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实变函数复习题


邢台学院数学系《实变函数》复习手册
前言
本课程是数学专业的一门重要的基础课程, 在数学教学中具有承上启下的作用。 通过本 课程的学习,希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算,点集的一些性质,测度、可测函 数及 L 积分的定义及性质;熟悉并会运用积分序列的极限定理。为以后学习其他课程打下 良好的基础。

第一章 集合
本章讨论了集合的基本性质及运算,主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定 义。为以后引入 L 积分打下了基础。 §1 集合的概念 理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。 §2 集合的运算 深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义,并且会求。 §3 对等与基数 1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义;会建立常见集合间的对等关系;了 解对等的性质。 2、了解基数概念,会比较两个集的基数大小。 §4 可数集合 与自然数集合 N 对等的集合称为可数集合。 1、任何无限集包含一个可数子集。 2、若 A 是一个可数集合,B 是一个有限集合,则 A ? B 是可数集合。 3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。 4、有理数全体是一可数集,代数数全体是一可数集。 §5 不可数集合 1、实数集全体 R 不是可数集。其基数记为 c,称与 R 对等的集合具有连续基数。 2、任何区间具有连续基数,可数个 c 集的并是 c 集,实数列全体 E? 的基数是 c。 3、不存在基数最大的集合,也不存在最大基数。

练习题
一、选择题: 1、下列对象不能构成集合的是( )

A、全体自然数 B、0,1 之间的实数全体 C、 ?0,1? 上的实函数全体 D、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是( )

A、{全体实数} B、{全体整数} C、{全体小个子} D、 {x | x ? 1} 3、下列对象不能构成集合的是( )

A、{全体实数} B、{全体整数} C、 {x | x ? 1} D、{全体胖子} 4、下列对象不能构成集合的是( )

1

A、{全体实数} B、{全体整数} C、 {x | x ? 1} D、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是( )

A、{全体小孩子} B、{全体整数} C、 {x | x ? 1} D、{全体实数} 6、下列对象不能构成集合的是( )

A、{全体实数} B、{全体大人} C、 {x | x ? 1} D、{全体整数} 7、设 A? ? ?x | ? ?1 ? x ? ?? , I 为全体实数,则 A、 (?1,1) B、 (?1, 0] C、 (??, ??) D、 (1, ??) 8、设 Ai ? {x | ?1 ? ? x ? 1 ? } , i ? N ,则 A、 (?1,1) B、 (?1, 0] C、 [0,1] D、 [?1,1] 9、设 Ai ? {x | 0 ? x ? 1 ? } , i ? N ,则

? ?I

? A? ? (



1 i

1 i

?A ?(
i i ?1



1 i

?A ?(
i i ?1

?



A、 (0,1) B、 [0,1] C、 [0,1) D、 (0, ??) 10、设 Ai ? {x |1 ? ? x ? 2 ? } , i ? N ,则

1 i

1 i

?A ?(
i i ?1

?



A、 [1, 2] B、 (1, 2) C、 (0,3) D、 (1, 2] 11、设 Ai ? {x | i ? x ? i ? } , i ? N , A、 (?1,1) B、 [0,1] C、 ? D、 {0} 12、设 Ai ? {x | ? ? x ? } , i ? N , A、 (?1,1) B、 [0,1] C、 ? D、 {0} 13、设 A2 n ?1 ? [0, 2 ?

3 2

?A ?(
i i ?1

?



1 i

1 i

?A ?(
i i ?1

?



1 1 ], A2 n ? [0,1 ? ], n ? N ,则 lim An ? ( x ?? 2n ? 1 2n



A、 [0, 2] B、 [0, 2) C、 [0,1] D、 [0,1) 14、设 A2 n ?1 ? [0, 2 ?

1 1 ], A2 n ? [0,1 ? ], n ? N ,则 lim An ? ( x ?? 2n ? 1 2n



2

A、 [0, 2] B、 [0, 2) C、 [0,1] D、 [0,1) 15、设 An ? (0, n), n ? N ,则 lim An ? (
x ??



A、 ? B、 [0, n] C、 R D、 (0, ?) 16、设 An ? (0, ), n ? N ,则 lim An ? (
x ??

1 n



1 n 1 17、设 A2 n ?1 ? (0, ), A2 n ? (0, n), n ? N ,则 lim An ? ( x ?? n 1 A、 ? B、 (0, ) C、 (0, n) D、 (0, ?) n 1 18、设 A2 n ?1 ? (0, ), A2 n ? (0, n), n ? N ,则 lim An ? ( x ?? n 1 A、 ? B、 (0, ) C、 (0, n) D、 (0, ?) n
A、 (0,1) B、 (0, ) C、 {0} D、 ? 19、设 A、B、C 是三个集合,则 A ? ( A ? B) ? ( A、B B、A C、 A ? B )





D、 A ? B ) C、 A ? B ) C、 A ? B D、 A ? C ) D、 A ? C

20、设 A、B、C 是三个集合,则 A ? ( B ? C ) ? ( A、 ( A ? B) ? ( A ? C ) B、 ( A ? B) ? ( A ? C )

21、设 A、B、C 是三个集合,则 A ? ( B ? C ) ? ( A、 ( A ? B) ? ( A ? C ) B、 ( A ? B) ? ( A ? C )

22、设 A、B、S 是三个集合,且 A ? S , B ? S ,则 ?S ( A ? B) ? ( A、 痧 ? S B SA B、 痧 ? S B SA C、 ?S A ? B ) D、 A ??S B ) D、 ?S A ? B

23、设 A、B、S 是三个集合, ?S ( A ? B) ? ( A、 痧 ? S B SA B、 痧 ? S B SA C、 ?S A ? B

24、设 A、B、C 是三个集合,则 A ? ( B ? C ) ? ( A、 A ? C ? B 二、选择题 B、 A ? B ? C

C、 ( A ? B) ? ( A ? C )

D、 C ? ( B ? A)

1、设 A 为一集合,B 是 A 的所有子集构成的集合,若 A ? n ,则 B ?

3

2、设 A 为一集合,B 是 A 的所有子集构成的集合,若 A 是一可数集,则 B ? 3、若 A ? c, B ? c ,则 A ? B ? 4、若 A ? c ,B 是一可数集,则 A ? B ? 5、若 A ? c, B ? n ,则 A ? B ? 6、若 { An } 是一集合列,且 An ? c ,

?A
n ?1

?

n

?

7、若 { A? }??I 是任意集族,其中 I 是指标集,则 8、若 { A? }??I 是任意集族,其中 I 是指标集,则

??I

? A? ? ? A? ?
??I

??I

9、若 { A? }??I 是任意集族,其中 I 是指标集,S 是一集合,则 ?S (

? A? ) ?
??I

10、若 { A? }??I 是任意集族,其中 I 是指标集,S 是一集合,则 ?S ( 11、若 { An } 是任意一个集合列,则 lim An ?
n ??

? A? ) ?

12、若 { An } 是任意一个集合列,则 lim An ?
n ??

三、判断题 ( ( ( ( ( ( )1、 {0,1} ? {1, 0} 。 )2、任意两个集合 A、B,都有 A ? B ,或 B ? A 。 )3、任意集合都有子集。 )4、 a ? {a} 。 )5、 ? ? {?} 。 )6、 ? ? {0} 。

四、简答题 1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射。 2、构造 (0,1) 到 R 的一一映射。 3、构造 (0,1] 到 [0, ?) 的一一映射。 4、构造{能被 3 整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射。 5、构造 (0,1) 到 (0,1] ? (2,3) 的一一映射。 6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射。 五、证明题
4

1、任意无穷集合包含一可数子集。 2、若 A 是一个可数集合,B 是一个有限集合,则 A ? B 是可数集。 3、若 A 和 B 都是可数集合,则 A ? B 是可数集。 4、有理数全体成一可数集。 5、证明由直线上互不相交的开区间作为集 A 的元素,则 A 至多为可数集。 6、空间 R 中, {( x, y) | x ? Z , y ? Z } 是一个可数集合。
2

第二章 点集
本章讨论了特殊的集合——空间中的点集中的一些基本概念及性质, 主要讨论了开集及 闭集的结构。为以后引入 L 积分打下了基础。 §1 度量空间 n 维欧式空间 熟记距离、领域、点列的收敛、直径、有界集、n 维空间中的区间及区间的体积的定义; 会判断二元函数为距离。 §2 聚点 内点 界点 熟记并深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、边界、导集、闭包的定义。 §3 开集 闭集 完备集 深刻理解开集、闭集的性质;记住自密集、完备集的定义。 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 理解构成区间的定义、了解康脱集的构造。

练习题
一、选择题 1、集合 E 的全体内点所成的集合称为 E 的( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 2、集合 E 的全体聚点所成的集合称为 E 的( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 3、集合 E 的全体边界点和内点所成的集合是 E 的( A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 4、E—E’所成的集合是( ) A、开核 B、边界 C、外点 D、{E 的全体孤立点} 5、E 的全体边界点所成的集合称为 E 的( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 6、设点 P 是集合 E 的边界点,则( )



A、P 是 E 的聚点 B、P 是 E 的孤立点 C、P 是 E 的内点 D、P 是 ?E 的边界点 7、设 G ? (0,1) ? (2,3) ,则下列哪一个是 G 的构成区间( A、 (0,1) B、 ( ,1) C、 [0,1] D、 (0, 2) )

1 2

1,0) ?( ,2), G ? G1 ? G2 ,则下列哪一个是 G 的构成区间( 8、设 G1 ? (0,1), G2 ?( ?
A、 (0,1) B、 (0, 2) C、 ( ?1, ) D、 (?1, 2) 9、设 G1 ? (0, 4), G2 ? (0,1) ? (3, 4), G ? G1 ? G2 ,则下列哪一个是 G 的构成区间(
5

1 2



1 2



A、 (0,1) B、 (3, 4) C、 (0, 4) D、 (1, 4) 10、设 G1 ? (0,1), G2 ? (1, 2) ? (3, 4), G ? G1 ? G2 ,则下列哪一个是 G 的构成区间( A、 (0,1) B、 (0,3) C、 (0, 4) D、 (1, 4) 11、设 G1 ? (0,2), G2 ? (1,2) ?(3,4), G ? G1 ? G2 ,则下列哪一个是 G 的构成区间( A、 (0,1) B、 (0, 2) C、 (1, 2) D、 (1, 4) 12、设 G1 ? (0,1) ? (1, 2), G2 ? (?1, 0) ? ( , ), G ? G ? G ,则下列哪一个是 G 的构成区 1 2 间( ) ) )

1 3 2 2

1 3 2 2 13、若 A ? B ,则下列命题错误的是(
A、 A ? B
0 0

A、 ( , ) B、 (1, 2) C、 (0,1) D、 (?1, 0) ) D、 A ? B

B、 A ' ? B '

C、 ?A ? ?B )

14、若 A ? B ? C ,则下列命题正确的是( A、 A ? B ? C
0 0 0

B、 A '? B ' ? C ' D、 {A 的孤立点} ?{B的孤立点} )

C、 ?A ? ?B ? ?C

15、若 A ? B ? C ,则下列命题错误的是( A、 A ? B ? C
0 0 0

B、 C ' ? A '? B ' D、 {A 的孤立点} ?{B的孤立点} )

C、 A ? B ? C

16、设 ?A 是 A 的余集,则下列命题正确的是( A、 痧A ) ? ( A) (
0 0

B、 ?A ? ?(?A) C、 痧A ') ? ( A)' D、 痧A) ? A ( ( )
0

17、设 A ? B ? C ,则下列命题正确的是( A、 ?A ? ?B ? ?C C、 A '? B ' ? C ' 18、下列命题错误的是( B、 A ? B ? C
0

D、 {A 的孤立点} ? {B的孤立点} )
0

A、 A 是闭集 B、 A ' 是闭集 C、 ?A 是闭集 D、 A 是闭集 19、若 A 是闭集,B 是开集,则 A ? B 是( ) A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 20、若 A 是开集,B 是闭集,则 A ? B 是( ) A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断

6

21、若 { An } 是一开集列,则

?A
n ?1

?

n

是(



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 22、若 { An } 是一开集列,则

?A
n ?1

?

n

是(



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 23、若 { An } 是一闭集列,则

?A
n ?1

?

n

是(



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 24、若 { An } 是一开集列,则

?A
n ?1

?

n

是(



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 二、填空题 1、欧式空间 R 中,任意两点 x ? ( x1 , x2 , ???, xn ), y ? ( y1 , y2 , ???, yn ) 的距离 d ( x, y ) ?
n

2、 C[a, b] 空间中,任意两元素 x(t ), y (t ) 的距离 d ( x, y ) ? 3、 l 空间中,任意两元素 x ? ( x1 , x2 , ???, xn ), y ? ( y1 , y2 , ???, yn ) 的距离 d ( x, y ) ?
2

4、欧式空间 R 中,任意两点 x ? ( x1 , x2 ), y ? ( y1 , y2 ) 的距离 d ( x, y ) ?
2

5、欧式空间 R 中,任意两点 x ? ( x1 , x2 , x3 ), y ? ( y1 , y2 , y3 ) 的距离 d ( x, y ) ?
3

6、欧式空间 R 中,任意两点 x ? ( x1 , x2 , x3 , x4 ), y ? ( y1 , y2 , y3 , y4 ) 的距离 d ( x, y ) ?
4

7、设 X ? R , E ? {( x, y) | x ? y ? 1} ,则 E ?
2 2 2

8、设 X ? R , E ? {( x, y, z) | x ? y ? z ? 1} ,则 E ?
3 2 2 2

9、设 X ? R2 , E ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} ,则 ?E ? 10、设 X ? R , E ? {( x, y) | x ? y ? 1} ,则 E ' ?
2 2 2 3 2 2 2 11、设 X ? R , E ? {( x, y, z) | x ? y ? z ? 1} ,则 ?E ?

12、设 X ? R , E ? {( x, y, z) | x ? y ? z ? 1} ,则 E ' ?
3 2 2 2

13、设 A ? [0,1], B ? [3, 4] ,则 d ( A, B) ? 14、设 C 是康托完备集, G ? [0,1] ? C, 则d (C, G) ?
7

15、设 C 是康托完备集,则 C 的直径 ? (C ) ? 16、两个非空集合 A,B 距离的定义为 d ( A, B) ? 17、一个非空集合 A 的直径的定义为 ? ( A) ? 18、设 A ? [0,1] ? Q ,则 ? ( A) ? 三、判断题 ( )1、若一个点不是 E 的聚点,则必然也不是 E 的内点。 ( )2、{E 的外点全体}和 E 的余集是相同的。 ( )3、E 的内点必然属于 E。 ( )4、E 的孤立点必然属于 E。 ( )5、E 的边界点一定不属于 E。 ( )6、E 的聚点必然属于 E。

第三章 测度论
本章主要是讨论 R 中点集的可测性与可测集的测度(度量)问题,它是建立新积分的 理论基础。学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。 §1 约当测度 第一,要弄清确界的概念;第二,了解约当测度,并知道 [0,1] 中全体无理点集是约当 不可测的。 §2 外侧度 第一,重点掌握 L 外测度的定义及其三条基本性质,并会用定义讨论一些简单集合(如 有限集,可数集)的外侧度;第二,知道任意区间 I 的外侧度为 m * I ? I 。 §3 可测集 第一,需重点掌握 L 内测度及其性质 ,L 可测集的两种定义方法;第二,深刻理解课 本定义 3,并会用它证明一些集合的可测性,如定理 1,定理 2 等;第三,会用内外测度相 等论证一些集合的可测性;第四,掌握可测集的运算性质,知道 L 可测集类是 ? 环(主要 指对运算的封闭性) ;第五,一定要知道可测集的极限运算和测度运算的换序条件,一定要 注意差运算和测度运算换序的条件(包含和测度有限) ,需理解可测集的测度有限与集合有 界的关系。 §4 可测集(续) 本节首先给出了常见的 L 可测集(如零测集、区间、开集、闭集、康脱尔集及其条集) 及其测度的计算方法;说明 J 可测集皆 L 可测;并从 G? 集, F? 集到波雷尔集均可测,得到 了可测集和 G? 集, F? 集,波雷尔集的关系,揭示了 L 可测集的结构。 开集类、闭集类 ? G? 型集类, F? 型集类 ? 波雷尔集类 ? 可测集类= R 中的一切子集
n n

类 §5 不可测集
8

知道存在 L 不可测集

练习题
一、选择题 1、若 E ? Q ? [0,1], 则mF ? ( A、0 B、1 2、下述结论( A、 m * E ? m* E C、2 )正确 ) D、3 C、 m * E ? m* E D、 m * E ? m* E

B、 m * E ? m* E )

3、若 E ? [0,1] ? Q, 则mE ? (

A、0 B、1 C、2 D、3 4、下列说法不正确的是( ) A、E 的测度有限,则 E 必有界 C、有界点集的测度有限

B、E 的测度无限,则 E 必无界 D、 R 的测度无限 )
n

5、 P 是康托尔(cantor)集,则 mP ? ( 0 0 A、0 B、1 C、2 D、3 6、设 A 是 B 的真子集,则( ) A、 m * A ? m * B B、 m * A ? m * B

C、 m * A ? m * B

D、 m * A ? m * B )

7、G 表示康托尔(cantor)集在 [0,1] 中的余集,则 mG ? ( A、0 B、1 C、2 D、3 )

8、设 S1 , S2 都可测,则 S1 ? S2 (

A、可测 B、不可测 C、可能可测也可能不可测 D、以上都不对 9、 m((0,1) ? (?1, 2)) ? ( )

A、1 B、2 C、3 D、4 10、A 可测,B 是 A 的真子集,则( ) A、 mA ? mB B、 mA ? m * B C、 mA ? m * B 11、 m([?1,1] ? (2,3]) ? ( )

D、以上都不对

A、1 B、2 C、3 D、4 12、L 可测集类,对运算( )不封闭。 A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和 13、外侧度不具有( ) A、非负性 B、单调性 C、次可数可加性 D、恒正性 14、下述哪种集测度肯定不为零( ) A、可数集 B、非空开集 C、不可数集 D、闭集 15、以下论述哪个不和 E 可测等价( ) A、 ?? ? 0, ?开集G, 有G ? E,且m *(G ? E) ? ?
9

B、 ?? ? 0, ?闭集F , 有F ? E,且m *( E ? F ) ? ? C、 ?G ? G? ,有G ? E, 且m *( E ? G) ? 0 D、 ?F ? F? ,有F ? E, 且m *( E ? F ) ? 0 二、填空题 1、 E ? R ,对每一列覆盖 E 的开区间
n

?I
i ?1

?

i

? E ,定义 m * E ?

2、设 {Sn } 是一列递增的可测集合,则 m(lim S n ) ?
n ??

3、设 A=“开集类” ,B=“波雷尔集类” ,C=“可测集类” ,D=“ G? 型集类” 。那么 A,B, C,D 的关系是 4、I 是区间,则 mI ? 5、设 E ? R ,E 有界,I 为任一包含 E 的开区间,则 m* E ?
n

6、 m *(

? Ai ) ? ? m * Ai 称为测度的
i ?1 i ?1

?

?

7、若 A ? B, 则m * A ? m * B ,这称为外测度的 8、若集合 G 能表示成 ,则称 G 为 G? 集。 则称 E是L 可测的。 则称 F 为F? 集。
n ??

9、设 E ? Rn , 若?T ? Rn 都有 10、若集合 F 能表示成

11、设 {Sn } 是一列递减可测集合,且 ?k , mEk ? ?, 则m(lim S n ) ? 12、L 可测集和波雷尔集相差一个 13、设 E1 , E2 , ???, En 都是可数集,则 m( E1 ? E2 ????? En ) ? 三、判断题,并说出理由 ( )1、若 E ? F 可测,则 E 和 F 都可测。 ( )2、两个集合的某数相等,则它们的外测度相等。 ( ( ( ( ( )3、设 S1 , S2 都可测,则 S1 ? S2 也可测,且 m(S1 ? S2 ) ? mS1 ? mS2 。 )4、无限集的外测度一定不为零。 )5、若可测集 A 是可测集 B 的子集,且 mB ? mA, 则m( B ? A) ? 0 。 )6、若 E 可测,A 可测,且 m( A ? E) ? 0, 则mE ? m( E ? A) 。 )7、设 E 为测度有限的集,则 E 是有界可测集。
10

四、证明题 1、证明:集合 E 可测的充要条件是对于任意 A ? E, B ? ?E ,总有

m *( A ? B) ? m * A ? m * B .
2、证明:对 E ? R , E 可测的充要条件是 ?E 可测。
n

3、证明:可数点集的外测度为零。 4、设 S1 , S2 , ???, Sn 是 n 个互不相交的可测集合, Ei ? Si , i ? 1, 2, ???, n 。证明:

m *( E1 ? E2 ????? En ) ? m * E1 ? m * E2 ???? ? m * En
5、若 m * E ? 0 ,则 E 可测。 6、设 A 可测, B 为任意集合,证明: m *( A ? B) ? m *( A ? B) ? mA ? m * B 。 五、简答题 1、请指出 L 可测集和 F? 集的关系。 2、请叙述 L 测度的可列可加性。 3、从基数的角度请举出三种零测度集的例子。

第四章 可测函数
为了以后建立新积分理论的需要, 本章引进一个新的函数类——可测函数类。 为此先给 出一般点集上函数的基本概念(如有限、无限)和性质,并在此基础上讨论了可测集上的可 测函数的问题,学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。 §1 可测函数及其性质 本节首先通过集合的可测性定义了可测函数及其逻辑形式,列出了连续、单调、简单函 数的可测性,需重点掌握这些概念的定义,并会用这些理论进行简单论述,如集合限定转换 和表示;还讲述了可测函数的运算(四则和极限) ,这使可测函数类变得很大;第三个重点 是可测函数与简单函数的关系, 这是可测函数的又一描述; 学生一定要知道 f ? ( x) 和 f ? ( x) 的定义;第四个重点是几乎处处概念,学生要认识到这是与测度有关的。 §2 叶果洛夫(EropoB)定理 本节主要通过叶果洛夫定理阐述了函数列的点态收敛与一致收敛的关系, 要会证叶果洛 夫定理的逆定理,要掌握证明时的思想方法。 §3 可测函数的构造 本节主要通过鲁金定理揭示了可测函数与连续函数的关系。 我们常常应用鲁金定理把有 关可测函数的问题转化为连续函数来处理,使问题得以简化。需会证鲁金定理的逆。 §4 依测度收敛 本节首先讲述了依测度收敛的概念, 学生要会用该理论证明函数列的测度收敛和测度不 收敛,其关键是对集 E( fn ? f ? ? ) 的具体化;第二讲述了各种收敛的关系,学生一定要 掌握这些关系及相应的反例。

11

?依测度收敛 ? 存在子列几乎处处收敛 一致收敛 ? 几乎处处收敛 ? ? ?基本一致收敛

练习题
一、选择题 1、下列说法正确的是( A、 f ( x) ? ) B、 f ( x) ?

1 在(0,1) 有限 x

1 1 在( ,1) 无界 x 2

?1 ? , x ? (0,1] C、 f ( x) ? ? x ,在 [0,1] 有限 ???, x ? 0 ?
2、函数列 f n ( x) ? xn 在 [0,1] 上(

?1 ? , x ? (0,1] D、 f ( x) ? ? x ,在 [0,1] 有界 ?1, x ? 0 ?

)于 0,。

A、 a , e 一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本一致收敛 3、设 E 是 [0,1] 中的不可测集, f ( x) ? ? ( ) B、 f ? ( x) C、 f ( x) ) D、 f ? ( x)

?1, x ? E ,则下列函数在 [0,1] 上可测的是 ??1, x ?[0,1] ? E

A、 f ( x )

4、若 f ( x ) 可测,则它必是(

A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限 5、下述论断正确的是( )

A、 f ( x) ? tgx在(0,

?
4

) 无界

? ? ?tgx,x ? [0, 2 ) ? ? 在[0, ] 有限 B、 f ( x) ? ? 2 ???, x ? ? ? ? 2
?
2

? ? ?tgx,x ? [0, 2 ) ? ? 在[0, ] 有界 C、 f ( x) ? ? 2 ?1, x ? ? ? ? 2
( x)在 [0, 2] 上( 6、函数列 f n ( x ) ?
n

D、 f ( x) ? tgx在(0,

) 有限

1 2

)于 0。

A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、 a , e 一致收敛 7、设 f ( x) ? ? ( ) B、 f ( x ) C、 f ( x)
?

? x, x ? E ,其中 E 是 [0,1] 的不可测集,则下列函数在 [0,1] 可测的是 ?? x, x ?[0,1] ? E
?

A、 f ( x)

D、 f ( x)
12

8、一个函数在其定义域中的( )处都是连续的。 A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点 9、下列说法正确的是( )

? ? A、 f ( x) ? ctgx 在 ( , ) 无界 4 2

? ? ? ?ctgx,x ? (0, ] B、 f ( x) ? ? 2 在[0, ] 有限 2 ???, x ? 0 ?
D、 f ( x) ? ctgx 在 (0,

? ? ? ?ctgx,x ? (0, ] C、 f ( x) ? ? 2 在[0, ] 有界 2 ?1, x ? 0 ?
10、函数列 f n ( x) ? 2n xn 在 [0, ] 上(

?
2

) 有限

1 2

)于 0。

A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、 a , e 一致收敛

? x2 , x ? E ? 11、设 E 是 [0,1] 上的不可测集, f ( x) ? ? 2 ,则下列函数在 [0,1] 可测的是 ?? x , x ? [0,1] ? E ?
( ) B、 f ? ( x) C、 f ( x) D、 f ? ( x) )

A、 f ( x )

12、设 E 为可测集,则下列结论中正确的是( A、 { fn ) 若 (} x

在 E 上 a , e 收敛于一个 a , e 有限的可测函数 f ( x ) , f n ( x) 一致收敛于 f ( x ) 则

B、若 { fn ( x)} 在 E 上 a , e 收敛于一个 a , e 有限的可测函数 f ( x ) ,则 f n ( x) 基本上一致收敛 于 f ( x) C、若 { fn ( x)} 在 E 上 a , e 收敛于一个 a , e 有限的可测函数 f ( x ) ,则 f n ( x) ? f ( x) D、若 { fn ( x)} 在 E 上基本上一致收敛于 f ( x ) ,则 f n ( x) a , e 收敛于 f ( x ) 13、下列说法正确的是( A、 f ( x) ? sec x 在 (0, ) B、 f ( x) ? sec x 在 (0,

?
4

) 上无界

?
4

) 上有限

? ? ?sec x,x ? [0, 2 ) ? ? 在[0, ] 上有限 C、 f ( x) ? ? 2 ???, x ? ? ? ? 2 ? ? ?sec x,x ? [0, 2 ) ? ? 在[0, ] 上有界 D、 f ( x) ? ? 2 ?1, x ? ? ? ? 2

13

14、函数列 f n ( x) ? 3n xn 在 [0, ] 上(

1 3

)于 0。

A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、 a , e 一致收敛

?? x3 , x ? E ? 15、设 f ( x) ? ? 3 ,其中 E 是 [0,1] 上的不可测集,则( ? x , x ? [0,1] ? E ?
A、 f ( x ) B、 f ? ( x) C、 f ? ( x) D、 f ( x)

)在 [0,1] 可测。

16、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( ) A、它们是同一概念 B、 a , e 有限的可测函数是连续函数 C、 a , e 有限的可测函数是基本上 连续的函数 D、 a , e 有限的可测函数是 a , e 连续的函数 17、下列说法正确的是( A、 f ( x ) ? ) B、 f ( x) ?

1 在(0,1) 有限 x2

1 1 在[ ,1] 无界 2 x 2

?1 ? ,x ? (0,1] C、 f ( x) ? ? x 2 在[0,1] 有限 ???, x ? 0 ?
18、函数列 f n ( x) ? sin n x 在 [0,

?1 ? ,x ? (0,1] D、 f ( x) ? ? x 2 在[0,1] 有界 ?1, x ? 1 ?
)于 0。

?
2

] 上(

A、收敛 B、基本一致收敛 C、一致收敛 D、 a , e 一致收敛

?? x 2 , x ? E ? 19、设 f ( x) ? ? 2 ,其中 E 是 [0,1] 上的不可测集,则( ? x , x ? [0,1] ? E ?
测的。 A、 f ( x) B、 f ( x ) C、 f ? ( x) D、 f ? ( x)

)在 [0,1] 上是可

20、关于简单函数与可测函数,下述结论不正确的是( ) A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限时可测函数 C、简单函数与可测函数是 同一概念 D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 21、下列说法正确的是( ) A、 f ( x) ?

1 1 在( ,1) 无界 3 x 2

B、 f ( x) ?

1 在(0,1) 有限 x3

?1 ? ,x ? (0,1] C、 f ( x) ? ? x3 在[0,1] 有限 ???, x ? 0 ?
22、函数列 f n ( x) ? cos x 在 [0,
n

?1 ? ,x ? (0,1] D、 f ( x) ? ? x3 在[0,1] 有界 ?1, x ? 0 ?
)于 0。

?
2

] 上(

A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、 a , e 一致收敛

?sin x, x ? E ? ? 23、设 E 是 [0, ] 中的不可测集, f ( x) ? ? ,则下列函数在 [0, ] 上 ? 2 2 ?? sin x, x ? [0, 2 ] ? E ?

?

可测的是(


14

A、 f ( x )

B、 f ( x)

C、 f ? ( x)

D、 f ? ( x)

24、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( ) A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收敛不一定收敛 C、若 { fn ( x)} 在 E 上 a , e 收敛于 a , e 有限的可测函数 f ( x ) ,则 f n ( x) ? f ( x) D、若 f n ( x) ? f ( x) ,则存在子列 { fn ( x)} a , e 收敛于 f ( x ) 25、下列函数在 (0, ??) 上几乎处处为正的是( A、 f ( x) ? sin x 二、填空题 1、设 f ( x ) 是定义在可测集 E ? R 上的实函数,若 ?a ? R ,有
n

) D、 f ( x) ? ?

B、 f ( x) ? ln x

C、 f ( x) ? cos(2? x)

??1, x ? Q ?1, x ? Q

,则称 f ( x ) 在 E

上可测。 2、 f n ( x) ? f ( x) 的定义为 3、 [ a, b] 上的连续函数及单调函数都是 4、叶果洛夫定理反映了
n

。 。 的关系。 。



5、可测集 E ? R 上的连续函数都是

6、可测函数列的极限 。 7、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的 。 8、几乎处处是与 有关的概念。 9、 E 上的简单函数,指的是对 E 进行有限不交可测分解后,每一个可测子集上都取 的函数。 10、鲁金定理反映了 与 的关系。 11、两个可测函数的四则运算(假定它们都有意义)结果 。 12、函数列 f n ( x) ? ?

?1, x ? (0, n] 在 (0, ??) 不一致收敛于且不 ?0, x ? (n, ??)

收敛于 1。

三、判断题,并说出理由 ( ( ( ( ( )1、若 f ( x) ? g ( x) , a , e 于 E , f ( x ) 在可测集 E 上可测,则 g ( x) 也在 E 上可测。 )2、若 f ( x ) 在可测集 E 上可测,则 E ( f ? ??) 也可测。 )3、若 mE ? ?? 且 f n ? f , lim f n ( x) ? f ( x) a , e 于 E 。
n ??

)4、若 f ( x ) 在可测集 E 上可测,则 f ( x ) 在 E 的任意可测子集上也可测。 )5、若 f ( x ) 在可测集 E 上可测,则 f ( x ) 在 E 的任意子集上可测。
15

( (

)6、若 ?r ? Q, E ( f ? r ) 都可测,则 f 在可测集 E 上也可测。 )7、设 E 为可测集, f , g 在 E 上可测,则 E ( f ? g ) 可测。

( )8、黎曼函数可测。 四、证明题 1、设 f ( x ) 在 E ? [a, b] 上是 a , e 有限的可测函数,则对于任何 ? ? 0, ? ? 0 ,存在连续函数

g ( x) ,使 mE( f ? g ? ? ) ? ? 。
2、设函数列 { fn ( x)} 在 E 上依测度收敛于 f ( x ) ,且 f n (x) ?g (x) ,a , e 于 E ,n ? 1, 2,? , 则 f ( x) ? g ( x) 在 E 上 a , e 成立。 3、设函数列 { fn ( x )} 在有界集 E 上基本一致收敛于 f ( x ) ,证明 f n ( x) 在 E 上 a , e 收敛于

f ( x) 。
4、证明:若 f n ? f , fn ? g ,则 f ? g 在 E 上 a , e 成立。 5、设 E ? (0, ??), f n ( x) ?

n 1 , n ? 1, 2,?, f ( x) ? ,试证 f n ( x) ? f ( x) 。 x(n ? 1) x
1 , n ? 1, 2,?, f ( x) ? x ,证明: f n ( x) ? f ( x) 。 n x , n ? 1, 2,? ,不测度收敛于 f ( x) ? x 。 n

6、设 E ? (0, ??), f n ( x) ? x ? 五、简答题

1、请说明:在 E ? (0, ??) 上函数列 f n ( x) ? x ?

2、用可测函数的定义说明狄里克雷函数 D( x) ? ?

?1, x ?[0,1] ? Q ,在 [0,1] 可测。 ?0, x ?[0,1] ? C

3、若 f ( x ) 在可测集 E 上可测,则 ?c ? R, cf ( x) 在 E 上也可测。

第五章 积分论
在数学分析中遇到的函数大部分是连续函数,它们在有界闭区间上是黎曼可积函数的。 但黎曼可积函数不能满足科学发展的需要。 1902 年法国数学家 Lebesgue 成功地引入了一 在 种新的积分,即 L 积分,大大地扩充了可积分函数的范围,成为分析数学的不可缺少的工 具。在本章中将详细给出 L 积分的定义及性质。 §1 黎曼函数 了解黎曼积分的定义和三个 R 可积的充要条件。本节不作为考核内容。 §2 勒贝格积分的定义 掌握有界函数在有界可测集上 L 积分的定义、性质及充要条件;了解 R 积分与 L 积分 的关系;利用定理 4 求一些函数的 L 积分。 §3 勒贝格积分的性质
16

熟练掌握 L 积分的性质 §4 一般可积函数 掌握非负可测函数和一般可测函数 L 积分的定义及性质;会计算一些函数的积分,熟 记 L 积分的性质。 §5 积分的极限定理 掌握积分的极限定理(定理 1 至定理 5) ;勒贝格控制收敛定理的条件及结论;会用 L 控制收敛定理求一些积分的极限。

练习题
一、单项选择题 1、设 f ( x ) 是可测集 E 上的非负可测函数,则 f ( x ) ( )

A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定 2、设 f ( x ) 在可测集 E 上可积,则在 E 上( A、 f ? ( x)与f ? ( x) 只有一个可积 C、 f ? ( x)与f ? ( x) 不一定可积 )

B、 f ? ( x)与f ? ( x) 皆可积 D、 f ? ( x)与f ? ( x) 至少有一个不可积 )

3、设 mE ? 0( E ? ?) , f ( x ) 是 E 上的实函数,则下面叙述正确的是( A、 f ( x ) 在 E 上不一定可测 C、 f ( x ) 在 E 上可积且积分值为 0

B、 f ( x ) 在 E 上可测但不一定可积 D、 f ( x ) 在 E 上不可积 )

4、 f ( x ) 在可测集 E 上(L)可积的充要条件是: f ( x ) 为(

A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数 5、设 D ( x ) 为狄里克雷函数,则 A、0 B、1 C、

?

[0,1]

f ( x)dx ? (



1 2

D、不存在

6、设 f ( x ) 为 Cantor 集的特征函数,则 A、0 B、

?

[0,1]

f ( x)dx ? (



1 3

C、

2 3

D、1

7、设 f ( x) ? ?

?? x, 当x为有理数时 ? x, 当x为无理数时
1 2
C、 ?

,则

?

[0,1]

f ( x)dx ? (



A、0

B、

1 2

D、1

8、设 f ( x) ? ?

? x 2 , 当x为有理数时 ? f ( x)dx ? ( ,则 ? [0,1] ?0, 当x为无理数时 ?



17

A、0

B、

1 2

C、

1 3

D、1

二、填空题 1、设 f ( x ) 在可测集 E 上可积,则 mE[ f ? ?] ? 。

2、 (叙述积分的绝对连续性)设 f ( x ) 在 E 上可积,则对任何可测集 A ? E ,有

mA?0 A

lim

?

f ( x)dx ?



3、设 P 为 Cantor 集,则 0 4、设 P 为 Cantor 集,则 0 5、设 Q 为有理数集,则 6、设 N 为自然数集,则

? ?
?

P0

sin xdx ? cos xdx ?


。 。

P0

?

Q

e x dx ?
ln xdx ?

。 。

N

7、设 f ( x ) 在 E 上可积,且 三、计算题

?

E

f ( x) dx ? 0 ,则 f ( x) 在 E 上几乎处处为

? 1 , 当x为有理数时 ? f ( x)dx 。 1、设 f ( x) ? ? x ,计算 ? [0,1] ? x, 当x为无理数时 ?
?e x , 当x为有理数时 ? f ( x)dx 。 2、设 f ( x) ? ? ,计算 ? x [0,1] ?e , 当x为无理数时 ?
2

3、设 f ( x) ? ?

?cos x, 当x为有理数时 ?sin x, 当x为无理数时

,计算

?

[0,1]

f ( x)dx 。

4、设 P 为 Cantor 集, f ( x) ? ? 0

? x 2 , 当x ? P0时 ? f ( x)dx 。 ,计算 ? [0,1] ? x, 当x ? [0,1] ? P0时 ?
2

?e x , 当x ? P0时 ? f ( x)dx 。 5、设 P 为 Cantor 集, f ( x) ? ? ,计算 ? 0 x [0,1] ?e , 当x ? [0,1] ? P0时 ?
6、设 P 为 Cantor 集, f ( x) ? ? 0

?cos x, 当x ? P0时 ?sin x, 当x ? [0,1] ? P0时

,计算

?

[0,1]

f ( x)dx 。

?sin ? x, x ?[1, 2] ? f ( x)dx 。 7、设 P 为 Cantor 集, f ( x) ? ?cos ? x, 当x ? P0时 ,计算 ? 0 [0,2] ?1, 当x ? [0,1] ? P 时 0 ?
8、求 lim( R)
n ??

? 1? n x
0 2

1

nx

2

sin 5 nxdx 。
18

9、求 lim( R)
n ??

nx1/ 2 ?0 1 ? n2 x2 sin nxdx 。
1

10、求 lim( R)
n ??

? 1? n x
0 2

1

nx

2

cos 2 nxdx 。

11、求 lim( R)
n ??

nx 2/3 ?0 1 ? n2 x2 cos nxdx 。
1 1

n2 x (sin nx ? cos 2 nx)dx 。 12、求 lim( R) ? 0 1 ? n4 x 2 n ??
13、求 lim( R)
n ??

n3 x3/ 2 ?0 1 ? n4 x 2 dx 。
1

14、求 lim( R )
n ??

? 1? n x
0 4

1

nx

2

(sin nx ? 1)dx 。

四、证明题 1、设 f ( x ) 是 E ? [0,1] 上的可积函数,则 lim mE[ f ? n] ? 0 。
n ??

2、设 mE ? ?? , f ( x ) 是 E 上的有界可积函数,则对任何可测集 A ? E ,有

mA?0 A

lim

?

f ( x)dx ? 0 。

3、设由 [0,1] 中取出 n 个可测子集 E1 , E2 ,?, En ,假定 [0,1] 中任一点至少属于这 n 个集中 的 q 个,试证必有一集,它的测度大于或等于 q / n 。 4、试从

1 1 1 1 ? (1 ? x) ? ( x 2 ? x3 ) ? ? , 0 ? x ? 1 ,求证: ln 2 ? 1 ? ? ? ?? 。 1? x 2 3 4

5、设 { fn ( x)} 为 E 上的可积函数列, f n ( x) ? f ( x) a , e 于 E ,且 常数,则 f ( x ) 可积。 6、设 f ( x ) 在 E 上(L)可积, f ( x) ? 0 且

?

E

f n ( x) dx ? K , K 为

?

E

f ( x)dx ? 0 ,则 f ( x) ? 0 a , e 于 E 。 f n ( x)dx ? 0 ,则 f n ( x) ? 0 。

7、设 { fn ( x)} 为 E 上的非负可积函数列,若

?

E

19


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