当前位置:首页 >> 数学 >>

11.1第十一章 计数原理


第十一章

计数原理

11.1

分类加法计数原理与分 步乘法计数原理

第十一章

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-3-

考纲要求 1.理解分类加法计 数原理和分步

乘法计 数原理,能正确区分 “ 类”和“ 步”. 2.会用分类加法计数 原理或分步乘法计数 原理分析和解决一些 简单的实际问题.

题型 五年考题统计 命题角度分析

2011 全国, 理4 选择 题 2012 全国, 理2 2014 全国

从近五年高考试题看,两 个计数原理是高考考查的热 点,但一般不会单独命题,常 在求概率、随机变量的分布、 随机变量的期望和方差中间 接考查.

Ⅰ,理 5

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-4-

1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法, 在第二类方案中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的 方法,则完成这件事共有 N= M1+M2+…+Mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法, 完成第二步有 m2 种不同的方法,……,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N= M1×M2×…×Mn 种不同的方法.

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事. ( ) (3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成. ( ) (4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相 同的. ( ) (5)如果完成一件事情有 n 个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的 方法 mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法. ( )
关闭

(1)× (2)√

(3)√

(4)√

(5)√

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-6-

1 2 3 4 5

2.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,演出开始前又增加了 两个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为 ( ) A.42 B.30 C.20 D.12

关闭

第一个节目有 6 种排法,第二个节目有 7 种排法,共有 6×7=42(种)
A

关闭

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-7-

1 2 3 4 5

3.若 x,y∈N*,且 x+y≤6,则有序自然数对(x,y)共有

个.

关闭

当 x=1,2,3,4,5 时 ,y 值依次有 5,4,3,2,1 个 ,由分类加法计数原理,有序自然数对(x,y )共有 5+4+3+2+1=15(个 ). 15
关闭

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-8-

1 2 3 4 5



4.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数 .

关闭

由于乘积的展开项是由三个不同字母组成的,所以要组成一项分三步完成.因此,展开后的 项数共有:3×4×5=60.
关闭

60

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-9-

1 2 3 4 5

5.用 1,5,9,13 中的任意一个数作分子,4,8,12,16 中的任意一个数作分母, 可构成的真分数的个数为 .

关闭

设构成的真分数为 ,其中 M∈{1,5,9,13},n∈{4,8,12,16},且 M<n.若 M=1,则 n 有 4 种选法 ; 若 M=5,则 n 有 3 种选法 ;若 M= 9,则 n 有 2 种选法 ;若 M=13,则 n 有 1 种选法,故可构造的



关闭

10 真分数个数为 4+3+2+1=10.

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-10-

1 2 3 4 5

自测点评
步完成”.

1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事

情,类与类之间是相互独立的,不能是相同的,即分类的标准是“ 不重不漏,一 2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种 方法,即是完成这个步骤的一种方法. 3.应用两种计数原理解题时,要注意分清 :要完成的事情是什么,完成该 事情是分类完成还是分步完成.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-11-

考点一分类加法计数原理★自助训练过关
1.设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则关于 于 x 轴上的椭圆有( ) A.6 个 B.8 个
2 x,y 的方程 2 + =1

表示焦点位

C.12 个

D.16 个

关闭

因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以当 M=4 时 ,n=1,2,3;当 M=3 时,n= 1,2; 当 M=2 时,n=1,即满足条件的椭圆共有 3+2+ 1=6(个 ).
关闭

A

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-12-

2.满足 a, b∈ {-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数 对(a,b)的个数为( A.14 ) B.13
2

2

C.12

D.9

关闭

由于 a,B∈{ -1,0,1,2},则(1)当 a=0 时,有 x=- 为方程的实根,则 B=-1,0,1,2,有 4 种;(2)当 a≠ 0

时,则∵ 方程有实根,∴ Δ=4 -4aB≥0,∴ aB≤1.

(*)



当 a=-1 时,满足 (*)式的 B=-1,0,1,2,有 4 种;②当 a=1 时,B=-1,0,1,有 3 种 ;
关闭

③当 a=2 时,B=- 1,0,有 2 种.故由分类加法计数原理 ,满足条件的有序数对(a ,B)共有
4+4+3+2=13(个 ). B

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-13-

3.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示 一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至 多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) 关闭 A.10 B.11 C.12 D.15
(方法 1)分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论.(1)若 0 个相同 ,则信息为 :1001,共 1 个.(2) 若 1 个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共 4 个.(3)若 2 个相同,又分为以下情况:① 若 位置一与二相同,则信息为:0101;②若位置一与三相同,则信息为:0011;③若位置一与四相 同,则信息为:0000;④若位置二与三相同 ,则信息为:1111;⑤若位置二与四相同,则信息 为:1100;⑥若位置三与四相同 ,则信息为 :1010.共有 6 个.故与信息 0110 至多有两个对应位 置上的数字相同的信息个数为 1+4+6=11.
1 2 (方法 2)若 0 个相同 ,共有 1 个 ;若 1 个相同,共有 C4 =4(个);若 2 个相同 ,共有 C4 =6(个);

关闭

故共有 1+4+6=11(个 ). B

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-14-

方法总结
漏;

利用分类计数原理解题时,应注意 :

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗 (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,不能重 复.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-15-

考点二分步乘法计数原理★★师生互动探究
在运动会比赛中,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、 乙、 丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式 共有 种.
关闭

分两步安排这 8 名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7 四条跑道可安排.故安排方式有 4×3×2=24(种 ). 第二步:安排另外 5 人 ,可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有 5×4×3×2×1=120(种 ).
2 880 故安排这 8 人的方式共有 24×120=2 880(种 ).
关闭

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-16-

方法总结

1.利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程

合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足 :完成一件事的各个步 骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确 保连续,逐步完成.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-17-

对点练习 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a ,b )(a ,b ∈M)表示平面上的
点,则 (1)P 可表示平面上 (2)P 可表示平面上 个不同的点; 个第二象限的点.

关闭

(1)确定平面上的点 P(a ,B)可分两步完成:第 1 步,确定 a 的值,共有 6 种 ;第 2 步,确定 B 的 值,也有 6 种.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是 6×6=36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成:第 1 步,确定 a ,由于 a<0,所以有 3 种 ;第 2 步,确 定 B,由于 B> 0,所以有 2 种.由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是 3×2=6. (1)36 (2)6
关闭

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-18-

考点三

两个计数原理的综合应用★★师生互动探究

按区域 1 与 3 是否同色分类:

(2014 山东济南质检)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜 色,则不同的涂色种数有 . 1 2 4 5 关闭 3
(1)区域 1 与 3 同色 ;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色 ),有 A3 3种

方法.故区域 1 与 3 涂同色,共有 4 A3 3 =24 种方法. (2)区域 1 与 3 不同色 :先涂区域 1 与 3,有 A2 4 种方法,第二步涂区域 2,有 2 种涂色方法 ,
关闭 第三步涂区域 4 只有一种方法,第四步涂区域 5 有 3 种方法.故共有 A2 , 4 ×2×1×3=72 种方法 96 故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 24+72= 96.

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-19-

方法总结
还是分步.

用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类

(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分 类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务.根据分步 乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法 来帮助分析.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-20-

对点练习 如图所示,将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一
条棱上的两端异色.如果只有 5 种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 种.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-21-

解析:(方法一 )可分为两大步进行 ,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考 虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设 ,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染的颜色互不相同 ,它们共有 5×4×3=60(种 )染色方法 . 当 S,A,B 染好时 ,不妨设其颜色分别为 1,2,3,若 C 染 2,则 D 可染 3 或 4 或 5,有 3 种染法 ;若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有 2 种染法 ;若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4,有 2 种染法 .可见 ,当 S,A,B 已染好时 ,C,D 还有 7 种染法 ,故不同的染色方法有 60×7= 420(种 ).

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-22-

(方法二 )以 S,A,B,C,D 顺序分步染色 . 第一步 ,S 点染色 ,有 5 种方法 ; 第二步 ,A 点染色 ,与 S 在同一条棱上 ,有 4 种方法 ; 第三步 ,B 点染色 ,与 S,A 分别在同一条棱上 ,有 3 种方法 ; 第四步 ,C 点染色 ,也有 3 种方法 ,但考虑到 D 点与 S,A,C 相邻 ,需要针对 A 与 C 是否同色进行分类 ,当 A 与 C 同色时 ,D 点有 3 种染色方法 ;当 A 与 C 不同 色时 ,因为 C 与 S,B 也不同色 ,所以 C 点有 2 种染色方法 ,D 点也有 2 种染色方法 . 由分步乘法、分类加法计数原理得,不同的染色方法共有 5×4×3×(1×3+ 2×2)= 420(种 ). 答案:420

第十一章
思想方法 核心规律

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-23-

分类讨论在计数原理中的应用
由于计数原理一个是分类加法计数原理,一个是分步乘法计数原理,所 以分类讨论的数学思想贯穿两个原理应用的始终.对于计数问题,有时正确 的分类就是解决问题的切入点,一般要考虑问题有几种情况,即分类;考虑每 种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗 漏的现象. (2014
2 浙江金华模拟)椭圆

+

2 =1

的焦点在 y 轴上,且 m∈ .

{1,2,3,4,5},n∈ {1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为

第十一章
思想方法 核心规律

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-24-

答案 :20 解析 :以 m 的值为标准分类,分为五类. 第 1 类:当 m=1 时,使 n>m 的 n 有 6 种选择; 第 2 类:当 m=2 时,使 n>m 的 n 有 5 种选择; 第 3 类:当 m=3 时,使 n>m 的 n 有 4 种选择; 第 4 类:当 m=4 时,使 n>m 的 n 有 3 种选择; 第 5 类:当 m=5 时,使 n>m 的 n 有 2 种选择. 由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有 20 个.

第十一章
思想方法 核心规律

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-25-

对点练习 用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数
为( ) A.243 B.252 C.261 D.279

关闭
1 1 1 1 1 1 构成所有的三位数的个数为C9 C10 C10 =900,而无重复数字的三位数的个数为C9 C9 C8 =648,

故所求个数为 900 -648=252,应选 B.
B

关闭

解析

答案

第十一章
思想方法 核心规律

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-26-

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并 贯穿其始终.(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并 且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之 间的方法“相互独立,分步完成”. 2.利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完 成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出 解题方法; (2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画 出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律; (3)对于复杂问题,一般是先分类再分步.

第十一章
思想方法 核心规律

11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-27-

1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分 步的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.


相关文章:
11.1计数的基本原理
第十一章 概率与统计初步 11.1 计数的基本原理【教学目标】知识目标: 掌握分类计数原理和分步计数原理. 能力目标: 培养学生的观察、分析能力. 【教学重点】掌握...
11.1计数原理
11.1计数原理_数学_高中教育_教育专区。11.1 计数原理一、选择题 1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有( (A)50 个 (B)45 个 (C)36 ...
第十一章 计数原理(王刚)
第十一章一 两个基本原理 计数原理 (一)分类计数原理:完成一件事有 n 类...3 A3 2 3 2 1 2 1 2 2 11、投信问题:——分清元素投递的唯一性和可...
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第十一章 计数原理与概率11-1 Word版含解析
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第十一章 计数原理与概率11-1 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版...
11-01 计数原理
第十一章 排列、组合、二项式定理 11-01 计数原理 点一点——明确目标分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理,它贯穿于全章学习的始终,体现 了解决问题时...
第十一章 计数原理与概率1
第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文] (时间 120 分钟,满分...x y x y 答案:A 7.[理]从数字 0,1,2,3,5,7,8,11 中任取 3 个...
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布(10课时)
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布(10课时)_数学_高中教育_教育专区。...1 §11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理投法; 同理, 后面的 4 封信...
【创新设计】2016届数学一轮(理科)北师大版 阶段回扣练11 第十一章 计数原理
【创新设计】2016届数学一轮(理科)北师大版 阶段回扣练11 第十一章 计数原理_数学_高中教育_教育专区。阶段回扣练 11 计数原理 (建议用时:45 分钟) 一、选择...
11-1两个计数原理(理)
4页 1财富值 11.12.16高二数学(理)《分... 9页 免费 第十一章(理) 第...故专业填 3 写方法数是 A2A2A2.根据分步乘法计数原理,共有填写方法数 A3(A2...
【课时训练】第十一章 计数原理、随机变量及分布列
【课时训练】第十一章 计数原理、随机变量及分布列_总结/汇报_实用文档。第十一...5. 某书店有 11 种杂志,2 元一本的 8 种,1 元一本的 3 种.小张用 ...
更多相关标签:
计数器原理 | 计数原理 | 分类加法计数原理 | 计数器工作原理 | 分步计数原理 | 计数原理教案 | 分类计数原理 | 计数原理ppt |