a ? ? f ? b ? ? lg
1? a 1? a ? lg 1? b 1? b ? lg 1 ? a ? b ? ab 1 ? a ? b ? ab



a?b 1? ? a?b ? 1 ? ab ? lg 1 ? a ? b ? ab ,所以 f a ? f b ? f ? a ? b ? . f ? ? ? ? ? ? ? lg ? ? a?b 1 ? a ? b ? ab ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ? 1? 1 ? ab
? a?b ? (3)因为 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ? ,所以 f ? a ? ? f ? b ? ? 1 ,又 f ? a ? ? f ? ? b ? ? 2 ,所以 ? 1 ? ab ?

f ? a ? ? f ? b ? ? 2 ,由此可得: f ? a ? ?

3 2

, f ?b ? ? ?

1 2


140 ? ? a 2 x ?? ? ?x?a. 100 ? 100 100 ? 1

19.

解: (1)由题意可得 y ? ? a ? x ? ?1 ? 0.01 x ? ? 0.4 x ? ?

因为 a ? x ?

3 4

a ,所以 x ?

a

? a? ,即 x 的取值范围是 ? 0, ? 中的自然数. 4 ? 4?
2 2

1 ? 1 ?a ?a ?? ? (2)因为 y ? ? ? ? 70 ? ? a 且 140 ? a ? 280 ,所以 ? x ? ? ? 70 ? ? ? 100 ? 100 ? 2 ?2 ?? ?
a
a a ?1 ? a? ? 70 ? 70 ? ? 0, ? , a 为偶数, x ? ? 70 时,y 取最大值; a 为奇数, x ? 若 当 当 当 2 2 2 ? 4? a ?1 2 ? 70 时, y 取最大值。因为要尽可能少裁人,所以 x ? a ?1 2 ? 70 。综上所述,

或x ?

?a ? ? a ?1 ? ? 70 ? 人. 当 a 为偶数时,裁员 ? ? 70 ? 人;当 a 为奇数时,裁员 ? ?2 ? ? 2 ?

20.

解: (1)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,于是 f ? ? x ? ? ? 2 x ? x ,又 f ? x ? 为奇函数,所以
2

f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? 2 x ? x ,即 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 x ? x ;
2 2

(2)分下述三种情况:① 0 ? a ? b ? 1 ,那么

1 a

? 1 ,而当 x ? 0 时, f ? x ? 的最大值为 1,故此

时不可能使 g ? x ? ? f ? x ? .②若 0 ? a ? 1 ? b ,此时若 g ? x ? ? f ? x ? ,则 g ? x ? 的最大值为

g ?1 ? ? f ?1 ? ? 1 ,得 a ? 1 ,这与 0 ? a ? 1 ? b 矛盾;③若 1 ? a ? b ,因为 x ? 1 时, f ? x ? 是单

?1 2 ? b ? g ? b ? ? ? b ? 2b ? 2 调减函数,此时若 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? x ,于是有 ? ? 1 ? g ? a ? ? ? a 2 ? 2a ?a ?
?a ? 1 ? ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0 1? 5 ? ? ? ? ,考虑到 1 ? a ? b ,解得 a ? 1 , b ? ,综上所述 ? 1? 5 2 2 ?b ? ? ? b ? 1? ? b ? b ? 1? ? 0 ? ? 2


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